西南交通大学：《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析

第一章矢量分析 主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1.标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 例如标量场Φ在P点沿l方向上的方向导 数定义为 (P)-Φ(P)

第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 l P P l l P Δ ( ) ( ) lim Δ 0    − =   → 例如标量场  在 P 点沿 l 方向上的方向导 数 定义为 P l  P l Δl P 

梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见,梯度是一个矢量。 在直角坐标系中,标量场Φ的梯度可表示为 0④ 0④ 0④ grad =e e 十e az 式中gad是英文字母 gradient的缩写。 若引入算符V,它在直角坐标系中可表示为 ayaz 则梯度可表示为 grad④=V④

梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。 x y z y z   +   +   =     e e e grad x x y z x y z   +   +    = e e e grad =  在直角坐标系中，标量场  的梯度可表示为 式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符，它在直角坐标系中可表示为 则梯度可表示为

2.矢量场的通量与散度 通量:矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲 面S的通量,以标量y表示,即 P=AdS 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时,认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因比,当闭合面中有源时,矢量通过该闭合 面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以,前述的源称为正源,而洞称为负源

通量： 矢量 A 沿某一有向曲面S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量 表示，即 2. 矢量场的通量与散度  =  S  A dS 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合 面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源

由物理得知,真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等 于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数E0之比,即, IE dssg 可见,当闭合面中存在正电荷时,通量为正。当闭合面中存在负电 荷时,通量为负。在电荷不存在的无源区中,穿过任一闭合面的通 量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的 通量特性。但是,通量仅能表示闭合面中源的总量,它不能显示源 的分布特性。为此需要研究矢量场的散度

由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等 于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数  0 之比，即， 可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的 通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源 的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。   = S q 0 d  E S

散度:当闭合面S向某点无限收缩时,矢量A4通过该闭合面S的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该 点的散度,以dvA表示,即 A- dS diva= lim △→0△ 式中div是英文字母 divergence的缩写,△V为闭合面S包围的体 积。上式表明,散度是一个标量,它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为 aA dA aA diva ax ay az

散度：当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A在该 点的散度，以 div A 表示，即 V S V Δ d div lim Δ 0   = → A S A 式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为 z A y A x Ax y z   +   +   divA =

因此散度可用算符V表示为 dnA=V·A 高斯定理 dMdⅣ=9A.dS 或者写为 v AdV=9 AdS 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域T中的场和包围区域 的闭合面S上的场之间的关系。因此,如果已知区城V中的场, 根据高斯定理即可求出边界S上的场,反之亦然

因此散度可用算符  表示为 divA =  A   =  V S V divAd A dS 高斯定理    =  V S V 或者写为 Ad A dS 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据高斯定理即可求出边界S 上的场，反之亦然

3.矢量场的环量与旋度 环量:矢量场A沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场A沿该曲 线的环量,以厂表示,即 厂=4A.dl 可见,若在闭合有向曲线l上,矢量场A的方向处处与线元d的方 向保持一致,则环量厂>0;若处处相反,则厂<0。可见,环量 可以用来描述矢量场的旋涡特性

环量：矢量场 A 沿一条有向曲线l 的线积分称为矢量场A 沿该曲 线的环量，以  表示，即 3. 矢量场的环量与旋度  =  l  A dl 可见，若在闭合有向曲线l 上，矢量场 A 的方向处处与线元dl 的方 向保持一致，则环量  > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量 可以用来描述矢量场的旋涡特性

由物理学得知,真空中磁感应强度B沿任一闭合有向曲线l的 环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率A0的乘 积。即 「,Bd=A1 式中电流Ⅰ的正方向与dl的方向构成右旋关系。由此可见,环量 可以表示产生具有旋涡特性的源的强度,但是环量代表的是闭合曲 线包围的总的源度,它不能显示源的分布特性。为此,需要研究 矢量场的旋度

由物理学得知，真空中磁感应强度B 沿任一闭合有向曲线l 的 环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I 与真空磁导率  0 的乘 积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量 可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲 线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究 矢量场的旋度。 I l 0 d =   B l

旋度:旋度是一个矢量。着以符号rotA表示矢量A的旋度,则其 方向是使矢量A具有最大环量强度的方向,其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度,即 rota=e lim J/ max △S→>0 △S 式中rot是英文字母 rotation的缩写,en为最大环量强度的方向上 的单位矢量,△S为闭合曲线l包围的面积。上式表明,矢量场的旋 度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量

旋度：旋度是一个矢量。若以符号rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即 S l S Δ d rot lim max Δ 0 n   = → A l A e 式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en为最大环量强度的方向上 的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋 度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量

直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 rota= OX 或用算符V表示为rotA=V×A 应该注意,无论梯度、散度或旋度都是微分运算,它们表示场在某 点附近的变化特性,场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此,梯 度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是 可微的必要条件。因此在场量发生不连续处,也就不存在前面定义的梯 度、散度或旋度

直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 x y z x y z A A A x y z      = e e e rotA 或用算符  表示为 rotA =  A 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某 点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯 度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是 可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯 度、散度或旋度