成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第三章 幂级数展开

1/54 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966382 85533790 邮址:xiangap@sina.com timexspacea163.com 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人,不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/54 ê Æ Ô n  { : •S² …¡: Ç >{: 85966382 85533790 eŒ: xiangap@sina.com timexspace@163.com ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/54 第三章幂级数展开 级数是研究解析函数的一个重要工具.将解析函数表示为级数不 仅有理论上的意义,而且也有使用意义,比如可利用级数计算函数的 近似值(截取幂级数的前面有限项可作为函数的近似表达式,项数取 决于要达到的近似程度)或解微分方程 我们将看到,一个函数的解析性与一个函数可否展开成幂级数的 问题是等价的.这从另一个侧面揭示了解析函数的本质,因此我们可 以进一步地认识解析函数 本章研究复数项级数和复变函数的幂级数展开.对于某些和数学 分析中平行的结论,往往叙述而不证明 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/54 1nÙ ?êÐm ?ê´ïÄ)ۼꇭ‡óä©ò)Û¼êL«?êØ =knØþ¿Â§ …k¦^¿Â§'XŒ|^?êOŽ¼ê CqŠ£?êc¡k‘ŒŠ¼êCqLˆª§‘ê ûu‡ˆCq§Ý¤½)‡©§© ·‚òw§‡¼ê)Û5†‡¼êŒÄÐm¤?ê ¯K´d©ùl,‡ý¡« )ۼ꟧Ïd·‚Œ ±?Ú/@£)Û¼ê© ÙïÄEê‘?êÚEC¼ê?êÐm©éu, ÚêÆ ©Û¥²1(ا Qã Øy²©

3.1.复数项级数 3/54 831复数项级数 3.11复数项级数 设有复数项无穷级数 Wk=wit wet.twk+ k uk iv 式(31-1)的前n项之和为 uk k=1 k=1 从而 li Wk= lim>uk +i lim →oo k=1 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 3/54 §3.1 Eê‘?ê 3.1.1 Eê‘?ê kE. ê. ‘. Ã. ¡. ?. ê. X ∞ k=1 wk = w1 + w2 + · · · + wk + · · · , (3.1-1) wk = uk + ivk. ª(3.1-1)c n ‘ƒÚ X n k=1 wk = X n k=1 uk + i X n k=1 vk, l lim n→∞ X n k=1 wk = lim n→∞ X n k=1 uk + i lim n→∞ X n k=1 vk

3.1.复数项级数 4/54 因此,复数项无穷级数的收敛性问题归结为实部和虚部的收敛性问 题.即 L and k=1 所以,实数项级数的许多性质和规律可移植到复数项级数.下面 列举而不证明一些西性质 31 Cauchy收敛判据 1. Cauchy收敛判据 对于任一给定的小正实数E,必有N存在,使得n>N时, P Wk<E k=n+1 式中p为任意正整数.这就是收敛的充要条件 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 4/54 Ïd§E. ê. ‘. Ã. ¡. ?. ê. . Â. ñ. 5. ¯. K. 8. (. . ¢. Ü. Ú. J. Ü. . Â. ñ. 5. ¯. K. ©= X ∞ k=1 uk and X ∞ k=1 vk. (3.1-2) ¤±§¢. ê. ‘. ?. ê. . N. õ. 5. Ÿ. Ú. 5. Æ. Œ. £. ‡. . E. ê. ‘. ?. ê. ©e¡ Þ Øy² Ü5Ÿ© 3.1.2 Cauchy Âñâ 1. Cauchy Âñâ ~ éu?‰½¢ê ε§7k N 3§¦ n > N ž§      X n+p k=n+1 wk      < ε. ª¥ p ?¿ê©ùÒ´Â. ñ. . ¿. ‡. ^. ‡. ©

3.1.复数项级数 5/54 2.绝对收敛 至如果复数项级数式(311的模构成级数 ∑d=∑wn 3.1-3) k=1 收敛,称复数项级数(31-1)绝对收敛 3.绝对收敛级数的特点 大绝对收敛的复数项级数必然是收敛的,且与级数各项的先后次序 无关 大两个绝对收敛的复数项级数之积是绝对收敛的,且等于两个级数 的和之积 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 5/54 2. ýéÂñ ~ XJEê‘?êª(3.1-1)¤?ê X ∞ k=1 |wk| = X ∞ k=1 q u 2 k + v 2 k (3.1-3) Âñ§¡Eê‘?ê(3.1-1)ý. é. Â. ñ. © 3. ýéÂñ?êA: ✿ ýéÂñEê‘?ê7,´Âñ§…†?ꈑk￾￾￾gS Ã'© ✿ ü‡ýéÂñEê‘?êƒÈ´ýéÂñ§…uü‡?ê ڃȩ

