《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）复变边界元法在解析函数齐次Riemann边值问题求解中的应用

第24卷第2期 重庆交通学院学报 2005年4月 Vol.24 No.2 JOURNAL OF CHONGOING JIAOTONG UNIVERSITY Apr.,2005 复变边界元法在解析函数齐次Riemann 边值问题求解中的应用 冯春 (重庆交通学院数学与应用数学研究所，重庆400074) 摘要：利用复变边界元方法，对解析函数齐次an边值问题进行了求解.得到了其标准解的近似解，并给出了相 应误差估计 关键词：复变边界元：解析函数：Rimn边值问题 中图分类号：017511文献标识码：A文章编号：1001716X(2005)02-015803 1问题的提出 在边界T上选取m个节点z,z2,m且折线 设D表示复平面上有界的N十1连通区域，其 下的每个顶点都取作节点，这些节点将「分成了m 边界T是由光滑的lordan闭曲线o,,,所 段T=9={zlz=1-s)巧+，0≤ 围成，，，…，在6的内部，以Do表示以 s≤1，称为一个2一节点边界元，作线性插值基 为边界的无界区域D表示以为边界的有界区域 函数N(1)使其满足N(zk)=,并在每个节点z (I=1,2,,N),记D=D0十D1十…+Dw不 处给定节点值)=1,2，，m),然后作线性插值 妨设z=0∈D,那么，解析函数的齐次Riemann边 M(称G()为一次试探函 值问题（称为问题Ra)具有如下形式的标准解 函数G()= =1 X(z ) 数，关于G(t)我们有下面的定理： ea/1Iz）z∈D 定理11)G(t)在T上连续且一致连续：2) X(z)= 2 kem()2∈D (1) G(t)∈G(),这里=P(z,其中9(t)∈ C():3)对「上的任何连续函数P(t)∈Cu(T), 这里 如果节点值%=P(3),那么 we)=V2a-∫血G2d (2) 1z |G(t)-P(t)≤M(队，DP)8 (4) Ⅱ(z）=(z-z1)(z-z2)1(z-2N)w(3) 这里0=ma杂.|Fl 其中，关于及k,的意义请参见文献3引，实际应 证明1)是显然的：3)显然很容易从2)推出， 用中，由于G(t)的复杂性，式(2)的积分是很难计 在此只需证明2)就可以了.实际上，我们只需证明 算的，因此，我们需要一种近似计算积分式(2)的方 对每一个=1,2，m)有G1(t)∈C()就 法 可以了 下面我们将用复变边界元方法(Complex 因为当1∈写时，G)=西+二亚(1- Variable Boundary Element Method一CV BEM)来求标 2升1一写 2i),所以对1，t2∈，如果注意到P(t)∈C(, 准解X(z)的近似解X(z),因为总可以用折线来逼 近曲线，为简单计，以下不妨设D是有界的单连通 则有： 区域，z=0∈D,区域D的边界T是闭折线. G(t1)-G(t2) wt1一w lt1-t2≤ Z1一2i 2 复变边界元法的应用 M(, 1一互 |t1-t2≤M'(4,TP) 2.1建立试探函数 收稿日期：20040329 ?199作煮简介e滑n春I93&充四南充市☆刷教授丰要从事微分方程理论的死究ved. http://www.cnki.net

第 24 卷 第 2 期 重 庆 交 通 学 院 学 报 2005 年 4 月 Vo1.24 No.2 JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG UNIVERSITY Apr., 2005 复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用 冯 春 (重庆交通学院 数学与应用数学研究所, 重庆 400074) 摘要 :利用复变边界元方法, 对解析函数齐次 Riemann 边值问题进行了求解, 得到了其标准解的近似解, 并给出了相 应误差估计. 关 键 词:复变边界元;解析函数;Riemann 边值问题 中图分类号:O175.11 文献标识码:A 文章编号:1001-716X(2005)02-0158-03 1 问题的提出 设D +表示复平面上有界的 N +1 连通区域, 其 边界 Γ是由光滑的 Jordan 闭曲线 Γ0 , Γ1 , … , ΓN 所 围成, Γ1 , Γ2 , … , ΓN 在 Γ0 的内部 , 以 D0 表示以 Γ0 为边界的无界区域, Dj 表示以 Γj 为边界的有界区域 (j =1 , 2 , …, N), 记D -=D0 +D1 +…… +DN , 不 妨设z =0 ∈ D + ,那么, 解析函数的齐次 Riemann 边 值问题(称为问题 R0)具有如下形式的标准解 X(z): X(z)= e w(z) / II(z) z ∈ D + z -k e w(z) z ∈ D - (1) 这里 w(z)=1/2 πi ·∫Γ In(t -k II(t)G(t)) t -z dt (2) II(z)=(z -z 1) k 1(z -z 2) k 2 …(z -zN) k N (3) 其中, 关于 zj 及k , kj 的意义请参见文献[ 3] ,实际应 用中 ,由于 G(t)的复杂性 , 式(2)的积分是很难计 算的, 因此 ,我们需要一种近似计算积分式(2)的方 法. 