《泛函分析》课程教学资源：教学大纲

泛函分析基础教学大纲 、课程设置说明 本课程基本内容包含线性赋范空间、有界线性算子、共轭空间与共轭 算子等三方面的内容。遵循“以应用为目的,以必需、够用为度”的原则, 强化概念,注重应用。 课程性质 泛函分析课程是本科数学专业一门必修的专业基础课。 、课程任务 通过本课程的学习,使学生掌握泛函分析的基本概念,基本理论,基 本方法和基本技能,并通过各个教学环节逐步培养学生的抽象概括问题的 能力、逻辑推理能力、自学能力,以及较熟练地运算能力和综合所学知识, 分析问题,解决问题的能力 教学基本要求 、线性赋范空间 1.理解线性空间、度量空间、按度量有界、依度量收敛、一致收敛、依 测度收敛、开集、闭集、内点、外点、聚点、线性赋范空间、内积空 间的概念 2.掌握(X,p)为度量空间及(X,‖·‖)为线性赋范空间的证明方 3.理解 Banach空间等距同构,完备,稠密等概念。掌握 Baire纲定理。 4.理解紧、相对紧、完全有界、可分等概念。掌握有限维空间的性质

泛函分析基础教学大纲 一、课程设置说明 本课程基本内容包含线性赋范空间、有界线性算子、共轭空间与共轭 算子等三方面的内容。遵循“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则， 强化概念，注重应用。 二、课程性质 泛函分析课程是本科数学专业一门必修的专业基础课。 三、课程任务 通过本课程的学习，使学生掌握泛函分析的基本概念，基本理论，基 本方法和基本技能，并通过各个教学环节逐步培养学生的抽象概括问题的 能力、逻辑推理能力、自学能力，以及较熟练地运算能力和综合所学知识， 分析问题，解决问题的能力。 教学基本要求 一、线性赋范空间 1．理解线性空间、度量空间、按度量有界、依度量收敛、一致收敛、依 测度收敛、开集、闭集、内点、外点、聚点、线性赋范空间、内积空 间的概念。 2．掌握（X，ρ）为度量空间及（X，||·||）为线性赋范空间的证明方 法。 3．理解 Banach 空间等距同构，完备，稠密等概念。掌握 Baire 纲定理。 4．理解紧、相对紧、完全有界、可分等概念。掌握有限维空间的性质

5.理解积空间与商空间的概念。掌握积极空间与商空间的性质。 、有界线性算子 1.理解有界线性算子,β(X,Y)及X等概念,掌握T是有界线算子的 等价条件,β(X,Y),与X的有关性质。 2.掌握共鸣定理, Banach- Steinhaus定理。 Polya定量的证明及其应用。 3.了解 Schaecder的基本概念,理解开算子,逆算子,闭算子,图像的概 念;掌握开映射定理,逆算子定理与闭图像定理。 4.掌握Hahn- Banach延拓定理。 5.理解凸集,极大真子空间、起平面、凸函数等概念。掌握Hahn- Banach 定理的几何形式;凸集的隔离定理、Hel!定理 、共轭空间及共轭算子 1.了解几个常用的共轭空间及线性泛函的一般表现形式。 2.了解W收敛与W*收敛的概念及性质。 3.了解共轭算子及紧算子的概念及性质。 4.了解自反空间与一致凸空间的概念及性质

5．理解积空间与商空间的概念。掌握积极空间与商空间的性质。 二、有界线性算子 1．理解有界线性算子，β（X，Y）及 X *等概念，掌握 T 是有界线算子的 等价条件，β（X,Y），与 X *的有关性质。 2．掌握共鸣定理，Banach—Steinhaus 定理。Polya 定量的证明及其应用。 3．了解 Schaecder 的基本概念，理解开算子，逆算子，闭算子，图像的概 念；掌握开映射定理，逆算子定理与闭图像定理。 4．掌握 Hahn—Banach 延拓定理。 5．理解凸集，极大真子空间、起平面、凸函数等概念。掌握 Hahn—Banach 定理的几何形式；凸集的隔离定理、Helly 定理。 三、 共轭空间及共轭算子 1．了解几个常用的共轭空间及线性泛函的一般表现形式。 2．了解 W 收敛与 W*收敛的概念及性质。 3．了解共轭算子及紧算子的概念及性质。 4．了解自反空间与一致凸空间的概念及性质