《材料力学》课程教学资源（习题解答）第2章 考虑材料塑性的极限分析

第二章考虑材料塑性的极限分析 2-1一组合圆筒,承受荷载F,如图a所示。内筒材料为低碳钢, 横截面面积为A,弹性模量为E1,屈服极限为σ;外筒材料为铝合 金,横截面面积为A2,弹性模量为E2,屈服极限为σ2。假设两种 材料均可理想化弹性-理想塑性模型,其应力-应变关系如图b所示。 试求组合筒的屈服荷载F和极限荷载F 解:(1)求屈服荷载F 低碳钢刚出现屈服时,F=σ1A1=σ。A4 此时铝仍处于线弹性阶段,且其应变与低碳钢相同,即 故 F=OA=EEA=EEsA 屈服荷载F=F1+F2=141+E2EsA2 (2)求极限荷载F 此时铝刚达屈服 F1=G141,F2=02A2 F=F1+F2=1A1+a2A2 2-2一水平刚性杆AC,A端为固定铰链支承,在B,C处分别与两根长度l、橫截面面 积A和材料均相同的等直杆铰接,如图所示。两杄的材料可理想化为弹性-理想塑性模型, 其弹性模量为E、屈服极限为σ。在刚性杆的D处承受集中荷截F,试求结构的屈服荷载 F。和极限荷载F 解:(1)由图22a,∑M4=0.F,2a=FBa+F3a 2F=FR+3FC (1) 在线弹性阶段 8= FRl =36 Fc=3F8 (2) 代入式(1),得FB=F,F=F ∑F=0,FA=0 ∑F=0.FA==F (2)显然杆C先达到屈服,此时 三O A 0, F=-Ao,F=-Ao 3 (3)杆C屈服后,杆C受力保持FσA,杆C失去约束作用,使杆B也达屈服,此 时杆B应力达σ 166

  ) D $ ( VV $ ( VV   E )V )X  )V ) $ VV V$  V H H )  $ (  $ ( V$ V HH )V ) ) V$ ( V$   HV  )X  V  V V V  VV       ) $  VV $) ) )  ) V$  VV V$  $& $ %& O $  ( VV ' ) )V )X  D ¦ 0 $  ) D )% D  & D) ) )% )&     & % & & % % ($ ) O ($ ) O G G G  G )& )%    )% )   )& )   ¦ ¦ ) ) ) ) ) \ $\ [ $[       & V VV $ )& & V V V V         V ) $V $) V $ )  & & )&VV$ & % % VV ) R V VV VV V H V H H ) ) ) $ % & ' ) D D D $ % & ' )$\ )$[ )% )& ) % G & G ) $) $\ % VV )& VV$ ) D D D )$[

FR=OA MA=0,F·2a=Fna+F.3a 即 F.2a=Aa+oA·3a=4dAa 故 F=20A 2-3例题2-1中的三杆铰结超静定结构,若在荷载达到极限荷 载F=,A(1+2cosa)后,卸除荷载,试求中间杆3内的残余 应力 解:由例题2-1结果知,三杆均处于弹性阶段时 O1=0 A(+cos a)'3 A(1+2cos a) 杆3屈服时,即σ3=a FS=0s A(1+2 cosa) 因此式(1)可改写为 cos a (3) 当1,2,3杆均屈服时: G1==03=0 此时,极限荷载为:F=σ,A(1+2cosa) (5) 所以:= (6) F 1+2 cos3 当荷载至F,立即反向卸载,反向卸载时三杆呈线弹性状态,反向荷载为-F,即将F-F 代入式(3),得: △ F F 卸载结束时,由式(4),(7)得残余应力 (1-) (1 2cos a(1-cos a) sin 2a sin a G(压) 1+2 cos a 1+2 cos 注:杆3为残余压应力,杆1、2为残余拉应力,但杆1、2、3均为残余拉应变。 2-4等直圆轴的截面形状如图所示,实心圆轴 的直径d=60mm,空心圆轴的内、外径分别为 do=40mm,D。=80mm。材料可视为弹性理想 塑性,其剪切屈服极限τ,=160MPa。试求两轴的 极限扭矩 167

 )% VV$ ¦ 0 $  ) D )%D  D) ) D $D $ D $D V V  V  V   VV )X VV$    FRV  )X V V $  D     FRV    FRV  FRV       D V D D V V   $ ) $ )   V VV   FRV   )V VV$  D     FRV    V  V  V V   ) ) ) ) V V V D VV     V V  V VV    FRV  )X VV$  D  D D  V X   FRV   FRV   ) )  )X  )X )  )X  FRV    V X    V V X   ) ) ) )  '  'V 'V V D VV       FRV   FRV     V   V X V V V X  V D D V V V V V      ) ) ) )  V  V    FRV VLQ  VLQ   FRV  FRV  FRV  V D D D V D D D      FRV    FRV   FRV   FRV   V   V V X   V D D D V V V V D V     ) )  V   FRV VLQ V D D         G  PP G  PP '  PP   03D V W    $ ) D D

