河北工程大学：《数字信号处理》第三章 离散傅立叶变换及其快速算法（刘益成）

第三章 离散傅立叶变换及其 快速算法

第三章 离散傅立叶变换及其 快速算法

3.1周期序列的离散傅立叶级数 31.1周期序列的傅立叶级数(DFS) 对于周期为N的周期序列x(n)可用基序 列{N}来展开。 基波为(m)==ez3 2 x(n)的基频为o 第k次谐波为2(m)=2"=27 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 3.1周期序列的离散傅立叶级数 3.1.1周期序列的傅立叶级数（DFS） 对于周期为N的周期序列 可用 基序 列 { } 来展开 。 的基频为 基波为 第k次谐波为 ( ) ~x n nk N j e 2 ( ) ~x n N   2 0 = n N j j n e n e e   2 1 0 ( ) = = nk N j j nk k e n e e   2 0 ( ) = =

由 2兀n(k+1 丌 k k+rN n=e e, (n 说明eN"是以N为周期的周期序列,所以 基序列{e"}(k=0,,N-1)只有n个是独 立的,可以用这n个基序列将x(n展开 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 由 ( ) ( ) 2 ( ) 2 e n e e e n k n k N n k r N j N j k r N = = = + +   说明 是以N为周期的周期序列，所以 基序列 { }（k=0,…,N-1) 只有n个是独 立的，可以用这n个基序列将 展开 nk N j e 2 nk N j e 2 ( ) ~x n

通常记WN=e W具有以下性质: 1周期性W=W 2共轭对称性W=(W") 3可约性Wm=W 4正交性x∑WWwy)=∑ w(m-k)n 数字信号处理第3章26元0 0m≠k

数字信号处理第3章 © 2004 通常记 具有以下性质： 1.周期性 2.共轭对称性 3.可约性 4.正交性 N j N W e 2 − = WN (n rN) N n WN W + = * ( ) n N n WN W − = n N rn WrN = W     =  = − = − − = 0 1 1 ( ) 1 1 0 ( ) 1 0 * N n m k n N N n mn N kn N W N W W N m k m k  =

离散傅立叶级数的表示: 正变换:X(k)=DFS【(n) 2兀nk ∑x(n)eN=∑x(n)Wx 0 反变换:x(m)=DFS[x(k 入之X=1 ∑X(k)WA N k=0 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 离散傅立叶级数的表示： 正变换： 反变换：     − = − = − = = = 1 0 1 0 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N n n k N N n n k N j x n e x n W X k DFS x n      − = − − = = = = 1 0 1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ N k n k N N k n k N j X k W N X k e N x n IDFS X k 

3.1.2离散傅立叶级数(DFS)的性质 1线性性 如果X1(k)=DFS[x(n)] X,(k)=DFSx, (n) 对任何实数或复数a1,a2有 DFSa, x, ( n)+a,x2(n)] G,X,(k)+a2X2(k) 数字信号处理第3章@2004

数字信号处理第3章 © 2004 3.1.2离散傅立叶级数（DFS）的性质 1.线性性 如果 则对任何实数或复数 ， 有    ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 2 2 1 1 X k DFS x n X k DFS x n = = a1 2 a   ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 2 2 1 1 2 2 a X k a X k DFS a x n a x n = + +

2序列周期的移位性质 如果 DFS(n)=X(k) 则DFS[(n+m)=WxmR(k) mk X(k) 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 2.序列周期的移位性质 如果 则   ( ) ~ ( ) ~ DFS x n = X k   ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 2 e X k DFS x n m W X k m k N j m k N  = + = −

证明 N-1 k DFS[(n+m)]=>x(n+m)WN n=0 N-1+m x(iWN ik.W mk N L=m Wm∑x()K=Wxm(k) i=0 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 证明：  − = + = + 1 0 ( ) ~ ( )] ~ [ N n n k m WN DFS x n m x n mk N N m i m i k x i WN W − − + = =   1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 0 W x i W W x k m k N N i i k N m k N − − = − =  =

3频域移位(调制)特性 如果DFS[x(m)]=X(k) 则 DFSWNX(n)=X(k+D) 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 3.频域移位（调制）特性 如果 则   ( ) ~ ( ) ~ DFS x n = X k   ( ) ~ ( ) ~ DFS W x n X k l nl N = +

4.周期卷积定理 设x1(n)和x2(n)具有相同的周期N 则周期卷积 记为y(n)=∑x(m)2(n-m) m=0 v(n)=x1(m)8x2(n 数字信号处理第3章⊙2004

数字信号处理第3章 © 2004 4.周期卷积定理 设 和 具有相同的周期N 则周期卷积 ( ) ~x1 n ( ) ~x2 n 记为  − = = − 1 0 1 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ N m y n x m x n m ( ) ~ ( ) ~ ( ) = x1 n  x2 n ~ y n