山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分 第三节 高阶导数

第章导数与微分 高等数学少学时 第三节右阶导数 高阶导数的概念 二、高阶导数举例 北京邮电大学出版社

1 第三节 高阶导数 一、 高阶导数的概念 二、 高阶导数举例

第东章 导数与微分 高等数学少学时 高阶导数的概念 若y=f)的导数y=fx)仍然是可导函数，则导数y'=f'(x)的 导数叫做函数fx)的二阶导数，记作 y"或f"(x)或 dx 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导 数，叫做四阶导数，.(n-1)阶导数的导数，叫做阶导数.分别 记作： ,a) 或f"(x),f(x),…,m(x) 或 d d"y dk3’ dx" 北京邮电大学出版社

2 一、 高阶导数的概念 若y=f (x)的导数y'=f '(x)仍然是可导函数，则导数y'=f '(x)的 导数叫做函数f (x)的二阶导数，记作 y  2 2 dx d y ( )  y  = y  . 2 2       = dx dy dx d dx d y 或 即 或 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导 数，叫做四阶导数，…(n-1) 阶导数的导数，叫做n阶导数.分别 ( ) ( ) , , , 4 n y  y  y , , , . 4 4 3 3 n n dx d y dx d y dx d y  记作: 或 f (x) 或 ( ), ( ), , ( ). (4) ( ) f x f x f x  n  或

第东章 导数与微分 高等数学少学时 y=f)具有n阶导数，也说函数y=fx)为n阶可导. 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1设=c+b,求y”. 解y=4,y”=0 问题：四(P=?(xP=i (2)若=x”+41x++0n-1x+an, y(m)=? y=? 注n次多项式的n+1阶导数为零. 北京邮电大学出版社

3 y = f (x)具有n 阶导数，也说函数y = f (x)为n 阶可导. 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1 解 设y = ax + b,求y  . y  = a, (2) 若 , 1 1 0 1 n n n n y = a x + a x + + a − x + a −  问题： ? ( ) = n y ? ( 1) = n+ y y  = 0 ( ) ( ) (1) = ? n n x ( ) ( ) x n! n n = 注 n次多项式的n+1阶导数为零

第东章 导数与微分 高等数学少学时 例2己知物体的运动规律为s(t)=Asin(ot+p),求物体运动的 加速度. 解物体运动的速度为 V= docoh 加速度为 d= dt -sm(ox+p) 北京邮电大学出版社 04

4 s(t) = Asin(t +), = = Acos(t +), dt ds v 例2 解 sin( ). 2 2 2 = = = −A t + dt d s dt dv a 已知物体的运动规律为 求物体运动的 加速度. 物体运动的速度为 加速度为

第东章 导数与微分 高等数学少学时 例3证明函数=√2x-x2满足y3y”+1=0. 证 2-2x y'= 1-x 2v2x-x2 V2x-x2 1-x y"= -v2x-g2-1-02x-2 2x-x2 -2x+x2-(1-x)2 -1 (2x-x2)W2x-x2 (2.x-x2)=y3 y3y"+1=0 北京邮电大学出版社 05

5 例 3 2 1 0. 2 3 证明函数y = x − x 满足y y + = 证 2 2 22 2 x xx y − − = 2 2 x x y −  = 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 1 ) x x x x x x x − − − + − − = 2 3 2 ( 2 ) 1 x − x − = 1 0 3  y y   + = , 21 2 x xx−− = 2 21 ( 1 ) x xx x −− 2 − − − 2 x − x 31 y− =

第三章导数与微分 高等数学少学时 二、高阶导数举例 例4设y=e*,求ym) 解y'=e,y”=e*,y"=e,y4=e,… ∴ym=e*,即(e)m=e 类似地，由 y=a*,y=a*Ina,y"=a*(Ina),. ..y(=a(Inay (a"))=a*(nay 北京邮电大学出版社 06

6 例4 ( ) , x n 设y = e 求y 解 y  = e x , y  = e x , y  = e x , y (4) = e x ,  , (n) x  y = e , ln , (ln ) ,  2 y a y a a y a a x x x =  =  = 类似地，由 ( ) ( ) n x n  y = a ln a ( ) ( ) x n x n (a ) = a ln a x n x e = e ( ) 即 ( ) 二、 高阶导数举例

第女章 导数与微分 高等数学少学时 例5求幂函数的n阶导数公式. 解设y=x“,为常数， y=-,y”=4(u-1x2, y"=4(u-1以u-2x-3,. y0=4(u-1u-2)(4-n+1x, 即 (x9四=4(-1Xu-2)(u-n+x” 问题：k+]=?A= 北京邮电大学出版社 07

7 例5 求幂函数的n 阶导数公式. 解 设y x , μ为常数,  = , −1  =   y x ( 1) , −2  = −  y   x y  = ( −1)( − 2)x −3 ,  ( ) ( 1)( 2) ( 1) , n n y n x −  = − − − +       ( ) ( )( ) ( ) n n x n x − = − − − +   （ ）   1  2   1 ( )  ( ) 1+ = ? n x  2 1  = 即 问题:

第章 导数与微分 高等数学少学时 例6求正弦函数y=sinx的n阶导数. 解广=cosx=nc+受到 y-smx=o+引-m+2到 =-w=eot+2到snx+3-到 y" sin co3sin 9=s+到即 (sin.)=sin 2 (cos.) π 类似地， 北京邮电大学出版社 8

8  y  = cos x y  = − sin x 例6 解 求正弦函数 y = sin x 的n阶导数.       = + 2 sin  x       = +  2 sin 2  x y  = −cos x ( )        = +  2 sin  y x n n ( )       = +  2 (sin ) sin  x x n 即 n 类似地, ( )       = +  2 (cos ) cos  x x n n       = + 2 cos  x       = +  2 cos 2  x       = +  2 sin 3  x y sin x (4) =       = +  2 cos 3  x , 2 sin 4       = +   x

第东章 导数与微分 高等数学少学时 例7设y=, 解r, -1 (1+x)4 =(2(3)←m=←m (1+x)+ (1+x)n+ 即 (1少： (1+x)+I 问题：(n(1+x)0=? 北京邮电大学出版社

9 ( ) . 1 1 n y x 设 y ，求 + = ( ) ( ) ( ) , 11 23 x y + −  −  = ( ) , 1 1 2 x y +−   = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,  1 1 2 3 4 3 x y + −  −  − = ( ) ( ) ( ) ( )1 ( 1 ) 1 2 3 ( ) + + −  −  − −  = n n x n y  ( )( ) ln( 1 + ) = ? n x 例 7 解即 ( ) 1 ( 1 ) 1 !+ +− = n n x n ( ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ! 1 1 + +−  =   + n n n x n x 问题 :

第三章导数与微分 高等数学少学时 例6求由x-y+si血y=0所确定隐函数y=(x)的二阶导数) 解 所给方程两边对x求导，得 cosy 0, 的 d d dx 1-cos y 将上式两边再分别对x求导，得 y dy -sin y dx2(1-cosy)2 (1-cosy)3 北京邮电大学出版社 10C

10 所给方程两边对x求导，得 1− + cos  = 0, dx dy y dx dy . 1 cos 1 dx y dy − = 将上式两边再分别对x 求导，得 2 2 2 (1 cos ) sin y dx dy y dx d y − −  = sin 0 ( ) . 2 2 dx d y 例6 求 由x − y + y = 所确定隐函数y = y x 的二阶导数 解 . (1 cos ) sin 3 y y − − =