《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 开课系:数学学院 主讲教师:刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 开课系：数学学院 主讲教师：刘亚平 Email:yapingliu66@tom.com

§4.1数学期望 4.1.1数学期望的定义 例:某自动化车床在一天内加工的零件中,出现次品的数量X 是一个随机变量。由多日统计,得Ⅹ的分布律如下: 1234 0.1502704410.100.04 问车床平均一天出几个次品? 设车床工作100天,按分布律,理想化后可得平均值为 x=0*0.15+1*0.27+2*044+3*0.10+4*0.04 ∑x=1.61 k=0

§4.1 数学期望 4.1.1 数学期望的定义 例：某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X 是一个随机变量。由多日统计，得X的分布律如下： 0.10 3 p 0.15 0.27 0.44 0.04 i X 0 1 2 4 问车床平均一天出几个次品？ 设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为 4 0 0 * 0.15 1* 0.27 2 * 0.44 3* 0.10 4 * 0.04 1.61 k k k x x p = = ++ + + = = ∑

定义4.1.1.P(107)若离散型随机变量X~ PX=x}=p,k=-1,2,…,n,如果级数 ∑ k pk k=1 绝对收敛,则称此级数为随机变量X的数学期望(均值)。 记为 E(X)=∑xkP k=1 数学期望——描述随机变量取值的平均特征

定义 4.1.1.P(107) 若离散型随机变量X～ P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 如果级数 ∑ = = n k k pk E X x 1 ( ) 1 n k k k x p = ∑ 绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望（均值）。 记为 数学期望——描述随机变量取值的平均特征

甲、乙两人射击,他们的射击水平由下表给出: X:甲击中的环数; Y:乙击中的环数; Ⅹ 10 0.1030.6 Y 0.2 0.50.3 试问哪一个人的射击水平较高?

甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； X 8 9 10 P 0.1 0.3 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 试问哪一个人的射击水平较高？ 例：

解 甲、乙的平均环数可写为 EX=8×0.1+9×0.3+10×0.6=95 EY=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 因此,从平均环数上看,甲的射击水平要比乙的好

解： 甲、乙的平均环数可写为 EX = 8 × 0.1+ 9 × 0.3 +10 × 0.6 = 9.5 EY = 8×0.2 + 9×0.5 +10×0.3 = 9.1 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好．

定义4.1.2.P(108)若连续型随机变量X~f(x), 如果广义积分 xf(xdx 绝对收敛,则称此积分为随机变量 X的数学期望(均值)。记为 E(X)=xf(x)d3

定义 4.1.2.P(108) 若连续型随机变量X～f(x), 如果广义积分 EX x ( ) () f x dx ∞ −∞ = ∫ xf x dx ( ) ∞ − ∞ ∫ 绝对收敛，则称此积分为随机变量 X的数学期望（均值）。记为

例:设随机变量X~e(λ),求E(X)。 解 e x>0 X-f(x) 其它 由定义有 E(X)=xf(r)dx 入 e dx= +0 nxe d(nx r(2)

例：设随机变量X～e(λ)，求E（X）。 解： , 0 ( ) 0, x e x X fx λ λ −  > =  ∼ 其它 由定义有 E X xf x dx ( ) () ∞ −∞ = ∫ 0 x e dx λ λ + ∞ − = ∫ 0 1 ( ) x xe d x λ λ λ λ +∞ − = ∫ 1 1 (2) λ λ =Γ =

例 设随机变量X服从 Cauchy分布,其密度函数为 0<X<+00 π1+x 由于 (===广 + 这表明积分(址如不绝对收线,因而E不存在

设随机变量 X 服从Cauchy分布，其密度函数为 由于 ( ) ∫ +∞ −∞ x f x dx ( ) ( ) − ∞ < < +∞ + = ⋅ x x f x 2 1 1 1 π ∫ +∞ −∞ + = dx x x 2 1 1 π ∫ +∞ + = 0 2 1 2 dx x x π ( ) +∞ = + 0 2 ln 1 1 x π = +∞ 这表明积分 ∫ ( ) 不绝对收敛， +∞ −∞ xf x dx 因而 EX 不存在． 例

412随机变量函数的数学期望 例:设随机变量X的分布律为 k为 求随机变量Y=X的数学期望 解:Y10 E(Y)=1·+0· 3

例：设随机变量X的分布律为 解: 求随机变量Y=X2的数学期望 X Pk -1 0 1 3 1 3 1 3 1 Y Pk 1 0 3 1 3 2 3 2 3 1 0 3 2 ∴ E(Y) =1⋅ + ⋅ = 4.1.2 随机变量函数的数学期望

定理.(108)设X为随机变量,Y=g(X)是X的函数 (1)若离散型随机变量X~P{X=x}=p,k-1,2,…, 如果级数 ∑g(x)p k=1 绝对收敛,则 E(Y)=E(g(X)=∑g(x)Pk (2)若连续型随机变量X~f(x),如果广义积分 g(x)f(x)dx绝对收敛,则 E(Y)=E(g(X)= g(x)f(x)dx

定理4.1.1 P(108) 设X为随机变量，Y=g(X)是X的函数 (1)若离散型随机变量X～P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 如果级数 1 ( ) k k k gx p ∞ = ∑ 绝对收敛，则 1 ( ) ( ( )) ( ) k k k EY E g X g x p ∞ = = = ∑ (2)若连续型随机变量X～f(x), 如果广义积分 g x f x dx () () ∞ − ∞ ∫ 绝对收敛，则 E Y E g X g x f x dx ( ) ( ( )) ( ) ( ) ∞ −∞ = = ∫