山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第四节品数的单调性写 曲我的凹凸性 一、函数单调性的判别 二、曲线的凹凸性与拐点 三、函数图形的描绘 北京邮电大学出版社

1 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别 二、曲线的凹凸性与拐点 三、函数图形的描绘

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 y↑ y=f(x) y=f(x) a b x a b x 用导数来研究函数的单调性. 北京邮电大学出版社 20

2 O x O x y y y f x = ( ) y f x = ( ) a b a b 用导数来研究函数的单调性

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. (I)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[，b] 上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'(x)0,f'()>0推出f()<f(,) 即函数y=f(x)在[M,b]上单调增加；同理可证(2). 北京邮电大学出版社

3 定理1 设函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上连续,在 ( , ) a b 内可导. ⑴ 如果在 ( , ) a b 内 f x ( )  0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加; ⑵ 如果在 ( , ) a b 内 f x ( )  0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调减少. 证 任取 1 x 、 x a b x x 2 1 2    , ( )  , 在 1 2   x x,   上应用拉格朗日 中值定理, 得 f x f x f x x x x ( 2 1 2 1 1 2 ) − = −   ( ) (  )( ) ( ) (3-11) 由于在(3-11)式中 f x f x ( 1 2 )  ( ) 2 1 x x −  0, f x ( )  0 推出 即函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加; 同理可证(2)

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 注把这个判别法中的闭区间换成其他各种区间（有限、 无穷区间)，结论仍然成立. 例1讨论函数y=e一x的单调性. 解函数的定义域为(-oo,+o),y'=e-1. (-,0)y'0所以函数在(0，+∞]上单调增加. 例2讨论函数y=x的单调性 解函数的定义域为(-o,+∞) x=0时，函数的导数不存在. (-∞，0)y'<0所以函数在(-∞，0]上单调减少； 北京邮电大学出版社

4 注 把这个判别法中的闭区间换成其他各种区间 ( 有限、 无穷区间 ),结论仍然成立. 例1 讨论函数 e x y x = − 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , , ) 1. x y e  = − (−,0) y   0 所以函数在 (−,0 上单调减少; (0,+) y   0 所以函数在 (0,+ 上单调增加. 例2 讨论函数 y x = 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , . ) 1, 0; 1, 0. x y x    =   −  x = 0 时, 函数的导数不存在. (−,0) y   0 所以函数在(−,0 上单调减少;

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 (0,+o)y'>0所以函数在0，+o)上单调增加； 一般地，对于在定义区间上具有连续导数的函数，用其导函数 的零点来划分函数的定义区间以后，就可以使函数在各个部分 区间上单调.如果函数在某些点处不可导，那么这些导数不存 在的点也应该成为划分函数定义区间的分点 例3讨论函数y=x3-3x的单调性. 解函数的定义域为(-o,+o).y'=3x2-6.x=3x(x-2) 导函数的零点为x1=0x2=2.（-∞，0，[0,2]，[2，+o): (-oo,0)y'>0所以函数在（-∞，0上单调增加； (0,2)y'<0所以函数在0,2】上单调增加； 北京邮电大学出版社

5 (0,+) y   0 所以函数在 [0, ) + 上单调增加; 一般地,对于在定义区间上具有连续导数的函数,用其导函数 的零点来划分函数的定义区间以后, 就可以使函数在各个部分 区间上单调. 如果函数在某些点处不可导,那么这些导数不存 在的点也应该成为划分函数定义区间的分点. 例3 讨论函数 3 2 y x x = − 3 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , . ) 2 y x x x x  = − = − 3 6 3 ( 2) 导函数的零点为 1 x = 0, 2 x = 2. ( ,0], − [0, 2], [2, ). + ( ,0) − y   0 所以函数在 ( ,0] − 上单调增加; (0,2) y   0 所以函数在 [0, 2] 上单调增加;

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 (2,+o)y'>0所以函数在[2，+o)上单调增加. 二、曲线的凹凸性与拐点 y B D y X 单调上升：一条向上凸的，一条向上凹的 北京邮电大学出版社

6 (2, ) + y   0 所以函数在 [2, ) + 上单调增加. 二、曲线的凹凸性与拐点 单调上升：一条向上凸的，一条向上凹的. x y O A B C D

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判别法： f(x)+f(x2) 2 2 f(x)#f(x2) 2 f(x) 2 f() f(x)f(x月 x1+x2 x2x O x+2 X2 X 2 2 北京邮电大学出版社 7

7 下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判别法: O x x y y 1 x 2 1 2 x 2 x x + f x( 1 ) f x( 2 ) 1 x 1 2 2 x x + 2 x f x( 1 ) 1 2 ( ) ( ) 2 f x f x + f x( 2 ) 1 2 ( ) ( ) 2 f x f x + 1 2 2 x x f   +     O 1 2 2 x x f   +    

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定义 设函数f(x)在区间I上连续，x1,x2∈I, ④若恒有f卢))+fs 2,则称f(x) 2 在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）. 北京邮电大学出版社 8

8 定义 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 在 I 上的图形是( 向上 ) 凹的 ( 或凹弧 ) ; (2) 若恒有 则称 在 I 上的图形是( 向上 ) 凸的 ( 或凸弧 )

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 X 凹（凸）弧上每一点处的切线位于曲线弧的下（上)方， 切线的斜率随x的增加而增大（减小）. 北京邮电大学出版社

9 • O x x y P1 P2 • • 1• P P2 O y 凹(凸)弧上每一点处的切线位于曲线弧的下(上)方, 切线的斜率随 x 的增加而增大(减小)

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定理 2(凹凸判定法)设函数f(x)在区间1上有二阶导数 ()在I内∫"(x)>0,则fx)在I内图形是凹的； (2)在I内f"(x)0时，y”>0,所以曲线在[0，+∞)上为凹弧. 北京邮电大学出版社 10

10 定理2 (凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的. + − 设函数 在区间I 上有二阶导数 注 把定理中的闭区间换成其他各种区间(有限、无穷), 结论仍然成立. 例4 判断曲线 3 y x = 的凹凸性. 解 函数 3 y x = 的定义域为 (− + , . ) 因为 2 y x  = 3 ,y x  = 6 , 令 y  = 0, 得 x = 0. x  0 时, y   0, 所以曲线在 (−,0 上为凸弧; x  0 时, y   0, 所以曲线在 0,+) 上为凹弧