上海交通大学：《数学的天空》课程教学资源（讲义）第五讲 宇宙的形状——庞加莱猜想

Figure1:哈勃望远镜中的字宙 课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第五讲宇宙的形状-庞加莱猜想 第一节宇宙的形状 我们居住的地球是近于球状的：我们居住的宇宙是否也是一个巨大的 球？ 哈勃望远镜告诉我们的最古老的星球（颜色最红的星系）己超过8亿年， 威尔金森微波探测仪(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)已经证实字 宙至少有137（士2）亿年.但是人类仍然无法确定我们的宇宙的形状， 1

Figure 1: ▼➬✧✎➸➙✛❽➺ ➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶✃ù ❽➺✛✴●-✡❭✹ß➂ ✶➌✦ ❽➺✛✴● ➲❶Ø✹✛✴➙➫❈✉➙●✛➯➲❶Ø✹✛❽➺➫➘➃➫➌❻ã➀✛ ➙➸ ▼➬✧✎➸✇❾➲❶✛⑩✔P✛✭➙(ôÚ⑩ù✛✭❳)➤❻▲ 8 ➲❝➜ ✪✏✼Ü❻➴✫ÿ↕(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) ➤➨②➣❽ ➺➊✟❦ 137 (±2)➲❝. ✂➫❁❛❊✱➹④✭➼➲❶✛❽➺✛✴●. 1

Figure2:红移 1.红移现象是宇宙膨胀的有力证据 2.航空航天技术需要考虑重力红移，比如GPS系色 2

Figure 2: ù↔ 1. ù↔②➊➫❽➺✮ä✛❦å②â. 2. ✃➌✃❯❊â■❻⑧➘➢åù↔, ✬❳GPS❳Ú. 2

Figure3:亨利.庞加莱 Poincare Conjecture(1904):A sphere that is a sphere is a sphere. 庞加莱1利用他建立的拓扑学（始于欧拉），推测宇宙的形状是一个三维 球面 1 Jules Henri Poincare,1854.4.29一1912.7.27，是一个多产的法国数学家、物理学家、 工程师、哲学家，对几乎所有的数学分支都作出重要贡献，被称为数学界的最后一个 全才。法兰西学院院士（法国文人的最高荣誉），法国科学院院长。他的堂弟Raymond Poincareé是1913-l920的法国总统.庞加莱的导师是Hermite,著名的学生有金融数学的创始 人路易斯.巴舍利耶(Louis Bachelier). 3

Figure 3: í⑤.✡❭✹ Poincare Conjecture(1904)➭ A sphere that is a sphere is a sphere. ✡❭✹1⑤❫➛ïá✛ÿ➚➷(➞✉î✳)➜íÿ❽➺✛✴●➫➌❻♥➅ ➙→. 1 Jules Henri Poincar´e➜1854.4.29✓1912.7.27, ➫➌❻õ✗✛④■ê➷❬✦Ô♥➷❬✦ ó➜➇✦ó➷❬➜ é❆✂↕❦✛ê➷➞⑤Ñ❾Ñ➢❻￾③➜✚→➃ê➷✳✛⑩￾➌❻ ✜â✧④❂Ü➷✓✓➡(④■➞❁✛⑩♣❏➍)➜④■❽➷✓✓⑧✧ ➛✛✱✸Raymond Poincar´e➫ 1913-1920 ✛④■♦Ú. ✡❭✹✛✓➇➫Hermite➜❮➯✛➷✮❦✼❑ê➷✛▼➞ ❁➫➫❞.♥✏⑤❿(Louis Bachelier). 3

Figure4:庞加莱十二面体 现有的观测数据支持庞加莱的宇宙模型：宇宙是一个十二面体（这是一 个三维球) 4

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KONINGSHERCA Figure5:哥尼斯堡 拓扑学的第一个故事发生在哥尼斯堡(Konisberg),现加里宁格勒，俄 罗斯第42大城市.故事的主角欧拉是该城市的荣誉公民 5

Figure 5: ①❩❞✄ ÿ➚➷✛✶➌❻✙➥✉✮✸①❩❞✄(Konisberg)➜②❭♣✇❶❱➜✂ Û❞✶42➀➣➼. ✙➥✛❒✍î✳➫❚➣➼✛❏➍ú➡. 5

