上海交通大学：《线性规划与非线性规划》教学资源_第4章 目标规划 第1节 目标规划的数学模型 第2节 解目标规划的图解法

第1节目标规划的数学模型 ·为了具体说明目标规划与线性规划在处 理问题方法上的区别，先通过例子来介 绍目标规划的有关概念及数学模型

第1节 目标规划的数学模型 • 为了具体说明目标规划与线性规划在处 理问题方法上的区别，先通过例子来介 绍目标规划的有关概念及数学模型

例1 某工厂生产I,Ⅱ两种产品，已知有关数据 见下表。试求获利最大的生产方案。 I II 拥有量 原材料(kg) 2 1 11 设备(hr) 1 2 10 利润（元/件） 8 10

例1 Ⅰ Ⅱ 拥有量 原材料(kg) 设备(hr) 2 1 1 2 11 10 利润(元/件) 8 10 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据 见下表。试求获利最大的生产方案

解： •这是求获利最大的单目标的规划问题 用x1,x2分别表示I,Ⅱ产品的产量 •其线性规划模型表述为： 目标函数：maxz=8x1+10x2 2x1+x2≤11 满足约束条件：了x1+2x2≤10 1,2≥0

解： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤+ ≤+ = + 0, 102 2 11 108max 21 21 21 21 xx xx xx xxz 满足约束条件： 目标函数： •这是求获利最大的单目标的规划问题 • 用x1 ，x2分别表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量 •其线性规划模型表述为：

用图解法求得最优决策方案为： x1*=4,x2*-3,z=62(元)。 日标函数：maxz=8x1+10x2 2x1+x2≤11 满足约束条件： 1+2x2≤10 1,x2≥0 (4,3)

用图解法求得最优决策方案为： x 1 *=4, x 2 *=3, z *=62( 元 ) 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤+ ≤+ = + 0, 102 2 11 108max 21 21 21 21 xx xx xx xxz 满足约束条件： 目标函数： (4,3)

实际上工厂在作决策时 要考虑市场等一系列其他条件： (1)根据市场信息，产品I的销售量有下 降的趋势，故考虑产品I的产量不大于 产品Ⅱ。 (2)超过计划供应的原材料时，需用高价 采购，会使成本大幅度增加。 (3)应尽可能充分利用设备台时，但不希 望加班 (4)应尽可能达到并超过计划利润指标56 元

实际上工厂在作决策时 (1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下 降的趋势，故考虑产品Ⅰ的产量不大于 产品Ⅱ。 (2) 超过计划供应的原材料时，需用高价 采购，会使成本大幅度增加。 (3) 应尽可能充分利用设备台时，但不希 望加班 (4) 应尽可能达到并超过计划利润指标56 元 要考虑市场等一系列其他条件：

•这样在考虑产品决策时，便为多目标决 策问题 ·目标规划方法是解这类决策问题的方法 之一

• 这样在考虑产品决策时，便为多目标决 策问题 • 目标规划方法是解这类决策问题的方法 之一

建立目标规划数学模型有关的 概念

建立目标规划数学模型有关的 概念

1.正、负偏差变量d+,d ·设x,X,为决策变量 ·此外，引进正、负偏差变量d*,d >正偏差变量d+表示决策值超过目标值的 部分 >负偏差变量d表示决策值未达到日标值的 部分 >因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有d*×d=0

1.正、负偏差变量 d + ， d - • 设x 1，x 2为决策变量 • 此外，引进正、负偏差变量 d + ， d - ¾正偏差变量 d ＋表示决策值超过目标值的 部分 ¾负偏差变量 d -表示决策值未达到目标值的 部分 ¾因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d + × d - = 0

2.绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不 等式约束；如线性规划问题的所有约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行 解，所以它们是硬约束 ·目标约束是目标规划特有的，可把约束右端 项看作要追求的目标值。在达到此目标值时 允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加 入正、负偏差变量，它们是软约束

2.绝对约束和目标约束 • 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不 等式约束；如线性规划问题的所有约束条 件，不能满足这些约束条件的解称为非可行 解，所以它们是硬约束 • 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端 项看作要追求的目标值。在达到此目标值时 允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加 入正、负偏差变量，它们是软约束

2.绝对约束和目标约束（续） ·线性规划问题的目标函数，在给定目标 值和加入正、负偏差变量后可变换为目 标约束 ·也可根据问题的需要将绝对约束变换为 目标约束 如：例1的目标函数z=8x,+10x,可变换为 日标约束8x+10x2+d1-d1+=56 约束条件2x,+x2≤11可变换为目标约束 2x1+x2+d2-d2=11

2.绝对约束和目标约束（续） • 线性规划问题的目标函数，在给定目标 值和加入正、负偏差变量后可变换为目 标约束 • 也可根据问题的需要将绝对约束变换为 目标约束 • 如：例1的目标函数z=8x1+10x2可变换为 目标约束8x1+10x2+ d1- - d1+=56 约束条件2x1+x2≤11可变换为目标约束 2x1+x2+ d2- - d2+=11