3.1.复数项级数 6/54 设有两个绝对收敛的复数项级数 Pk d qk, k=1 逐项相乘得 p1q1+(P1q2+p2q1)+(1q3+Pq2+D33)+ 313一致收敛级数 特别讨论复变项级数 (z)k=w1(z)+w2(z)+…+Wk(z)+ (3.1-6) 其每项是z的函数 1.定义 对于复变项级数(3.1-6),如果在区域B(或曲线)上所有的 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 6/54 kü‡ýéÂñEê‘?ê X ∞ k=1 pk andX ∞ k=1 qk, (3.1-4) őƒ¦ p1q1 + (p1q2 + p2q1) + (p1q3 + p2q2 + p3q3) + · · · . (3.1-5) 3.1.3 Âñ?ê AO?ØEC‘?ê X ∞ k=1 w(z)k = w1(z) + w2(z) + · · · + wk(z) + · · · , (3.1-6) Ùz‘´ z ¼ê© 1. ½Â ~ éuEC‘?ê(3.1-6)§XJ3« B £½­‚ `¤þ¤k

3.1.复数项级数 7/54 点,级数(3.1-6收敛,则称在B(或曲线)上复变项级数收敛 2.一致且绝对收敛的充分必要条件 在B(或曲线P)上各点z,对于任一给定的小正实数E,必 有N(z)存在,使得n>N(z)时 WK(z)<E, k=n+1 式中p为任意正整数.如果N(a)跟z无关,则称复变项级数在B (或曲线)上一致收敛 3.一致收敛的复变项级数的性质 大如果在B上一致收敛的复变项级数的每项都是B上的连续函 数,则级数和也是B上的连续函数. 大在上一致收敛的复变项级数的每项都是上的连续函数,则级 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 7/54 :§?ê(3.1-6)Âñ§K¡3 B £½­‚ `¤þEC‘?êÂñ© 2. …ýéÂñ¿©7‡^‡ ~ 3 B £½­‚ `¤þˆ: z§éu?‰½¢ê ε§7 k N(z) 3§¦ n > N(z) ž      X n+p k=n+1 wk(z)      < ε, ª¥ p ?¿ê©XJ N(z) ‹ z Ã'§K¡EC‘?ê3 B £½­‚ `¤þ. . Â. ñ. © 3. ÂñEC‘?ê5Ÿ ✿ XJ3 B þÂñEC‘?êz‘Ñ´ B þëY¼ ê§K?êڏ´ B þëY¼ê© ✿ 3 ` þÂñEC‘?êz‘Ñ´ ` þëY¼ê§K?

3.1.复数项级数 8/54 数的和也是上的连续函数,且级数可沿!逐项积分 大如果某个区域B(或曲线)上的所有点z,复变项级数的各项 的模(≤m,而正的常数项级数∑1mk收敛,则复变项 级数在B(或曲线P)上绝对且一致收敛 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.1. Eê‘?ê 8/54 êڏ´ ` þëY¼ê§…?êŒ÷ ` őȩ© ✿ XJ,‡« B£½­‚ `¤þ¤k: z§EC‘?ꈑ  |wk(z)| ≤ mk§ ~ê‘?ê P∞ k=1 mk Âñ§KEC‘ ?ê3 B£½­‚ `¤þýé…Âñ©

32.幂级数 9/54 §32幂级数 本节专门讨论各项都是幂函数的复变项级数 321幂级数 定义如下级数为以z0为中心的幂级数: ak(z-0)=a0+a1(z-0)+a2(z-0) 32-1) 其中,z,a,a1,a2,…都是复常数 式(32-1)各项模构成正项级数 aol+la1|(z-z-0)+|la2(-031+…+|ak(z-z)41+·32-2) 322收敛圆和收敛半径 由判断正项级数的比值判别法d” Alembert判别法,或根值判别 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 9/54 §3.2 ?ê !;€?؈‘Ñ´¼êEC‘?ê© 3.2.1 ?ê ½ÂXe?ꏱ. z0 . ¥. %. . . ?. ê. µ X ∞ k=0 ak(z − z0) k = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0) 2 + · · · , (3.2-1) Ù¥§z0, a0, a1, a2, · · · Ñ´E~ê© ª(3.2-1)ˆ‘¤‘?ê |a0| + |a1||(z − z − 0)| + |a2||(z − z0) 2 | + · · · + |ak||(z − z0) k | + · · · (3.2-2) 3.2.2 ÂñÚÂñŒ» dä‘?ê'. Š. . O. {. —d’Alembert. O. {. §½. Š. Š. . O.

§32.幂级数 0/54 法,能够确定级数(3.2-2)的收敛性 1.比值判别法 如果 k+1 k+1 Iz-zol Iakllz-zolk k-900ak 1,(322发散,(321发散 R= lim 32-3) →0 则 z-alR,(3.2-2)发散,(3.2-1)发散 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 10/54 {. §U. . (. ½. ?. ê. (3.2-2). Â. ñ. 5. © 1. 'ŠO{ XJ ~ lim k→∞ |ak+1||z − z0| k+1 |ak||z − z0| k = lim k→∞     ak+1 ak     |z − z0| = ( 1, (3.2-2)uѧ(3.2-1)uÑ. - ~ R = lim k→∞     ak ak+1     , (3.2-3) K ~ |z − z0| R , (3.2-2)uѧ(3.2-1)uÑ. (3.2-5)