西南交通大学：《电磁场与电磁波》第二章 静电场

第二章静电场 主要内容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力 1.电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度,以E表示。 E、F (V/m) 式中q为试验电荷的电量,F为电荷q受到的作用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通,以y表示,即 y=E·dS

第二章 静电场 主 要 内 容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力 1. 电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。 (V/m) q F E  式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以  表示,即    S  E dS

电场线方程 用电场线围 E×dl=0 成电场管 几种典型的电场线分布 带电平行板 正电荷 负电荷 由此可见,电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小

电场线方程 E dl  0 用电场线围 成电场管           带电平行板  负电荷  正电荷 几种典型的电场线分布 由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小

2.真空中静电场方程 物理实验表明,真空中静电场的电场强度E满足下列两个 积分形式的方程 5。E·dS= Edl=o 式中为真空介电常数。 E=8854187817…×10(F/m)≈×10(F/m) 36 左式称为高斯定理,它表明真空中静电场的电场强度通过任一 封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数 之比。右式表明,真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线 的环量为零

2. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个 积分形式的方程    S E S 0 d  q    l E dl 0 式中0 为真空介电常数。 左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一 封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数 之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线 的环量为零。 10 (F/m) 36π 1 8.854187817 10 (F / m) 12 9 0       

根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度,即 V·E V×E=0 Eo 左式表明,真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电 荷体密度与真空介电常数之比。右式表明,真空中静电场的电场 强度的旋度处处为零。由此可见,真空中静电场是有散无旋场。 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后,根据亥姆霍兹定 理,电场强度E应为 E=V④+V×A o(r V"·E( 式中 4πJr| A(r)= VXE(r) dv 4πJ|r-r

根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即 0     E    E  0 左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电 荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场 强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定 理，电场强度E 应为 E     A                     V V V V d ( ) 4π 1 ( ) d ( ) 4π 1 ( ) |r r | E r A r |r r | E r  r 式中 x P z y r 0 dV (r) r  r r

将前述结果代入,求得 Φ(p)_1 P(r) A(r)=0 4πs。|r-r 因此 E=V④ 标量函数Φ称为电位。因此,上式表明真空中静电场在某 点的电场强度等于该点电位梯度的负值 按照国家标准,电位以小写希腊字母q表示,上式应写为 E=-V 将电位表达式代入,求得电场强度与电荷密度的关系为 E(r) P(r(r-r 4tEor-r

       V V 0 d ( ) 4π 1 ( ) |r r | r r    A(r)  0 将前述结果代入，求得 因此 E   标量函数 称为电位。因此，上式表明真空中静电场在某 点的电场强度等于该点电位梯度的负值。 E   按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为 将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为 V V          d 4π ( )( ) ( ) 3 0 r r r r r E r  

若电荷分布在一个有限的表面上,或者分布在一个有限的 线段内,那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密 度及线密度p的关系分别为 P(r) Ps(r) )dS′ E(T)=∫ Ps(r(r-r) 4πE0S|r-r 4πEn 1,(r) p(r)= E(r) P,(r(r-r) 4兀En|r 0 t8 0

若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的 线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密 度 S 及线密度l 的关系分别为        S S S 0 d | ( ) 4π 1 ( ) r r | r r             S S S 3 0 d | ( )( ) 4π 1 ( ) r r | r r r E r         l dl ( ) 4π 1 ( ) 0 |r r | r r  l            l l l 3 0 d | ( )( ) 4π 1 ( ) r r | r r r E r  

静电场特性的进一步认识: (1)高斯定律中的电量q应理解为封闭面S所包围的全部正 负电荷的总和。 (2)静电场的电场线是不可能闭合的,而且也不可能相交。 (3)任意两点之间电场强度E的线积分与路径无关。真空中 的静电场和重力场一样,它是一种保守场 (4)已知电荷分布的情况下,可以利用高斯定理计算电场强度, 或者可以通过电位求出电场强度,或者直接根据电荷分布计算 电场强度等三种计算静电场的方法

（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正 负电荷的总和。 静电场特性的进一步认识： （2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。 （3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 （4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算 电场强度等三种计算静电场的方法

例1计算点电荷的电场强度。 点电荷就是指体积为零,但具有一定电量的电荷。由于点电荷 的结构具有球对称特点,因此若点电荷位于球坐标的原点,它产生 的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。 取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷,球面 上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律 乐EdS=9 上式左端积分为 E·dS=4E·edS=EdS=4xr2E 得 E 或E 4πEnr 4πr

例1 计算点电荷的电场强度。 点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷 的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生 的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。 取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面 上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律     S q 0 E dS 上式左端积分为          S S S E S r E 2 n E dS E e dS d 4 得 2 4 0r q E   2 r 4 0 E e r q  或 

也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原 点时,|r-r矿那么点电荷的电位为 P(r) 4πE0J 求得电场强度E为 E=-Vo= 4π6。(r)4πEnr 若直接根据电场强度公式(2-2-14),同样求得电场强度E为 E=∫P(r)e rdv'= q Ver 4πE0F

也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原 点时， | r  r  | 。r 那么点电荷的电位为 r q π 0 4 ( )   r  r r q r q E e 2 0 4π 0 1 4π               求得电场强度 E 为 r V r r q V r e r e E 2 0 2 0 4π d 4π ( )          若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为

例2计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可 见,无论电荷何种分布,电位及电场强度 q 均与电量的一次方成正比。因此,可以利 用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位 和电场强度。那么,电偶极子产生的电位 应为 4IEo 4IEor- 4IEo( rr 若观察距离远大于两电荷的间距l,则可认为e,,e与e平行,则 r-r=lcos cosO‖r+cos6≈r

例2 计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可 见，无论电荷何种分布，电位及电场强度 均与电量的一次方成正比。因此，可以利 用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位 和电场强度。那么，电偶极子产生的电位 应为                 r r q r r r q r q 4π 0 4π 0 4π 0     若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 e r ，e r  与 e r 平行，则 r  r  l cos 2 cos 2 cos 2 r l r l r r r                       x -q +q z y l r r- r+  O