南京大学：《灰色系统理论及其应用》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 序列算子与灰色序列生成

灰色系统理论及其应用 第列子号来色列成减 志前等 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建组

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61序列算子( sequence operator) 冲击扰动系统预测陷阱 定义6.1.1设 X0=(x0(),x(2)…,xo(m) 为系统真实行为序列而观测到的系统行为数据序列为 X=(x(1)x(2)…;x(n)=(x0(①)+,x0(2)+62…;x"(m)+En) Xo+8 其中ε为冲击扰动项则称X为冲击扰动序列 要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X)的系 统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍ε 如果不事先排除干扰而用失真的数据Ⅹ直接建模、预 测,则会因模型所描述的并非由X0)所反映的系统真实 变化规律而导致预测的失败

6.1 序列算子(sequence operator) 一、冲击扰动系统预测陷阱 定义6.1.1 设 为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为 其中为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 要从冲击扰动序列X出发实现对真实行为序列X(0)的系 统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍 . 如果不事先排除干扰,而用失真的数据X 直接建模、预 测，则会因模型所描述的并非由X(0) 所反映的系统真实 变化规律而导致预测的失败。 ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) X = x x  x n     = + =  = + +  + (0) (0) 2 (0) 1 (0) ( (1), (2), , ( )) ( (1) , (2) , , ( ) ) X X x x x n x x x n n

缓冲算子公理 (the axioms of buffer operator) 定义61.2设系统行为数据序列为 X=(x(1)x(2),…,x(n),若 1vk-2,3,n,x(k-x(k-1)>0则称X为单调增长序 列 21中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列 3存在kk1,有 x(k)-x(k-1)>0x(k1)-x(k1-1)<0 则称X为随机振荡序列设 M-max(x(k)k-1, 2, ...,n), m=min(x(k)lk-1, 2,,,n) 称M-m为序列X的振幅

二、缓冲算子公理(the axioms of buffer operator) 定义6.1.2 设系统行为数据序列为 X=(x(1),x(2), …,x(n)) ,若 1 k=2,3, …,n ,x(k)-x(k-1)>0则称X 为单调增长序 列; 2 1中不等号反过来成立,则称X 为单调衰减序列; 3 存在k,k1 ,有 x(k)-x(k-1)>0 x(k1 )-x(k1 -1)<0 则称X为随机振荡序列.设 M=max{x(k)|k=1,2, …,n},m=min{x(k)|k=1,2, …,n} 称M-m 为序列X 的振幅

定义613设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算 子经过算子D作用后所得序列记为 ⅹD=(x(1)d,x(2)d,,x(n)d) 称D为序列算子称XD为一阶算子作用序列 序列算子的作用可以进行多次若D,D2,D皆为序列算 我们称D1D2为二阶算子,并称 ⅹD1D2=(x(1)d1d2x(2)d1d2,…,x(n)dd2) 为二阶算子作用序列

定义6.1.3 设X为系统行为数据序列,D为作用于X的算 子,X经过算子D作用后所得序列记为 XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d) 称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列. 序列算子的作用可以进行多次,若D1 ,D2 ,D3皆为序列算子, 我们称D1D2为二阶算子,并称 X D1D2=(x(1)d 1d2 , x(2)d 1d2 , …,x(n)d 1d2 ) 为二阶算子作用序列

公理611(不动点公理, Axiom of fixed points) 设X为系统行为数据序列,D为序列算子则D满足 x(nd=x(n) 公理612(信息充分利用公理, Axiom on Suffi cient Usage of Information)系统行为数据序列X 中的每一个数据x(kk=1,2,…,n2都应充分参与算 子作用的全过程 公理61.3(解析化、规范化公理, Axiom of ana lytic Representations)任意的x(k)d,皆可由 统一的x(1),x(2)2…,x(n)的初等解析式表达

公理6.1.1(不动点公理, Axiom of Fixed Points) 设X为系统行为数据序列,D为序列算子,则D满足 x(n)d=x(n) 公理6.1.2(信息充分利用公理, Axiom on Suffi￾cient Usage of Information)系统行为数据序列X 中的每一个数据x(k),k=1,2, …,n,都应充分参与算 子作用的全过程. 公理6.1.3(解析化、规范化公理, Axiom of Ana￾lytic Representations)任意的x(k)d，皆可由一个 统一的x(1), x(2), …,x(n)的初等解析式表达

定义6.14称上述三个公理为缓冲算子三公理 three axioms of buffer operators)满足缓冲算子 三公理的序列算子称为缓冲算子,一阶 阶阶 缓冲算子作用序列称为阶、 缓冲序列 buffer sequences 定义6.1.5设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当 Ⅹ分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时 1若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰 减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为 弱化算子; 2若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰 减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强 化算子