下面 我 们 将 用 复 变 边 界 元 方 法 (Complex Variable Boundary Element Method —CVBEM)来求标 准解 X(z)的近似解 X (z),因为总可以用折线来逼 近曲线,为简单计,以下不妨设 D + 是有界的单连通 区域 ,z =0 ∈ D +,区域 D +的边界 Γ是闭折线 . 2 复变边界元法的应用 2.1 建立试探函数 在边界 Γ上选取m 个节点z 1 ,z 2 , …, zm ,且折线 Γ的每个顶点都取作节点, 这些节点将 Γ分成了m 段 Γj , Γ=∪ m j =1 Γj , Γj ={z |z =(1 -s)zj +szj+1 , 0 ≤ s ≤1}, 称 Γj 为一个2 -节点边界元 ,作线性插值基 函数 Nj(t)使其满足 Nj(z k)= δjk ,并在每个节点 zj 处给定节点值 w j(j =1 , 2 , …, m),然后作线性插值 函数 G1(t)= ∑ m j =1 Nj(t)w j , 称 G1(t)为一次试探函 数 ,关于 G1(t)我们有下面的定理 : 定理 1 1)G1(t)在 Γ上连续且一致连续;2) G1(t)∈ Gμ(Γ), 这里 w j = φ(zj), 其中 φ(t)∈ Cμ(Γ);3)对 Γ上的任何连续函数 φ(t)∈ Cμ(Γ), 如果节点值 w j = φ(zj),那么 |G1(t)-φ(t)|≤M1(μ, Γ, φ)δμ (4) 这里 δ=ma x 1 ≤j≤m |Γj |. 证明 1)是显然的;3)显然很容易从 2)推出, 在此只需证明 2)就可以了.实际上, 我们只需证明 对每一个 Γj(j =1 , 2 , … , m)有 G1(t)∈ Cμ(Γj)就 可以了 . 因为当 t ∈ Γj 时, G1(t)=w j + w j+1 -w j zj+1 -zj (t - zj),所以对 t1 , t 2 ∈ Γj ,如果注意到 φ(t)∈ Cμ(Γ), 则有: |G1(t1)-G2(t 2)|≤ w j+1 -w j zj+1 -zj |t 1 -t 2|≤ M′1(μ, Γ, φ) zj+1 -zj zj+1 -zj μ |t 1 -t 2|≤M′1(μ, Γ, φ) 收稿日期:2004-03-29 作者简介:冯 春(1963 -), 女, 四川南充市人, 副教授, 主要从事微分方程理论的研究

第2期 冯春：复变边界元法在解析函数齐次Riemann边值问题求解中的应用 159 1t1-2r 成立，从而有 由G(t)在T上的连续性和有界性知，G(t) e)-we)长J G(D-IGDL ldt ∈C(D,定理1证毕. It-z 2.2构造逼近函数 前面我们引入了试探函数，现在利用它来构造 单连通折线域上问题R。的标准解X(z)的近似解， 称下面的函数 M(G)d 2d( wi(z)=1/2iG(1)/(1-1)·dh (5) 工k,G)6≤M(4,k,G) 定理2证毕. 为H1-逼近函数，这是一个柯西型积分，当to∈ 从上面的证明可以看出，z越靠近边界，常数 时.i(o)=1/2πiG(1)/(1-to)·d山在主值 M将变得越大，但并不影响收敛性，当z∈「时，一 的意义下存在，它很容易积分出来.为此，不妨设和 般说来，1(z)=w(z)不成立. ∈，那么有以下2种情况发生： 令 ①to是一个节点，比方说to=z1: ea)z∈Dt X(z)= (11) ②to是的一个内点. 、zee)z∈D 若①发生，那么 并将X(z)作为标准解X(z)的近似解那么由 wi1(z1)=/2πi·[w2-mm十w1ln|(z2一 定理2立即可得下面的定理， 2em-z)+月 3 误差估计 (6) 定理3 设-袋I月则对z∈Dz年 其中 C有mX1(z)=X(z,且有估计式 5=币升1一%防十[(z1一)/(z升1一z1)·wt1一 (z1-+1)/(zt1-z1)·mln(+1-z1)/(z-z1) |X1(z)-X(z)M46 (12) 这里M4与z,只，k,T和G(t)有关 (7) 称函数e(z)=w(z)一w(z)为用(z)逼近w(z) 若②发生，那么 的误差函数，它反映了w(z)对w(z)的近似程度： i(to)=1/2πi[w2-w1+[(t0-z1)/(z2 e(z)在边界「附近的行为，则反映了近似解的稳定 z1)·w2-(t0-z2)/(z2-z1)w]ln(z2-t0)/(z1 性，又因为(z)是构造X(z)的关键性函数，因而 -o+2月 (8) e(z)也是X(z)的各种指标的反映.