山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程 第四节 二阶常系数线性微分方程

第六章微分方程 高等数学少学时 复习 一、ym=f()型的微分方程 解法：逐次积分，降阶求解.（连续积分n次） 二、y”=(xy)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”=p', 原微分方程变为 p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1),则y'=p(x,C) 两端积分便得原方程的通解 y=∫p(x,C)k+C2 北京邮电大学出版社

1 复习 解法： 逐次积分，降阶求解. (连续积分n次). 一、 ( ) ( ) y f x n = 型的微分方程 二、 y = f (x, y) 型的微分方程 令 y = p, 则 y = p , 原微分方程变为 p = f (x, p) 设其通解为 ( , ), p = x C1 两端积分便得原方程的通解  = 1 + 2 y (x,C )dx C 解法： ( , ) x C1 则 y  =

第六章微分方程 高等数学少学时 三、y”"=f(,y)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”= 迎= dp c dy dp dx dy dx dy 于是y”=f(y,y)就成为 p =f(p) 这是一个关于y、p的一阶微分方程. 设其通解为y'=p=p(y,C1), 分离变量并积分， 便得原方程的通解： ∫G)x+c 北京邮电大学出版社 2

2 令 y = p, 则 x p y d d  = 于是 y = f ( y, y) 就成为 f ( y, p) y p p = d d 这是一个关于y、p的一阶微分方程. ( , ), C1 y  = p = y 便得原方程的通解: ( )  = + 2 1 , d x C y C y  x y y p d d d d =  设其通解为 分离变量并积分， 三、 y = f (y, y) 型的微分方程 解法： d d y p = p

第六章微分方程 高等数学少学时 第四节二阶常素数线性 微分方程 二阶线性微分方程解的结构 二 二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 1.f(x)=pnm(x)e型 2.f(x)=e[p(x)cos@x+p,(x)sin@x 北京邮电大学出版社

3 一、 二阶线性微分方程解的结构 二、 二阶常系数齐次线性微分方程 三、 二阶常系数非齐次线性微分方程 第四节 二阶常系数线性 微分方程 1. f (x) = pm (x) e  x 型 2. f (x) = e  x pl (x) cosx + pn (x)sinx型

第六章 微分方程 高等数学少学时 一、二阶线性微分方程解的结构 称形如 +P(x) +2(x)y=f(x)(6-10) dx 的方程为二阶线性微分方程. 在(6-10)中，若f(x)=0,即 d"y dx2 +P( )+0(xy=0(6-1) 称（6-11)为二阶齐次线性微分方程. 若f(x)丰0，则称(6-10)为二阶非齐次线性微分方程. 注：以下讨论的二阶线性微分方程的一些性质也适用于阶线性 微分方程： y回+a,(xya-+…+an-i(cy'+a(cy=f(x) 北京邮电大学出版社

4 一、二阶线性微分方程解的结构 2 2 d d ( ) ( ) ( ) (6 10) d d y y P x Q x y f x x x + + = − 2 2 d d ( ) ( ) 0 (6 11) d d y y P x Q x y x x + + = − 称形如 的方程为二阶线性微分方程. 在(6-10)中,若 f (x)  0, 即 称（6-11）为二阶齐次线性微分方程. 则称(6-10)为二阶非齐次线性微分方程. 注：以下讨论的二阶线性微分方程的一些性质也适用于n阶线性 微分方程： ( ) ( ) ( ) y a x y a (x)y a (x)y f (x) n n n n + + + −  + = − 1 1 1  若 f (x)  0

第六章微分方程 高等数学少学时 先讨论二阶齐次线性微分方程： y"+P(x)y'+2(x)y=0 (6-11) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程 （6-11)的两个解，则 y=CiV](x)+C2Y2(x) (6-12) 也是(6-11)的解，其中C、C2是任意常数、 注(1)只要把(6-12)代入(6-11)即得证. (2)齐次方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 (3)(6-12)是方程(6-11)的解，但不一定是通解.只有当C与C, 相互独立，即C与C2无法合并时，(6-12)才是(6-11)的通解 北京邮电大学出版社 5

5 如果函数 y1 (x) 与 y2 (x) 是方程（6-11）的两个解，则 ( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x （6-12） (2) 齐次方程的这个性质表明它的解符合叠加原理. y + P(x) y + Q(x) y = 0 (6-11) 先讨论二阶齐次线性微分方程： 定理1 注 (1) 只要把(6-12)代入(6-11)即得证. 也是（6-11）的解，其中 、 是任意常数. C1 C2 相互独立，即 与 无法合并时，(6-12)才是(6-11)的通解. C1 C2 (3) (6-12)是方程(6-11)的解,但不一定是通解. 只有当 C1 与 C2