解:Tm=后2 oprs dp=a,22×160×105×303×103=905Nm dd 2 160×10 2t prdp=2t 3 3140-2031×109=18.75kN·m 2-5一半径为R的等直实心圆轴,材料可视为弹性 理想塑性,如图所示。在扭转时处于弹性-塑性阶段,即横 截面上的扭转T处于T故2+δ≈2,42+82≈42) W4, 所以

  N1 P          G      V   V  VX u u u u ³  G 7 G U W U W >  @   N1 P         G          V   V  KX    u u u  ³  ' G 7 ' G U W U W  5   7 7V 7  7X  V  V   W 7 U 5         G  G   V      V  V   V   5 U U U U 7 5 U U ³  ³   W W U U W U U W U     V   V W 5 W U  V      W 7 U 5   V     W 7 U 5   :V :  G  U  V ::   K E   :V :  ³ ³    V F W F   : 6 6 6  \ G $  U VLQM U GTG        G VLQT G GT UU ³ ' ' ' ' :    G      G       u    >    @>    @          G G G G G        U U U U U                     G G G G G G     U U U U U U        U U U G G         U !! G  U  | U  GG | UU      V  U U : : G G R V W R W J \ ] 2 T GT G $ \ ] 2 & K  E 

hh、bh2 (2)W=S。+S1=2S。=2(b·× 6 bb bh (3dy)=4 2 bh 故 2.00 w bh 2-7图示T形截面梁的材料可视为弹性理想塑μ70 性,其屈服极限σ=235MPa,试求该梁的极限弯 解:1.求极限塑性中性轴位置 70=70×(8-y)+62×8,y=7.543mm W=S1+S。=70 y y·+70×=(8-y) +62×8×[(8-y)+31=1760lmm Mn=H,=235×10×17601×107=4.14kNm 2-8矩形截面简支梁受载如图所示。已知梁的截 面尺寸为b=60mm,h=120mm;梁的材料可视为 弹性理想塑性,屈服极限,=235MPa。试求梁的.C,D. 极限荷载。 解:由图2-8a ∑M4=0FB=3F 5 5 M W 5 W F F=-bh ×60×1202×1039×235×10°=30456N≈30.5kN 2-9受均布荷载作用的简 支梁如图所示。已知该梁的材料 可视为弹性理想塑性,屈服极++ 限G,=235MPa。试求梁的极易

           V F W F K K EK : 6  6 6 E u ³³ ³  $ $ K ] EK \ \ K E E , \ $ \ \ \         G   G  G       EK K , : ]      V EK EK : :  7   03D VV  \  u   \   u  \ PP   V W F        \ \ : 6  6 \  u   uu>  \ @  PP      N1 P   X V V u u u  0 V :  E  PPK  PP   03D V V D ¦ 0 $ % ))    ¦)\ $ ))    0 ' 0 ) )      PD[ u      V EK K EK : u 0 X VV :V     X V EK ) V       1 N1        V  X u u u u u |  ) EK V    03D VV    \ ]  ) ) $ % & ' P P P E ) ) $ % & ' )% )$ T P       \ D ]

限荷载。 解:由图 250y=(50-y)×250+25×200+50×100 y= W=S1+S。=250×45××10+(50×100×230+25×200×105 250×5×25)×103=1.931×10 M=gn q1 12=aW 235×106×1.931×10 =227×103N/m=227kN.m 2-10图2-a所示端固定、一端铰支的超静定 梁,承受均布荷载q。梁的材料可视为弹性-理想塑 性,已知其极限弯矩为M,。试证明梁的极限荷载 为qn=11.66Mn/12。 提示:除固定端的塑性铰外,另一塑性铰的位置与弹性分析中的M←位置不同。令另 塑性铰距固定端为a,可由dqn/da=0,求得另一塑性铰的位置a 证:如图,设距定端A为a处为另一塑性铰位置,则 (0)=F--qnl=-M (a)=F(-a)-qn(-a)2=M dm(a) q(-a) 式(1)+式(2),得 FB(22 (2-2l+a)=0 式(3)代入上式,得 q(-a)(2l-a) %(212-2la+a2)=0 化简,得:a2-4al+212=0(0≤a≤1 解得: √2) 代入式(3),得:FB=(V2-11 代入式(1),得:(√2-1)q1P2-1g12=-M 化简,得:%=(06+A5个110 证毕

 D  \   \ u    u    u \             V W  F u u u  u u  u  : 6 6 u       u u u     P u X V V  PD[    0 TO 0 V : V V  X   T O V :     V V X        u u u u O : T V   1P  N1 P  u  D T  0 X  X X T  O0  0 PD[ D G  G  TX D D $ D X  X   0 0  ) TO 0O $ %    X  X     0 D ) O D OT 0D %         G G   )  TX  DO D 0 D %               )% O  D  TX O  DOD             TX O  D O  D  TX O   DOD        D  DO  O D dd O D    O  ) T O % X     X  X  X     T O  T  0O  X  X X     O 0 O 0 T | TX D $ % )$ )% O 0 $ TX O  D % )% 0X )6