关于e(z)的详 =2 细讨论，请参见文献，本文在此不再赘述这里， 其中，如式(7)，上述结果详见文献. 我们只给出结论：当增加节点时，误差函数e(z)在 有了以上的准备，就可以来求X(z)在D±内的 边界「附近的上界不会增大，也就是说通过增加 近似解了，对于D+是单连通的折线域，式(2)将变 节点的办法，有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 为 的效率。 we)=V2m·J,4ch (9) t-z 参考文献： 在试探函数里，给定节点值%=ln[G(z】, I Brebbia C A.Orszag S A.The complex variable boundary el 那么有 ement method J.Lecture Nates in Ergineering 1984 (9): 定理2对ò=哭1写↓有 202-210. w1(z)-w(z)长M2(z,,k,DG)z∈ [1 Stein E M.奇异积分和函数的可微性M.北京：北京大 D产，z任T (10) 学出版社.1986. 证明 令4表示与z的最短距离，d= [3 闻国椿.共形映照与边值问题[M.北京：高等教育出 版社.1985. 4,并注意到G()∈C(,因而定理1 路见可.解析函数边值问题M训.上海：上海科技出版 社.1987. ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

|t 1 -t2 |μ 由 G1(t)在 Γ上的连续性和有界性知, G1(t) ∈ Cμ(Γ), 定理 1 证毕 . 2.2 构造逼近函数 前面我们引入了试探函数, 现在利用它来构造 单连通折线域上问题 R0 的标准解 X(z)的近似解 , 称下面的函数 w 1(z)=1/2πi ·∫Γ G1(t)/(t -1)· dt (5) 为H1-逼近函数, 这是一个柯西型积分 ,当 t 0 ∈ Γ时, w 1(t 0)=1/2 πi ·∫Γ G1(t)/(t -t 0)·dt 在主值 的意义下存在, 它很容易积分出来.为此 , 不妨设 t0 ∈ Γ1 , 那么有以下 2 种情况发生: ①t 0 是一个节点, 比方说 t0 =z 1 ; ②t 0 是 Γ1 的一个内点 . 若 ①发生 ,那么 w 1(z1)=1/2 πi · [ w 2 -w m +w 1ln |(z 2 - z 1)/(zm -z 1)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (6) 其中 Ij =w j+1 -w j +[ (z 1 -zj)/(zj+1 -z 1)·w j+1 - (z 1 -zj+1)/(zj+1 -z 1)·w j] ln(zj+1 -z 1)/(zj -z 1) (7) 若 ②发生 ,那么 w 1(t 0)=1/2πi ·[ w 2 -w 1 +[ (t0 -z 1)/(z 2 - z 1)·w 2 -(t0 -z 2)/(z 2 -z1)·w 1] ln|(z 2 -t 0)/(z1 -t 0)|+ ∑ m-1 j =2 Ij] (8) 其中 , Ij 如式(7),上述结果详见文献[ 1] . 有了以上的准备,就可以来求 X(z)在 D ±内的 近似解了 ,对于 D +是单连通的折线域 , 式(2)将变 为 w(z)=1/2 πi ·∫Γ ln[ t -k G(t)] t -z dt (9) 在试探函数里 ,给定节点值w j =ln[ z -k j G(zj)] , 那么有 定理 2 对 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,有 |w 1(z)-w(z)|≤M2(z , μ, k , Γ, G)δ μ z ∈ D ±,z Γ (10) 证明 令 dj 表示 Γj 与 z 的最短距离, d = max 1 ≤j≤m dj ,并注意到 ln[ t -kG(t)] ∈ Cμ(Γ),因而定理1 成立,从而有 |w 1(z)-w(z)|≤ 1 2π∫Γ G1(t)-ln[ t -k G(t)] |t -z | |dt |≤ 1 2 π M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j =1∫Γj |dt | |t -z |≤1/2 π· M1(μ, Γ, k , G)δ μ∑ m j=1 |Γj |/dj ≤|Γ/2πd |M1(μ, Γ, k , G)δ μ ≤M3(μ, Γ, k , G)δ μ 定理2 证毕. 