成都信息工程大学（成都信息工程学院）：《数学物理方法》课程电子教案（PPT教学课件）第八章 分离变数（Fourier级数）法

l/70回 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/70 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/70 第八章分离变数( Fourier级数法 行波法一般用来求解无界区域上的定解问题(如初值问题),对 于有限区域上的定解问题一混合问题或边值问题,本章介绍另一种求 解方法—分离变量法.它的基本思想是将偏微分方程的问题转化为常 微分方程的问题,先从中求出一些满足边界条件的特解,然后利用叠 加原理,作出这些解的线性组合,令其满足余下的定解条件,从而得 到定解问题的解 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/70 1lÙ ©lCê(Fourier?ê){ 1Å{„^5¦)Ã.«þ½)¯K£XЊ¯K¤§é uk«þ½)¯K—·Ü¯K½>Š¯K§Ù0,«¦ ){—©lCþ{©§ÄgŽ´ò ‡©§¯K=z~ ‡©§¯K§kl¥¦Ñ ÷v>.^‡A)§,￾￾￾|^U \n§ŠÑù )‚5|ܧ-Ù÷v{e½)^‡§l  ½)¯K)©

881.齐次方程的分离变数法 3/70圆 81齐次方程的分离变数法 811齐次方程、齐次边界条件的分离变数法 以两端固定弦的自由振动为例,具体说明分离变数法的基本思想 和步骤.定解问题为 utt - uxy (8.1-1) uIx=0 =0, ukx=I=0 (8.1-2) u=0=y(x),utl=0=ψ(x),(0<x<D (8.1-3) 两端固定的弦上的振动引起的波在端点将反射, 皮度度波度 从而形成驻波,根据驻波的特点,可将振动相位 变化和振幅的变化分别用m()和x(x)表示,即不 其解具有分离变数的形式 图8-1 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 3/70 §8.1 àg§©lCê{ 8.1.1 àg§!àg>.^‡©lCê{ ±üà½ugdď~§äN`²©lCê{ÄgŽ ÚÚ½©½)¯K utt − a 2uxx = 0, (8.1-1) u|x=0 = 0, u|x=l = 0, (8.1-2) u|t=0 = ϕ(x), ut |t=0 = ψ(x), (0 < x < l). (8.1-3) üà½uþÄÚåÅ3à:ò‡§ l /¤7ŧŠâ7ÅA:§Œòă  CzÚÌCz©O^ T(t) Ú X(x) L«©= Ù)äk©lCê/ª

881.齐次方程的分离变数法 4/70 u(x, t)=X(xT(t). (8.1-4) 代式(8.1-4)入式(81-1)和(81-2),得 XTN-a2XuT=0 X(0)T(t)=0, (8.1-6) X(D)T(t)=0. 为了得到非零解,T(t)≠0,所以得到与其次边界条件相应的结论 X(0)=X(D=0 (8.1-7) 由式(8.1-5)得 T X 由此可把原问题分解为关于X和T的常微分方程, x"+AX=0, 81-8) X(0)=0,X()=0; a2Y=0. (8.1-9) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 4/70 u(x, t) = X(x)T(t). (8.1-4) ª(8.1-4)\ª(8.1-1)Ú(8.1-2)§ XT00 − a 2X 00T = 0, (8.1-5) ( X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. (8.1-6)  š")§T(t) , 0§¤±†Ù. g. >. .. ^. ‡. ƒA(Ø X(0) = X(l) = 0. (8.1-7) dª(8.1-5) T 00 a 2T = X 00 X = −λ, ddŒ ( r¯K©)'u X Ú T ~‡©§§ X 00 + λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; (8.1-8) T 00 + λa 2Y = 0. (8.1-9)

881.齐次方程的分离变数法 5/70 1.先求解X 当λ<0时 式(8.1-12)的解为 X=Cle C 积分常数C1和C2由边界条件确定 C1+C2=0 CIeV-dl+C2e-v-Al=0 →C1=-C2 因此X(x)=0→u(x,t)=0无意义,故λ≮0 当A=0时 X(r)=Clx +C2 由边界条件,得 C2=0 →C1=C2=0 C1l+C2=0, ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 5/70 1. k¦) X ✇  λ .^‡(½© C1 + C2 = 0, C1e √ −λl + C2e − √ −λl = 0, −→ C1 = −C2 = 0. Ïd X(x) = 0 −→ u(x, t) = 0 ÿ§ λ ≮ 0© ✇  λ = 0 ž X(x) = C1x + C2, d>. ( ^‡§ C2 = 0, C1l + C2 = 0, −→ C1 = C2 = 0

881.齐次方程的分离变数法 6/70圆 同理无意义,A=0也应排除 当A>0时 X(x)=CI cos vir +C2 sin vAr 同理, C1=0, C, sin val= n=1,2,3,… 8.1-10) 此时 n X(r)=C2 sin- C2是任意常数 (8.1-11) 由此可见,分离变量是引入的常数A不能为负或零,也不能取任 意正数,而必须取(81-10)给出的特定值一本征值,相应的解称为本征 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 6/70 Ónÿ§λ = 0 AüØ© ✇  λ > 0 ž X(x) = C1 cos √ λx + C2 sin √ λx, Ón§( C1 = 0, C2 sin √ λl = 0. √ λl = nπ, λ = n 2π 2 l 2 , n = 1, 2, 3, · · · . (8.1-10) dž X(x) = C2 sin nπx l , C2´?¿~ê. (8.1-11) ddŒ„§©lCþ´Ú\~ê λ ØUK½"§ØU? ¿ê§ 7L(8.1-10)‰ÑA½Š—. . Š. §ƒA)¡. 

