《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第二章 离散型随机变量

第二章 离散型随机变量 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com

第二章 离散型随机变量 离散型随机变量 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com

2.1随机变量 定义(P32),设Ω是试验 的样本空间,如果对于每一 个样本点⑩∈Ω,有一实 数X0)与之对应,则称X 为随机变量。 随机变量常用X、Z或ξ 、们、了等表示

2.1随机变量 Ω ω 定义（P32）. 设 是试验 ω 的样本空间，如果对于每一 个样本点 ，有一实 数X=X( )与之对应，则称X 为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 ξ 、η、ζ等表示。 Ω ω ∈Ω ω

例.引入适当的随机变量描述下列事件: 1.将3个球随机地放入三个格子中,记录空格子的个 数,事件A=有1个空格},B={有2个空格},C={全 有球}。 2.进行5次试验,记录成功次数,事件D{试验成功 次},F(试验至少成功一次},G{至多成功3次} 3.记录炮弹的弹着点到靶心的距离,事件A={到靶心 的距离在0.5到0.3米之间},事件B{到靶心的距离 大于0.5米} 4.记录某传呼台一小时内收到的呼叫次数,事件 A=呼叫次数超过20,事件B={呼叫次数小于5}

例．引入适当的随机变量描述下列事件： 1. 将3个球随机地放入三个格子中，记录空格子的个 数，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全 有球}。 2. 进行5次试验，记录成功次数，事件D={试验成功一 次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次} 3. 记录炮弹的弹着点到靶心的距离，事件A={到靶心 的距离在0.5到0.3米之间}，事件B={到靶心的距离 大于0.5米} 4. 记录某传呼台一小时内收到的呼叫次数，事件 A={呼叫次数超过20}, 事件B={呼叫次数小于5}

随机变量的分类: 离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型(混合型) 定义:如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个, 则称X为离散型随机变量

  奇异型（混合型） 连续型 非离散型 离散型随机变量 随机变量的分类： 随机变量 定义：如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个， 则称 X 为离散型随机变量．

2.2离散型随机变量 定义(3若随机变量X取值x1,x2…,x 且取这些值的概率依次为p1,p2…,pn 则称x为离散型随机变量,而称 PX=x}=p,(k=1,2, 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=X/=pu, (k=1 ●●鲁 或 p

2.2离散型随机变量 定义(P33) 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或… X ~ X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk …

分布律的性质 (1)p≥0,k=1,2, (2)∑P=1 例:设袋中有5只球,其中有2只白、3只黑。 现从中任取3只球(不放回),求抽得的白球数X为 k的概率。 解k可取值0,1,2 k/3-k PiX=k=

(1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2) ∑ ≥1 1. k pk＝ { } . 3 5 3 2 3 C C C P X k k −k ＝ ＝ 例： 设袋中有5只球，其中有2只白、3只黑。 现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为 k的概率。 解 k可取值0，1，2 分布律的性质

例:某人投篮,命中率为0.7,规则是:投中后或投 了4次后就停止投篮,以X表示投篮的次数,求X的分 布律 解:设A第次投中目标,i1,2,3,4 则A1,A2…A相互独立且 P(A)=0.7,i=1,2,.X={1,2,3,4 P(X=l}=P(A)=0.7 PX=2}=P(A42}=0.3×07=021 PX=3}=P{A44=0.3×0.3×0.7=0.063 P{X=4}=? PX=4=P(A A,A,A4 U A A,A 0.3×0.7+0.34=0.027

例：某人投篮，命中率为0.7，规则是：投中后或投 了 4次后就停止投篮，以 X表示投篮的次数，求 X的分 布律。 解：设 A i 第 i次投中目标，i=1,2,3,4 则 A 1,A2, … A4,相互独立且 P(A i)=0.7,i=1,2, …4. X={1,2,3,4}, 1 PX PA { 1} ( ) 0.7 == = 1 2 P X P AA { == = × = 2}{ } 0.3 0.7 0.21 P X{ 4} ? = = 123 P X P AAA { == = × × = 3}{ } 0.3 0.3 0.7 0.063 12 34 12 3 4 3 4 { 4} { } 0.3 0.7 0.3 0.027 P X P AAAA AAAA = = = ×+ = ∪

例:设随机变量X的分布律为 n=1,2 试求常数c 解:由随机变量的性质,得 1=∑Px==∑ 该级数为等比级数,故有 1=∑x=n}=∑ 所以C=3

例：设随机变量 X 的分布律为 { } ( ) 1， 2，" 41  =   P X = n = c n n 解：由随机变量的性质，得 ∑ { } ∑ ∞ = ∞ =   = = = 1 1 41 1 n n n P X n c 该级数为等比级数，故有 ∑ { } ∑ ∞ = ∞ =   = = = 1 1 41 1 n n n P X n c 4 1 1 4 1 − = c ⋅ 所以 c = 3． 试求常数c

例:某人对某目标射击,直到击中为止,命中率 为p,以表示射击的次数,求X的分布律。 X123 p pq 即X的概率分布为 X~PX=k}=pqk(k=1,2,…) 称X服从几何分布

例:某人对某目标射击，直到击中为止，命中率 为p，以X表示射击的次数，求X的分布律。 X p 1 2 3 …… k …… p pq pq2 …… pq k-1 …… 即X的概率分布为 X～ P{X=k}=pq k-1 (k=1, 2, … ) 称X服从几何分布

几个常用的离散型分布 (-)超几何分布 如果随机变量X的分布律为 k an-k P(x=k=-M N-M(=0,1,.., min(M, n) N 其中N,M,n均为自然数. 则称随机变量X服从参数为(N,M,n的超几何分布

如果随机变量 X 的分布律为 { } ( ) k ( ) M n C C C P X k nNn k N M k = = M = 0，1，"， min ， −− 其中N， M， n均为自然数． 则称随机变量 X 服从参数为( ) N， M， n 的超几何分布． 几个常用的离散型分布 （一）超几何分布