从上面的证明可以看出, z 越靠近边界, 常数 M2 将变得越大 ,但并不影响收敛性,当 z ∈ Γ时 ,一 般说来 , limδ※0 w 1(z)=w(z)不成立. 令 X (z)= e w 1(z) z ∈ D + z -k e w 1 (z) z ∈ D - (11) 并将 X (z)作为标准解 X(z)的近似解,那么由 定理2 立即可得下面的定理. 3 误差估计 定理3 设 δ= max 1 ≤j ≤m|Γj |,则对z ∈ D ±, z Γ,有limδ※0 X 1(z)=X(z),且有估计式 |X 1(z)-X(z)|≤M4δ μ (12) 这里 M4 与 z , μ, k , Γ和G(t)有关. 称函数 e(z)=w(z)-w (z)为用 w (z)逼近 w(z) 的误差函数 , 它反映了 w (z)对 w(z)的近似程度; e(z)在边界 Γ附近的行为 ,则反映了近似解的稳定 性 ,又因为 w (z)是构造 X (z)的关键性函数, 因而 e(z)也是X (z)的各种指标的反映.关于 e(z)的详 细讨论 ,请参见文献[ 1] , 本文在此不再赘述, 这里, 我们只给出结论:当增加节点时 ,误差函数 e(z)在 边界 Γ附近的上界不会增大 , 也就是说, 通过增加 节点的办法 , 有可能提高复变边界元方法(CVBEM) 的效率 . 参考文献: [ 1] Brebbia C A, Orszag S A.The complex variable boundary el￾ement method[ J] .Lecture Notes in Engineering , 1984, (9): 202-210. [ 2] Stein E M.奇异积分和函数的可微性[ M] .北京:北京大 学出版社, 1986. [ 3] 闻国椿.共形映照与边值问题[ M] .北京:高等教育出 版社, 1985 . [ 4] 路见可.解析函数边值问题[ M] .上海:上海科技出版 社, 1987 . 第 2 期 冯 春 :复变边界元法在解析函数齐次 Riemann 边值问题求解中的应用 159

160 重庆交通学院学报 第24卷 The application of complex variable boundary element method for analytic function homogeneous Riemann boundary value problem FENG Chun (Institute of Mathematics and Applied Mathematics Chongqing Jiadong University,Chongqing 400074 China) Abstract:In this paper,we requested the analytic function homogeneous Riemann boundary value problem with cmplex variable boundary el emert method,we dtained the approximate solution of standard solution gived the estimate fomula d solution erro. Key words complex variable boundary element analytic funtion:Riemann boundary balue problem (上接152页) 参考文献： [4汪达成.抽象广义双拟变分不等式的推广[】.重庆交 1]Shih MH.Tan KK.Generalized bi-quasi-variational in 通学院学报，2001,20(1)：114117. equalities J.J.Math.Anal Appl..1989 143(1);6685. Chang SS Zhang Y.Generalized KKM theorem and varia- 【习汪达成曹石遗.关于一类新型广义双拟变分不等式 tional inequalities[J].J.Math.Anal.AppL,1991.159 [】.新疆大学学报.199512(1)：3239. (1):208223. 【习张石生.康世昆汪达成等.一类新型广义双拟变分不 【g 张石生.康世昆张昌斌.仿紧集上的广义双拟变分不 等式】.成都科技大学学报.199583(2)：44-50. 等式』.