《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

第七章函数矩阵与矩阵微分方程 历数矩阵 定义:以实变量x的函数为元素的矩阵 「a1(x)a2(x) a(X a2(x)a2(x) a. A(x) 2n a,x a m2 (x) a(x

第七章 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵 定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m mn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x     =         x

称为函数矩阵,其中所有的元素 (x),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n 都是定义在闭区间[a,b上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法,数乘, 乘法,转置等几种运算,并且运算法则完 全相同。 例:已知

称为函数矩阵，其中所有的元素 都是定义在闭区间 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘， 乘法，转置等几种运算，并且运算法则完 全相同。 例：已知 ( ), 1, 2, , ; 1, 2, , a x i m j n ij = = [ , ] a b

X sinx 1+x cos x B= 1+x 计算A+B,AB3,A,2(A-B) 定义:设A(x)为一个n阶函数矩阵,如果 存在n阶函数矩阵B(x)使得对于任何 x∈[a,b]都有 4(x)B(x)=B(x)A(x)=1 那么我们称A(x)在区间[a,b上是可逆的

1 sin 1 cos , 1 1 x x x x x x A B e x e x     − + = =         + − 计算 定义：设 为一个 阶函数矩阵，如果 存在 阶函数矩阵 使得对于任何 都有 那么我们称 在区间 上是可逆的。 , , ,2 ( ) T x A B AB A A B + − n B x( ) x a b [ , ] n A x B x B x A x I ( ) ( ) ( ) ( ) = = A x( ) [ , ] a b A x( )

称B(x)是A(x)的逆矩阵,一般记为A(x) 例:已知 A(x)=/x 0 ,那么A(x)在区间[3,5]上是可逆的,其 逆为 0

称 是 的逆矩阵，一般记为 例 ：已知 ，那么 在区间 上是可逆的，其 逆为 B x( ) A x( ) 1 A x( ) − 1 1 ( ) 0 x A x x e   =       A x( ) 1 ( ) 1 0 x x x x e A x e −   −   =       [3,5]

函数矩阵可逆的充分必要条件 定理:阶矩阵A(x)在区间[a,b]上可逆 的充分必要条件是(x)在[a,b上处处不 为零,并且 A(x)=,A(x) 4(x) 其中4(x)为矩阵A(x)的伴随矩阵。 定义:区间[a,b上的m×n型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为A(x)的秩

函数矩阵可逆的充分必要条件 定理 : 阶矩阵 在区间 上可逆 的充分必要条件是 在 上处处不 为零，并且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵。 定义：区间 上的 型矩阵函数不 恒等于零的子式的最高阶数称为 的秩。 m n  A x( ) [ , ] a b A x( ) [ , ] a b 1 * 1 ( ) ( ) ( ) A x A x A x − = * A x( ) A x( ) [ , ] a bA x( )

特别地,设A(x)为区间[a,b让的n阶矩阵 函数,如果A(x)的秩为n,则称A(x)一个 满秩矩阵 注意:对于阶矩阵函数而言,满秩与可逆不 是等价的。即:可逆的一定是满秩的,但是 满秩的却不一定是可逆的。 例:已知 0-1 2

特别地，设 为区间 上的 阶矩阵 函数，如果 的秩为 ，则称 一个 满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不 是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是 满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知 A x( ) [ , ] a b n A x( ) n A x( ) 2 0 1 A x( ) x x   − =    

那么4(x)=x。于是A(x)在任何区间 a,b上的秩都是2。即(x)是满秩的。但 是A(x)在[a,b]上是否可逆,完全依赖于 a,b的取值。当区间[a,b]包含有原点时 A(x)在a,b上有零点,从而A(x)是不 可逆的。 数矩阵矿纯量的导数和积分 定义:如果A(x)=(an(x)mxn的所有各元 素an(x)在x=x0处看极限,即

那么 。于是 在任何区间 上的秩都是2。即 是满秩的。但 是 在 上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间 包含有原点时， 在 上有零点，从而 是不 可逆的 。 函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：如果 的所有各元 素 在 处有极限，即 A x x ( ) = A x( ) [ , ] a b A x( ) A x( ) [ , ] a b a b, [ , ] a b A x( ) [ , ] a b A x( ) ( ) ( ( )) A x a x = ij m n ( ) a x ij 0 x x =

lim a, (x) (i=1,…,m;j=1,…,n) x→)x 其中an为固定常数。则称A(x)在x=x处 有极限,且记为 lim A(x)=A x->x0 其中 12 C A= 21 22 ●香 m2 nn

0 lim ( ) ( 1, , ; 1, , ) ij ij x x a x a i m j n → = = = 其中 为固定常数。则称 在 处 有极限，且记为 其中 ij a 0 x x = 0 lim ( ) x x A x A → = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         A x( )

如果A(x)的各元素a1(x)在x=x0处连续, lim a(x)=a1(x)(i=1,…,m;j=1,…,n) x->x0 则称A(x)在x=x处连续,且记为 lim A(x)=A(no) x->x0 其中

如果 的各元素 在 处连续， 即 则称 在 处连续，且记为 其中 A x( ) ( ) a x ij 0 x x = 0 0 lim ( ) ( ) ( 1, , ; 1, , ) ij ij x x a x a x i m j n → = = = A x( ) 0 x x = 0 0 lim ( ) ( ) x x A x A x → =

11(0 )a12(x0)…a1n(x0) A(x)= 21(0 22(0 2n(0 (x0)an2(x0) X nn 0 容易验证下面的等式是成立的 设 lim A()=A, lim b(x)=B x->x0 x→x (1)lim(4(x)±B(x)=A±B x→)x 0

11 0 12 0 1 0 21 0 22 0 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m mn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x     =         容易验证下面的等式是成立的： 设 则 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x A x A B x B → → = = 0 (1) lim( ( ) ( )) x x A x B x A B →  = 