上海交通大学：《数学的天空》课程教学资源_各节习题

课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 习题 第一节习题 习题1.利用定积分或其它不同于课堂上的方法证明素数无限。 习题1.(1)求2×3×5×7+1=211的素因子。 (2)证明费马数F不是素数。 第二节习题 习题2.勾股定理反映了直角三角形三条边长之间的关系，试研究面积 的勾股定理 小组讨论题之一：证明费马平方和定理. 1

➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ❙❑ ✶➌✦❙❑ ❙❑1. ⑤❫➼➮➞➼Ù➜ØÓ✉➅✱þ✛➄④②➨❷ê➹⑩✧ ❙❑1 0 . ↔1↕➛2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211✛❷Ï❢✧ ↔2↕②➨↕êêF5Ø➫❷ê✧ ✶✓✦❙❑ ❙❑2. ✄✘➼♥❻◆✡❺✍♥✍✴♥❫❃⑧❷♠✛✬❳➜➪ï➘→➮ ✛✄✘➼♥. ✂⑤❄Ø❑❷➌➭②➨↕ê➨➄Ú➼♥. 1

第三节习题 补充习题.（女生做）求Fibonacci数列的通项公式. 习题3.求一个三元正定二次型使得其不能表示的最小正整数（该数称 为truant)是14.找出该二次型对应的格的2组不同的基使得其中至少一组基 的基向量不是两两垂直的 补充习题.（男生必做）平面上的格L中的两个格点吃=(a,b:),i=1,2何 时是L的一组基？ 小组讨论题之二：将“Conway的士兵”数学化并分析士兵可能到 达的最大高度 习题4.可以把所有的多项式分成奇偶吗？可以把所有的有理数（实 数、复数)分成奇偶吗？为什么？ 习题5.画出F3平面上的直线和圆，并与F2平面上的直线和圆作比较 第四节习题 小组大作业之三（本题请每组的女同学动手）：制作若干Mobius曲 面，研究下列问题：(1)和圆柱面的差别：(2)沿中线撕开：(3)再沿中线 撕开：(4)试给出一般结论. 2

✶♥✦❙❑ Ö➾❙❑.(å✮❽) ➛Fibonacciê✎✛Ï➅ú➟. ❙❑3. ➛➌❻♥✄✔➼✓❣✳➛✚ÙØ❯▲➠✛⑩✂✔✒ê(❚ê→ ➃truant)➫14. éÑ❚✓❣✳é❆✛❶✛2⑤ØÓ✛➘➛✚Ù➙➊✟➌⑤➘ ✛➘➉þØ➫üü❘❺✛. Ö➾❙❑.(■✮✼❽) ➨→þ✛❶L➙✛ü❻❶✿vi = (ai , bi), i = 1, 2Û ➒➫L✛➌⑤➘? ✂⑤❄Ø❑❷✓➭ ò✴Conway✛➡❲✵ê➷③➾➞Û➡❲➀❯✔ ❼✛⑩➀♣Ý. ❙❑4. ➀➧r↕❦✛õ➅➟➞↕Ûóí➸➀➧r↕❦✛❦♥ê(➣ ê✦❊ê)➞↕Ûóí➸➃➓♦? ❙❑5. ①Ñ F3 ➨→þ✛❺❶Ú☛➜ ➾❺F2 ➨→þ✛❺❶Ú☛❾✬✖. ✶♦✦❙❑ ✂⑤➀❾➆❷♥(✢❑➒③⑤✛åÓ➷➘➹): ➏❾❡❩ Mobius ➢ →➜ï➘❡✎➥❑➭(1) Ú☛❰→✛☛❖➯(2) ÷➙❶❡♠➯(3) ✷÷➙❶ ❡♠➯(4) ➪❽Ñ➌❸✭Ø. 2

第五节习题 习题6.试研究球面S2上的圆周，即研究这样的集合：设Q是S2上给 定的一点，r是一个固定的正数，d(P,Q)表示点P到Q的球面距离.求集 合{P∈S2|d(P,Q)=r}. 小组大作业之四：查找并领会一种非欧几何的模型，使得过该几何 中的任意一条直线L外一点，可以做无数多条直线与L平行（即无交点）. 第六节习题 习题7.(1)试求v2的连分数表示 (2)根据π的连分数表示找出π的前5个最佳分数近似，解释其中分 数号（约率、器（密率）与阿基米德(Achimedes)、祖冲之的方法之间的关 联. 第七节习题 习题8.(1)利用级数 证明欧拉公式 (2)证明 n-1 e2kixm =0 并解释其几何意义.（当n=2时，此即欧拉公式） 3