定义6.1.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理 (three axioms of buffer operators),满足缓冲算子 三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二 阶、 … …缓冲算子作用序列称为一阶、二 阶、 … …缓冲序列(buffer sequences)。 定义6.1.5 设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当 X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时: 1 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰 减速度)减缓或振幅减小,我们称缓冲算子D为 弱化算子; 2 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰 减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强 化算子

、缓冲算子的性质 定理61.1设X为单调增长序列ⅹD为其缓冲序列则有 1D为弱化算子台X(k)≤X(k)d D为强化算子台x(k)≥x(k)d 定理612设X为单调衰减序列XD为其缓冲序列则有 1D为弱化算子台>Xk)>x(k)d 2D为强化算子台→X(k)≤x(k)d 定理61.3设X为振荡序列,XD为其缓冲序列则有 1D为弱化算子 max(x(k))>max(x(k)d) min x(k) min(x(k)d)

三、缓冲算子的性质 定理6.1.1 设X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有 1 D为弱化算子x(k)≤x(k)d 2 D为强化算子x(k) ≥x(k)d 定理6.1.2 设X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有 1 D为弱化算子x(k) ≥x(k)d 2 D为强化算子x(k) ≤ x(k)d 定理6.1.3 设X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有 1 D为弱化算子 max{x(k)} ≥max{x(k)d} min {x(k)} ≤ min{x(k)d} 2 D为强化算子 max{x(k)} ≤ max{x(k)d} min {x(k)} ≥ min{x(k)d}

四、实用缓冲算子的构造 定理614设原始数据序列X=(x(1),x(2),…,x(n),令 XD=(x(1)d,x(2)d,,x(n)d) 其中 (k)d [x(k)+x(k+1)+…+x(n) n-k+ 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为 弱化算子( weakening operator 推论61.1对于定理614中定义的弱化算子D令 XD2=(x(1)d2x(2)d2,…,x(n)d2) x(k)d Lx(kd+x(k+D)d+.+x(n)d] n-k+ 则D对于单调增长、单调衰减或振荡序列,皆为二阶弱化 算子

四、实用缓冲算子的构造 定理6.1.4 设原始数据序列X=(x(1),x(2), …,x(n)),令 XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d) 其中 则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为 弱化算子(weakening operator). 推论6.1.1 对于定理6.1.4中定义的弱化算子D,令 XD2=(x(1)d2 ,x(2)d2 , …,x(n)d2 ) [ ( ) ( 1) ( )] 1 1 ( ) x k x k x n n k x k d + + ++ − + = [ ( ) ( 1) ( ) ] 1 1 ( ) 2 x k d x k d x n d n k x k d + + ++ − + = 则D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化 算子

定理61.5设原始序列和其缓冲序列分别为 ⅹ=(x(1)2x(2)2…,X(n) ⅹD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d) 其中 x(bzx(1)+x(2)+…+x(k-1)+kx(k) 2k x(n)= x( n) 当Ⅹ为单调增长序列或单调衰减序 列时D皆为强化算子( (Strengthening operator) 推论61.2设D为定理61.5中定义的强化算子,令 XD2=(x(1)d2x(2)d2,…,x(n)d2) 其中 x(n)d2=x(n)d=x(n x(k)d2_x()d+x(2)d+…+x(k -1)d+ kx(k )d 2k-1 则D2对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算

定理6.1.5 设原始序列和其缓冲序列分别为 X=(x(1),x(2), …,x(n)) XD=(x(1)d,x(2)d, …,x(n)d) 其中 x(n)d=x(n) 则当X为单调增长序列或单调衰减序 列时,D皆为强化算子(strengthening operator). 推论6.1.2 设D为定理6.1.5中定义的强化算子,令 XD2=(x(1)d2 ,x(2)d2 , …,x(n)d2 ) 其中 x(n)d2=x(n)d=x(n) 则 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算 子. 2 1 (1) (2) ( 1) ( ) ( ) − + ++ − + = k x x x k k x k x k d 2 1 (1) (2) ( 1) ( ) ( ) 2 − + ++ − + = k x d x d x k d k x k d x k d

定理616设X=(x(1)x(2),…x(n)令 XD=(X(1)d1x(2)d12…x(n)d;) 其中 (k-1)+x(k) 2 X(1)d1=ax(1)2x(1)d2=(a+1)x(1) x(n)di= x(n) i-1, 2 则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列 为强化算子 推论61.3对于定理6.1.6中定义的D,D2,则D,D2分 别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子

定理6.1.6 设X=(x(1),x(2), …,x(n)),令 XDi=(x(1)di ,x(2)di , …,x(n)di ) 其中 x(1)d1=x(1), x(1)d2=(+1)x(1) x(n)di=x(n) i=1,2 则D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列 为强化算子. 推论6.1.3 对于定理6.1.6中定义的D1 ,D2 ,则 , 分 别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子. 2 ( 1) ( ) ( ) x k x k x k di − + = 1 D2 2 D2