881.齐次方程的分离变数法 7770则 解.相应的方程(81-12)和边界条件(81-7)构成本征问题.式8.1-12)即 X"+AX=0, x0)=0,X(O=0; 2.求T 方程(8.1-9)现在写为 T+a T=0. 其解为 neat nat T(t)=A cOS + B sin (8.1-12) 式中A,B是积分常数 将式(8.1-11)和(81-12代入式(81-4),得分离变数形式解 narat narat IT n(x, t)=An cos +B sin 8.1-13) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 7/70 ). ©ƒA§(8.1-12)Ú>.^‡(8.1-7) ¤¯K©ª(8.1-12)= ( X 00 + λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; 2. ¦ T §(8.1-9)y3 T 00 + a 2 n 2π 2 l 2 T = 0. Ù) T(t) = A cos nπat l + B sin nπat l . (8.1-12) ª¥ A, B ´È©~ê© òª(8.1-11)Ú(8.1-12)\ª(8.1-4)§©lCê/ª) un(x, t) =  An cos nπat l + Bn sin nπat l  sin nπ l x. (8.1-13)

881.齐次方程的分离变数法 8/70 n为正整数.每一个n对应于一种驻波—称为两端固定弦的本征 振动.由此得 kl/n(k=0,1,2,…,n),共n+1个节点,同样有 n个波腹点.相邻节点距离!=半波长波长=2,本征振动圆频率 f 式(8.1-13)可改写为 un(r, t)=Dn sin x cos(ont-0n), nra B +B An arct 可见,在任意时刻t=to,波的形状是一正弦曲线;任一点x=x0 都以相同的圆频率ωn、初相位6n作谐振动,不同的点振幅不同.有 限长弦的自由振动是由一系列驻波叠加而成的,每一驻波的波形由特 征函数确定,频率由特征值确定.因此,分离变数法又称驻波法 由此可解释弦乐器的演奏.n=1是,1 7V2,称为基音 (频),ωn(n≥2)称为泛音(频),相应的振动称为基振动和次谐 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 8/70 n ê©z‡ n éAu«7Å—¡üà½u Ä©dd§x = kl/n (k = 0, 1, 2, · · · , n)§
n+ 1 ‡!:§Ók n ‡ÅJ:©ƒ!:ål l n = ŒÅ:Å = 2l n§ÄªÇ ω = nπa l §f = ω 2π = na 2l © ª(8.1-13)ŒU un(x, t) = Dn sin nπ l x cos(ωnt − θn), Dn = q A2 n + B2 n , ωn = nπa l , θn = arctg Bn An . Œ„§3?¿ž t = t0§Å/G´u­‚¶?: x = x0§ ѱƒÓªÇ ωn!Ѓ  θn ŠħØÓ:ÌØÓ©k ugdÄ´dX7ÅU\ ¤§z7ÅÅ/dA ¼ê(½§ªÇdAŠ(½©Ïd§©. l. C. ê. {. q. ¡. 7. Å. {. © ddŒ)ºuWìüs©n = 1 ´§ω1 = πa l = π l qT ρ§¡ÄÑ £ª¤§ωn (n ≥ 2) ¡Ñ£ª¤§ƒAÄ¡ÄÄÚg

881.齐次方程的分离变数法 9/70回 振动.基音决定了音调,而泛音决定了音色.不同的了器有不同的泛 音,即音色.通过改变弦长l、调整弦中张力T、使用不同粗细的弦 (p)等来改变频率,从而演奏出美妙动听的音乐 上式是满足泛定方程和边界条件的线性独立的特解,由于泛定方 程和边界条件是线性的,本征振动的线性组合就是泛定方程和边界条 件的一般解,即 neat n u(x, t) An cos +Bu sin sn-x。 (8.1-14 式中的任意常数An,Bn由初始条件确定 n An sin PP(r). (0<x<D (8.1-15) nra n Bu sin y(r). ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 9/70 Ä©ÄÑû½ ÑN§ Ñû½ ÑÚ©ØÓ ìkØӍ ѧ=ÑÚ©ÏLUCu l!Nu¥Üå T!¦^ØÓo[u £ρ¤5UCªÇ§l üsÑ{©ÄfÑW© þª´÷v½§Ú>.^‡‚5ÕáA)§du½ §Ú>.^‡´‚5§Ä‚5|ÜÒ´½§Ú>.^ ‡„)§= u(x, t) = X ∞ n=1  An cos nπat l + Bn sin nπat l  sin nπ l x. (8.1-14) ª¥?¿~ê An, Bn dЩ^‡(½µ    X ∞ n=1 An sin nπx l = ϕ(x), X ∞ n=1 nπa l Bn sin nπx l = ψ(x). (0 < x < l) (8.1-15)

881.齐次方程的分离变数法 10/70回 将式中的y(x)和y(x)展开为 Fourier正弦级数,得 nt. pp()sin-d5, (8.1-16) nTE y(s)sinds nra o (81-14)就是定解问题(81-1)(8.1-3)的解.其系数An和Bn有初始条 件确定.(8.1-14)刚好就是 Fourier正弦级数,这是由第一类齐次边界 条件(8.1-2)所决定的 可将上述分离变数法图示为 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §8.1. àg§©lCê{ 10/70 òª¥ ϕ(x) Ú ψ(x) Ðm Fourier u?ê§    An = 2 l Z l 0 ϕ(ξ) sin nπξ l dξ, Bn = 2 nπa Z l 0 ψ(ξ) sin nπξ l dξ. (8.1-16) (8.1-14)Ò´½)¯K(8.1-1)—(8.1-3))©ÙXê An Ú Bn kЩ^ ‡(½©(8.1-14)fÐÒ´ Fourier u?ê§ù´d1aàg>. ^‡(8.1-2)¤û½© Œòþã©lCê{㫏