®OARD OF TRANSFORTA0 SEVEIl BRD©3s 0F+KO的HG5BERG Figure6:哥尼斯堡七桥 哥尼斯堡七桥问题是历史上有名的问题。这个问题是基于一个现实生 活中的事例：当时东普鲁士哥尼斯堡市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有 两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提 下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？ 6

Figure 6: ①❩❞✄Ô① ①❩❞✄Ô①➥❑➫④↕þ❦➯✛➥❑✧ù❻➥❑➫➘✉➌❻②➣✮ ➵➙✛➥ ⑦➭✟➒➚✃➦➡①❩❞✄➼➠➟✃✎④⑤æàü❲➜à➙✪❦ ü❻✂✑✧ ✂✑❺à✛ü❲❦Ô❫①ë✚✧✸↕❦①Ñ➄❯r➌❍✛❝❏ ❡➜❳Ûâ❯rù❻✴➄↕❦✛①Ñr❍➸ 6

Figure7:哥尼斯堡七桥图 欧拉的想法(1735年)： 把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，如上图。 这样著名的“七桥问题”便转化为“一笔画”的问题。 7

Figure 7: ①❩❞✄Ô①ã î✳✛➂④(1735❝)➭ r③➌➡➸✴⑧➘↕➌❻✿➜ë✚ü➡➸✴✛①➧❶▲➠➜❳þã✧ ù✘❮➯✛✴Ô①➥❑✵❇❂③➃✴➌✮①✵✛➥❑✧ 7

Figure8:一笔哥 多边形显然可以一笔哥. 课题问答：五角星+五边形是否可以一笔哥？正方形加上两条对角线 是否可以一笔哥？ 8

Figure 8: ➌✮① õ❃✴✇✱➀➧➌✮①. ➅❑➥❽➭✃✍✭+✃❃✴➫➘➀➧➌✮①➸✔➄✴❭þü❫é✍❶ ➫➘➀➧➌✮①➸ 8

unUU Figure9:一笔哥 欧拉的推理： 如果一个“图”能够一笔哥，那么对除去起点和终点外的每一个顶 点，必有一条离开它的边和一条进入它的边，因此以该点为一个顶点的边 的数目（称为该顶点的度）必为偶数（这样的顶点称为偶点）。因此，该图的 度数为奇数的顶点只能是起点或终点.如果起点等于终点，则该点也是偶 点，从而奇点的个数只能等于0或者2！ 欧拉一笔哥定理一个连通图形可以一笔哥的充分必要条件是图的奇 点个数是0或2 推论：哥尼斯堡七桥问题无解。 课题问答与练习：正n(n≥4)边形加上其所有对角线是否可以一笔 哥？ 9

Figure 9: ➌✮① î✳✛í♥➭ ❳❏➌❻✴ã✵❯✡➌✮①➜❅♦éØ✖å✿Ú➟✿✠✛③➌❻➸ ✿➜✼❦➌❫❧♠➜✛❃Ú➌❫❄❭➜✛❃➜ Ï❞➧❚✿➃➌❻➸✿✛❃ ✛ê✽(→➃❚➸✿✛Ý)✼➃óê(ù✘✛➸✿→➃ó✿)✧Ï❞➜❚ã✛ Ýê➃Ûê✛➸✿➄❯➫ å✿➼➟✿. ❳❏å✿✤✉➟✿➜❑❚✿➃➫ó ✿➜❧✌Û✿✛❻ê➄❯✤✉ 0 ➼ö 2! î✳➌✮①➼♥ ➌❻ëÏã✴➀➧➌✮①✛➾➞✼❻❫❻➫ã✛Û ✿❻ê➫0➼2. íØ➭①❩❞✄Ô①➥❑➹✮✧ ➅❑➥❽❺ö❙➭✔ n (n ≥ 4) ❃✴❭þÙ↕❦é✍❶➫➘➀➧➌✮ ①? 9

C 3 1 4 A 2 B 6 5 1 D Figure10:哥尼斯堡5桥 哥尼斯堡的七座桥二战时期被炸2座，另有2座被修成够高速公路。现 新修2座，共5座，其中“偶点”3个，“奇点”2个，因斯 哥尼斯堡5桥问题可解！ 10

Figure 10: ①❩❞✄5① ①❩❞✄✛Ô➀①✓Ô➒Ï✚➾2➀➜✱❦2➀✚❄↕✡♣❸ú➫✧② ★❄2➀➜✁5➀➜Ù➙✴ó✿✵3❻➜✴Û✿✵2❻➜Ï❞ ①❩❞✄5①➥❑➀✮! 10