《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第五章 向量与矩阵的范数

第五章向量与矩阵的范数 定义:设是实数域R(或复数域C)上 的n维线性空间,对于V中的任意一个向量 c按照某一确定法则对应着一个实数,这个 实数称为的范数,记为c,并且要求 范数满足下列运算条件: (1)非负性:当a≠0,|d>0只 有且仅有当a=0,|l=0 (2)齐次性:ka=kl,k为任 意数

第五章 向量与矩阵的范数 定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上 的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 实数称为 的范数，记为 ，并且要求 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只 有且仅有当 （2） 齐次性： 为任 意数。 V R n V    C     0, 0   = = 0, 0 k k k   =

(3)三角不等式:对于V中的任意两个 向量,B都有 la+B<a+B 例:在n维线性空间C"中,对于任意的 向量a=(a1,a2,…,an)∈C"定义 )|l=∑ (2)‖ (3)all=max, 1≤i<n

（3） 三角不等式：对于 中的任意两个 向量 都有 例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的 向量 定义 V  ,     +  + n n C 1 2 ( , , , ) n  =  a a a C n 1 1 1 2 2 2 1 1 (1) (2) ( ) (3) max n i i n i i i i n a a a    = =    = = =  

证明 2 都是Cn上的范数,并且还有 (1) .≤nlo 2)‖ 2 2 B3)walsall sna 2 引理( Holder不等式):设 C 152 ],B=[h,…,b]∈C

证明： 都是 上的范数，并且还有 引理（Hoider不等式）：设 n C 1 2    , ,  ' 1 ' 2 1 2 ' 2 (1) (2) (3) n n n                     1 2 1 2 , , , , , , ,    T T n   = =  a a a b b b C n n

则 ∑≤a)P) 其中P>1,q>1且 p,g 引理( Minkowski不等式):设 a=la 152 ],B=[b,b2…,b2]∈C C∑|a+b)"≤(∑)+C∑|)

则 其中 且 。 引理（Minkowski不等式）：设 则 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n p q p q i i i i i i i a b a b = = =     p q   1, 1 1 1 1 p q + =  1 2 1 2 , , , , , , ,    T T n   = =  a a a b b b C n n 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n p p p p p p i i i i i i i a b a b = = =    +  +

其中实数p≥1。 几种常用的范数 定义:设向量a=[a1,a2,…,an],对任 意的数p≥1,称 为向量O的p-范数。 常用的P-范数: (1)1范数|l1=∑a

其中实数 。 几种常用的范数 定义：设向量 ，对任 意的数 ，称 为向量 的 范数。 常用的 范数： （1）1－范数p −  1 2 , , ,  T  = a a an p  1 1 1 ( ) n p p p i i  a = =   p − 1 1 n i i  a = =  p  1

(2)2—范数 H1/2 C 2 也称为欧氏范数。 (3)0一范数lal=inll 定理: all =max 1<i<n 证明:令x=maxl|,则 1≤i

（2）2－范数 也称为欧氏范数。 （3） －范数 定理： 证明：令 ，则 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) n H i i    a = = =   1 max i i n  a    = lim p p    → = 1 max i i n x a   =

于是有 另一方面 ≤∑ p<1 ≤C∑y)≤n

, 1,2, , i i a y i n x = = 于是有 另一方面 1 1 ( ) n p p p i i  x y = =  1 1 1 1 1 1 ( ) n p i i n p p p i i y n y n = =      

故 lim( i=1 由此可知 ‖=lim|cn=x=max(N 1<i<n 定义:设a,1al是n维线性空间y 上定义的两种向量范数,如果存在两个与 无关的正数d1,d2使得 d1|lb. a≤d2lb,va∈v

1 1 lim( ) 1 n p p i p i y →  =  = 故 由此可知 定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得 1 lim max p i p i n   x a  →   = = =   a b , n V  1 2 d d , 1 2 , b a b d d V        

定理:有限维线性空间V上的任意两个向 量范数都是等价的。 利用向量范数可以去构造新的范数。 例:设-是Cm上的向量范数,且 A∈Cm", rank(A)=n,则由 C C∈ C b 所定义的是C上的向量范数 例:设V数域F上的n维线性空间

定理：有限维线性空间 上的任意两个向 量范数都是等价的。 利用向量范数可以去构造新的范数。 例 ：设 是 上的向量范数，且 ，则由 所定义的 是 上的向量范数。 例 ： 设 数域 上的 维线性空间， V m b C , ( ) m n A C rank A n   =, n a b    =  A C a n C V F n

E,E2,,En为其一组基底,那么对于V 中的任意一个向量c可唯一地表示成 a=∑x,X=[x,x2,…,x]∈F 又设|-是F”上的向量范数,则由 X 所定义的l是V上的向量范数。 矩阵范数

为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成 又设 是 上的向量范数，则由 所定义的 是 上的向量范数。 矩阵范数    1 2 , , , n V   1 2  1 , , , , n n i i n i   x X x x x F = = =   n F V  = X V  V