✶✃✦❙❑ ❙❑6. ➪ï➘➙→S 2 þ✛☛➧➜❂ï➘ù✘✛✽Ü➭✗Q➫ S 2 þ❽ ➼✛➌✿➜ r ➫➌❻✛➼✛✔ê➜d(P, Q)▲➠✿P ✔Q✛➙→å❧. ➛✽ Ü {P ∈ S 2 | d(P, Q) = r}. ✂⑤➀❾➆❷♦➭✝é➾✰➡➌➠➎î❆Û✛✜✳➜➛✚▲❚❆Û ➙✛❄➾➌❫❺❶ L✠➌✿➜ ➀➧❽➹êõ❫❺❶❺ L➨✶(❂➹✂✿). ✶✽✦❙❑ ❙❑7. (1) ➪➛ √ 2 ✛ë➞ê▲➠. (2)❾â π ✛ë➞ê▲➠éÑπ ✛❝5❻⑩❩➞ê❈q➜✮➸Ù➙➞ ê 22 7 (✕➬)✦ 355 113 (➋➬)❺❈➘➆✙(Achimedes)✦②➚❷✛➄④❷♠✛✬ é. ✶Ô✦❙❑ ❙❑8. (1) ⑤❫❄ê e z = X∞ n=0 z n n! ②➨î✳ú➟. (2)②➨ nX−1 k=0 e 2kiπ/n = 0 ➾✮➸Ù❆Û➾➶.(✟n = 2➒➜❞❂î✳ú➟.) 3

小组大作业之五.建立“Love is a fallacy”中的逻辑佯谬(1.Dicto Sim- pliciter草率前提；2.Hasty Generalization草率结论、以偏概全；3.Post Hoc假性因果；4.Contradictory Premises矛盾前提；5.Ad Misericordiam文 不对题、答非所问；6.False Analogy错误类比；7.Hypothesis Contrary to Fact虚假假设：8.Poisoning the Well.人身攻击)的数学模型，并从数学的角 度说明这些佯谬合理与否 第八节习题 习题9.求下列级数的值： 11.1 1 (四1+3+京+4++=∑ 1,1,11 珍+$+丽+雨+而+…- n=1 小组大作业之六.研究悖论中所包含的数学思想，分析若干中西方的典 故（至少包括惠施与庄子、公孙龙、芝诺悖论、囚徒悖论等）以及生活中的例 子. 第九节习题 习题10.设初始(=第0个)正三角形的边长为1.求第n个Koch雪花的长 度与面积.研究当m→o时Koch雪花的长度与面积的变化. 4

✂⑤➀❾➆❷✃. ïá✴Love is a fallacy✵➙✛Ü✻✎➳ (1.Dicto Sim￾pliciterú➬❝❏➯2. Hasty Generalizationú➬✭Ø✦➧➔❱✜➯3.Post Hoc❜✺Ï❏➯4.Contradictory Premises❣ñ❝❏➯5.Ad Misericordiam➞ Øé❑✦❽➎↕➥➯6. False Analogy❺Ø❛✬➯7.Hypothesis Contrary to Fact❏❜❜✗➯8.Poisoning the Well❁✜ô➶)✛ê➷✜✳➜➾❧ê➷✛✍ Ý❵➨ù✡✎➳Ü♥❺➘. ✶❧✦❙❑ ❙❑9. ➛❡✎❄ê✛❾➭ (1) 1 + 1 3 4 + 1 5 4 + 1 7 4 + 1 9 4 + · · · = X∞ n=1 1 (2n − 1)4 =? (2) 1 2 6 + 1 4 6 + 1 6 6 + 1 8 6 + 1 (10)6 + · · · = X∞ n=1 1 (2n) 6 =? ✂⑤➀❾➆❷✽. ï➘✣Ø➙↕➑➵✛ê➷❣➂➜➞Û❡❩➙Ü➄✛❀ ✙(➊✟➑✮➝➊❺❇❢✦ú➎✾✦③ì✣Ø✦➜ä✣Ø✤)➧✾✮➵➙✛⑦ ❢. ✶✃✦❙❑ ❙❑10. ✗Ð➞(=✶0❻)✔♥✍✴✛❃⑧➃ 1. ➛✶n❻Koch➮s✛⑧ Ý❺→➮. ï➘✟n → ∞➒Koch➮s✛⑧Ý❺→➮✛❈③. 4

第十节习题 习题11.(1)求实数集合与复数集合的一个一一对应，从而证明：实数 与复数一样多. (2)证明直线上的点与空间中的点一样多. 习题11'.解释贝特朗悖论 第十一节习题 习题12.证明平面亲吻数K2=6,即与单位圆相切并且互不相交（可以 相切)的单位圆最多有6个 第十二节习题 习题13.利用球极投影证明：去掉球面上的一个点的曲面是平面. 5

✶➏✦❙❑ ❙❑11. (1) ➛➣ê✽Ü❺❊ê✽Ü✛➌❻➌➌é❆➜❧✌②➨: ➣ê ❺❊ê➌✘õ. (2) ②➨❺❶þ✛✿❺➌♠➙✛✿➌✘õ. ❙❑110 . ✮➸✓❆❑✣Ø. ✶➏➌✦❙❑ ❙❑12. ②➨➨→❾➡ê K2 = 6➜❂❺ü➔☛❷❷➾❹♣Ø❷✂(➀➧ ❷❷)✛ü➔☛⑩õ❦ 6 ❻. ✶➏✓✦❙❑ ❙❑13. ⑤❫➙✹Ý❑②➨➭✖❑➙→þ✛➌❻✿✛➢→➫➨→. 5