山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分 第四节 广义积分

第五章定积分 高等数学少学时 第四节广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 北京邮电大学出版社 10

1 二、无界函数的广义积分 一、无穷限的广义积分 第四节 广义积分

第五章 定积分 高等数学少学时 一、无穷限的广义积分 定义1设f(x)eC[a,+o), 对于vb>a,如果 I=limIf(x)dx 则称此极限为(x)在[a,+o)上的广义积分，记作∫fx)dx, 即 fxdk=m心fxdr (1) 此时也称广义积分。f(x)dx收敛； 如果上述极限不存在， ∫f(x)dc就没有意义，习惯上称广义积分f(x)dc发散， 这时f(x)dr也就不再表示数值了. 北京邮电大学出版社 2

2 一、无穷限的广义积分 定义1 如果 lim d ( ) b b a I f x x →+ =   则称此极限为 f x a ( ) , 在 +) 上的广义积分, 记作 ( )d , a f x x +  即 设 f (x)Ca,+), 对于b  a, 此时也称广义积分 ( )d a f x x +  收敛; 如果上述极限不存在, ( )d a f x x +  就没有意义，习惯上称广义积分 ( )d a f x x +  发散, ( )d a f x x + 这时 也就不再表示数值了. ( )d lim ( )d b a a b f x x f x x + →+ =   (1) a x y O b

第五章定积分 高等数学少学时 类似地 设f(x)∈C(-∞，b,Va<b,如果 I lim ['f(x)dx 100 则称此极限为.f(x)在(-o,b上的广义积分，记作∫fx)c, 即 ∫fx)d=Iim∫fx)dc (2) 这时也称广义积分f(x)dr收敛；否则称f(x)dr发散. 注为书写方便记∫f(x)r=[F()].=F(b)-IimF(x) 00 北京邮电大学出版社 3

3 如果 1 lim ( )d b a a I f x x →− =   则称此极限为 f x( ) 在 ( , ] − b 上的广义积分, 记作 ( )d , b f x x − 即 这时也称广义积分 ( )d b f x x − 收敛; 否则称 ( )d b f x x − 发散. 类似地 设 f (x)C(− ,b], a  b, 注 ( )d ( ) ( ) lim ( )   b b x f x x F x F b F x − − →− = = − 为书写方便记  ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x − →− =   (2)

第五章 定积分 高等数学少学时 设f(x)∈C(-o∞，+o),如果以下两个广义积分 ∫nf(x)de和f(e)dc都收敛， 则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-0，+o) 上的广义积分，记作」fx)dc ∫fx)ac=Jnfe)dc+fxdr 即 (3) =imJf(x)dc+m∫fe)dc 这时也称广义积分f(x)d收敛；否则称」f(x)dr发散. 北京邮电大学出版社

4 如果以下两个广义积分 0 f x x ( )d − 和 0 f x x ( )d +  都收敛, 即 这时也称广义积分 f x x ( )d + − 收敛; 否则称 f x x ( )d + − 发散. ( , ) − + 上的广义积分, 则称上述两广义积分之和为函数 f x( ) 在无穷区间 f x x ( )d + − 记作 设f (x)C(−,+),0 0 f x x f x x f x x ( )d ( )d ( )d + + − − = +    0 0 lim ( )d lim ( )d b a b a f x x f x x →− →+ = +   (3)

第五章 定积分 高等数学少学时 1 例1计算由曲线y= 2 直线x=1及x轴所围成的开口 曲边梯形的面积. 解由定积分的几何意义，开口曲边梯形的面积 -照[- 北京邮电大学出版社 05

5 2 1 dx A x + =  2 1 d lim b b x → + x =  1 1 lim b b→ + x   = −    1 lim 1 b→ + b   = −     解 由定积分的几何意义，开口曲边梯形的面积 2 1 y x 例1 计算由曲线 = ，直线 x = 1 及 x 轴所围成的开口 曲边梯形的面积． = 1

第五章定积分 高等数学少学时 计。小 dx =典财 解 im [aretanx = lim arctanb 元 b→+00 2 =, dx -lim [arctanx] 元 =lim arctana 1→-00 2 北京邮电大学出版社 06

6 例2 计算 0 2 2 2 0 d d d , , . 1 1 1 x x x x x x + +    + + + − − 解 2 2 0 0 d d lim 1 1 b b x x x x + →+ = + +    0 lim arctan b b x →+ = lim arctan a a →− = − 0 0 2 2 d d lim 1 1 a a x x − x x →− = + +    0 lim arctan a a x →− = lim arctan b b →+ = 2  = 2  =

第五章 定积分 高等数学少学时 dx 元 2 2 y= 1+x2 b x 1 几何意义 dx 的值等于等于曲线y= 1+x2 的下方，x轴上方的图形面积，其值为元。 北京邮电大学出版社 7

7 0 2 2 2 0 d d d 1 1 1 x x x x x x + + − − = + + + +    2 2   = + =  y a O b x 2 1 1 x y + = . 几何意义 2 d 1 x x + − +  的值等于等于曲线 2 1 1 y x = + 的下方，x轴上方的图形面积，其值为

第五章 定积分 高等数学少学时 X0对吗 思考 分析 d) 原积分发散！ 注对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质，否则会出现错误· 北京邮电大学出版社

8 思考 分析 原积分发散 ! 注 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 对吗？

第五章 定积分 高等数学少学时 时 dx 例3计算 解 a dx dx =+） -nam或+2 dx 1+x2 元 4 北京邮电大学出版社

9 例3 计算 ( ) 2 0 2 d . 1 x x + +  解 2 2 0 d (1 ) x x + +  2 2 2 2 0 1 d (1 ) x x x x + + − = +  2 2 0 0 d 1 1 d( ) 1 2 1 x x x x + + = + + +    0 arctan x + = 4  = 2 2 0 0 1 d 2(1 ) 2 1 x x x x +   + + −     + + 

第五章 定积分 高等数学少学时 4讨论广文积分 dx (a>0)的敛散性. 解当p≠1时， "[{g o0,p1 当p=时， ∫。=[m即x-na=+o X)+00 因此。 dx 当p>时收敛，其值为 当p≤1时发散， 北京邮电大学出版社 010

10 解 例4 讨论广义积分 d ( 0) p a x a x +   的敛散性. 当 p  1 时发散. 当p  1时，1 d 1 p p a a x x x p + − +   =     −  因此, 当 p  1 时收敛， , 1 1 − − p a p 其值为 d p a x x +     = +, p  1 1 , 1 p a p − − p  1 ( ) p p x x a p − − →+  − − = 1 1 lim 1 1   d ln a a x x x + + =  当p = 1时， x a x = lim ln − ln →+  = +