第六章微分方程 高等数学少学时 例如y=e、y=3e都是y”-2y'+y=0的解， 但y=C1ex+C2·3e显然不是它的通解 函数组的线性相关与线性无关： 所谓()与，(x)线性无关是指：上(c) 2( ≠常数. 例如： e=ex≠常数，e2、e 线性无关. sin 2x =2=常数，∴.sin2 x.sinxc0sx线性相关. sinx cosx 北京邮电大学出版社 6

6 例如 x x y = e 、y = 3e 都是 y − 2 y + y = 0 的解， x x y C e C 3e 1 2 但 = +  显然不是它的通解. 所谓 y1 (x) 与 y2 (x) 线性无关是指： 函数组的线性相关与线性无关： ( ) ( )  y x y x 2 1 常数. 例如： =  − x x x e e e 3 2  常数， x x e e 2 、 3  线性无关. = 2 = sin cos sin2 x x x  常数， sin2x、sin xcos x 线性相关

第六章微分方程 高等数学少学时 一般地如果存在n个不全为零的常数k1,k2,…,kn, 使得当x∈I时，有等式 ky(x)+k2y2(x)+.+ky (x)0 恒成立，则称这个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关 定理2若y,(x)与y,(x)是方程(6-11)的两个线性无关的 特解，则(6-12)就是方程(6-11)的通解. 北京邮电大学出版社 7

7 ( ) ( ) ( ) 0 k1 y1 x + k2 y2 x ++ kn yn x  使得当 x ∈I 时，有等式 恒成立，则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关. , , , , 1 2 n 一般地 如果存在 n 个不全为零的常数 k k  k 定理2 若 y1 (x) 与 y2 (x) 是方程(6-11)的两个线性无关的 特解，则(6-12)就是方程(6-11)的通解

第六章微分方程 高等数学少学时 例如：容易验证y1=c0sxy2=sinx是方程y”+y=0 COSX 的两个特解，且 c0sx=cotx≠常数，所以乃，线性无关，所以 sin x 方程的通解为：y=C1c0sx+C2sinx, 注以上结论可推广到阶线性齐次微分方程： y+a(x)y++a(x)y'+a(x)y=0 例如，若y1(),Jy2(x)…,yn(x)是该方程的个线性无关的特解， 则y=C1y1(x)+C2y2(x)++Cnyn(x)就是该方程的通解. 北京邮电大学出版社 8

8 cos sin . 1 2 y = C x +C x 的两个特解，且 例如： y cos x、y2 = sin x 容易验证 1 = 是方程 y + y = 0 = x  x x cot sin cos 常数，所以 y1 、y2 线性无关， ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 n n n n y a x y a x y a x y − − + + + + =  例如，若 y1 (x), y2 (x), , yn (x) 是该方程的n个线性无关的特解， ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y C y x C y x C y x 则 = + ++ n n 就是该方程的通解. 方程的通解为： 所以 注 以上结论可推广到n阶线性齐次微分方程：

第六章微分方程 高等数学少学时 对于一阶线性微分方程： +P(x)y=O(x),其通解为 dx y=eJramGeedrad+c 即y=eJat2 e+Ce∫Par 不难验证：y*=e」r∫2(x)d是方程的一个特解； 而Y=Ce∫P(x)r是对应齐次方程 +Pxy=0的通解。 dr 北京邮电大学出版社

9 ( ) ( ), d d P x y Q x x y 对于一阶线性微分方程： + =       +   =  − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 其通解为 即  +   = − −  P x x P x x P x x y e Q x e x Ce ( )d ( )d ( )d ( ) d 不难验证：    = − y e Q x e x P x x P x x * ( ) d ( )d ( )d 是方程的一个特解; ( ) 0 d d + P x y = x y 而  = − P x x Y Ce ( )d 是对应齐次方程 的通解

第六章微分方程 高等数学少学时 即一阶非齐次线性微分方程的通解由该方程的一个特解加对 应齐次方程的通解构成： 一阶非齐次线性微分方程通解的这个结构原理，同样适用于 高阶非齐次线性微分方程. 北京邮电大学出版社 10C

10 应齐次方程的通解构成. 即一阶非齐次线性微分方程的通解由该方程的一个特解加对 一阶非齐次线性微分方程通解的这个结构原理，同样适用于 高阶非齐次线性微分方程