成都科技大学学报，1995,83(1)：3742 A new class of generalized bi-quasi-variational inequalities on paracompact sets WANG Da-cheng (Institute of Infommation and Calculation Science Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074 China) Abstract:A new minimax inequality theorem is established,which will be used to study the existence problem of solution for a new class of generalized biquasi-vana ional inequality. Key words.minimax inequality:paracompact set generalized biquasi-variational inequality ?1994-2016 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

The application of complex variable boundary element method for analytic function homogeneous Riemann boundary value problem FENG Chun (Institute of Mathematics and Applied Mathematics, Chongqing Jiaotong University , Chongqing 400074, China) Abstract:In this paper, we requested the analytic function homogeneous Riemann boundary value problem with complex variable boundary el￾emert method , we obtained the approximate solution of standard solution, gived the estimate formula of solution error. Key words:complex variable boundary element;analytic funtion;Riemann boundary balue problem (上接 152 页) 参考文献 : [ 1] Shih MH , Tan KK.Generalized bi -quasi -variational in￾equalities[ J] .J.Math.Anal.Appl ., 1989, 143(1);66-85 . [ 2] 汪达成, 曹石遗.关于一类新型广义双拟变分不等式 [ J] .新疆大学学报, 1995, 12(1);32-39 . [ 3] 张石生, 康世昆, 汪达成, 等.一类新型广义双拟变分不 等式[ J] .成都科技大学学报, 1995, 83(2);44-50 . [ 4] 汪达成.抽象广义双拟变分不等式的推广[ J] .重庆交 通学院学报, 2001, 20(1);114-117. [ 5] Chang SS, Zhang Y.Generalized KKM theorem and varia￾tional inequalities[ J] .J .Math .Anal.Appl., 1991 , 159 (1);208-223. [ 6] 张石生, 康世昆, 张昌斌.仿紧集上的广义双拟变分不 等式[ J] .成都科技大学学报, 1995 , 83(1);37-42. A new class of generalized bi-quasi-variational inequalities on paracompact sets WANG Da-cheng (Institute of Information and Calculation Science , Chongqing Jiaotong University , Chongqing 400074, China) Abstract:A new minimax inequality theorem is established , which will be used to study the existence problem of solution for a new class of generalized bi-quasi-variational inequality. Key words:minimax inequality;paracompact set;generalized bi-quasi-variational inequality 160 重 庆 交 通 学 院 学 报 第 24 卷