上海交通大学：《线性规划与非线性规划》教学资源_第3章 运输问题 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法 第4节 应用举例

第3节产销不平衡的运输问题及其求解方法 前面所讲表上作业法，都是以产销平衡 为前提条件的 0 但是实际问题中产销往往是不平衡的。 就需要把产销不平衡的问题化成产销平 衡的问题

第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法 • 前面所讲表上作业法，都是以产销平衡 为前提条件的 • 但是实际问题中产销往往是不平衡的。 就需要把产销不平衡的问题化成产销平 衡的问题

当产大于销 24,>26 i= i=1

当产大于销 ∑ ∑ = = > m i n j ba ji 1 1

运输问题的数学模型可写成 ·目标函数：minz=之∑cx i=1i=1 。满足： s,=12m j=1 ∑x=b,(0=1,2,,m) ≥0

运输问题的数学模型可写成 • 目标函数： • 满足： ∑∑ = = = m i n j ijij xcz 1 1 min ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ == =≤ ∑ ∑ = = 0 ),,2,1(, ),,2,1(, 1 1 ij m i jij n j iij x njbx iax m "

解决方法 ·由于总的产量大于销量，就要考虑多余 的物资在哪一个产地就地储存的问题

解决方法 • 由于总的产量大于销量，就要考虑多余 的物资在哪一个产地就地储存的问题

加入松弛变量 设x,n+1是产地A的储存量，于是有： n+1 ∑+x1=∑y=a,i=12,…,m) j= j=1 ∑xy=bj(=1,2…,n) i=1 2m1=2a,-2b,=hn1 m i= i=l i=1

加入松弛变量 ∑ ∑ = + = + ===+ n j n j niij iij miaxxx 1 1 1 1, " ),,2,1(, ∑ = == m i jij njbx 1 " ),,2,1( ∑ ∑∑ = == + =−= + m i m i n j ni nji bbax 1 11 1, 1 设 x i, n+1是产地 A i的储存量，于是有：

日标函数 令： C =Ci 当i=1,.,m,j=1,.,n时 C=0, 当-1，…，m,jn+1时 将其分别代入，得到 2∑e,y=22cx,+24ar m n+l min i=1i=1 i=1i=1 ∑∑cx = i=1i=1

目标函数 ,0 ' cij = 当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,…，m，j=n+1时 将其分别代入，得到 1 ' ' '' ,1 ,1 11 11 1 1 1 min m n m n m ij ij ij ij i n i n ij ij i m n ij ij i j z cx cx c x c x + + + == == = = = ==+ = ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ijij = cc ' 令：

约束条件 n+ 满足： x=4 j=1 ∑x)=b, j=1,.…,n+1 i=1 ≥0 由于这个模型中 总的储存量 a,=2h,+b+1-, n+l i=1 =1 =1 所以这是一个产销平衡的运输问题

约束条件 ∑∑∑ + = = + = =+= 1 1 1 1 1 n j j n j nj m i i bbba 由于这个模型中 所以这是一个产销平衡的运输问题。 总的储存量 j=1,…,n+1 满足： 1 1 1 0 n ij i j m ij j i ij x a x b x + = = = = ≥ ∑ ∑

当产大于销时： •只要增加一个假想的销地j=n+I(实际上是储 存)，该销地总需要量为 名 a-∑b i=1 =1 •而在单位运价表中从各产地到假想销地的单 位运价为：C,n+1=0 •就转化成一个产销平衡的运输问题

当产大于销时： ∑∑ == − n j j m i i ba 11 •而在单位运价表中从各产地到假想销地的单 位运价为： •就转化成一个产销平衡的运输问题 0 ' c ni +1, = •只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储 存 )，该销地总需要量为

当销大于产时： •可以在产销平衡表中增加一个假想的产 地i=m+1,该地产量为 2b,-2a1 j=1 i=1 •在单位运价表上令从该假想产地到各销地的 运价：Cm+,=0 •同样可以转化为一个产销平衡的运输问题

当销大于产时： ∑ ∑ = = − n j m i ab jj 1 1 •在单位运价表上令从该假想产地到各销地的 运价： •同样可以转化为一个产销平衡的运输问题 0 ' c + ,1 jm = •可以在产销平衡表中增加一个假想的产 地i=m+1，该地产量为

例2设有三个化肥厂(A,B,C)供应四个地区（I, Ⅱ，Ⅲ，V)的农用化肥。假定等量的化肥在这些地 区使用效果相同。各化肥厂年产量，各地区年需要量 及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如表3-25 所示。试求出总的运费最节省的化肥调拨方案。 表3-25 需求地区 化工厂 I I Ⅲ W 产量 (万吨) A 16 13 22 17 50 B 14 13 19 15 60 19 20 23 / 50 最低需求（万吨） 30 70 0 10 最高需求（万吨） 50 70 30 不限

例2 设有三个化肥厂(A，B，C)供应四个地区(Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)的农用化肥。假定等量的化肥在这些地 区使用效果相同。各化肥厂年产量，各地区年需要量 及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如表3-25 所示。试求出总的运费最节省的化肥调拨方案。 表3-25 需求地区 化工厂 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量 （万吨） A B C 16 14 19 13 13 20 22 19 23 17 15 / 50 60 50 最低需求 (万吨) 最高需求 (万吨) 30 50 70 70 0 30 10 不限