广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）连续函数的性质

§2连续函数的性质 内容:1连续函数的局部性质 2区间上的连续函数的基本 性质 3反函数的连续性 4一致连续性 重点:连续函数的局部性质性质; 区间上的连续函数的基本性质

1 §2 连续函数的性质 内容：1 连续函数的局部性质 2 区间上的连续函数的基本 性质 3 反函数的连续性 4 一致连续性 重点：连续函数的局部性质性质； 区间上的连续函数的基本性质

难点:连续函数的保号性;一致连 续性 连续函数的局部性质 根据函数的在0点连续性,即 lim f(x)=f(xo) X→ 可推断出函数(在 点的某邻域(x)内的性态

2 难点：连续函数的保号性；一致连 续性. 一 连续函数的局部性质 根据函数的在 点连续性，即 可推断出函数 在 点的某邻域 内的性态

定理42(局部连续性)若函数f(x) 在0点连续,则(在0点的某邻 域内有界。 定理4.3(局部保号性)若函数 J(x)在点连续,且 fx)>a>0,则对任意0a>0

3 定理 4.2（局部连续性）若函数 在 点连续，则 在 点的某邻 域内有界。 定理 4.3 （局部保号性） 若函数 在 点连续，且 ，则对任意 存在 某邻域 时

定理44(四则运算性质)若函数 则(x),g(x)在区间I上有定义, 且都在02连续,则 ∫(x)士g(x),了(x)g(x),f(x)g( )在“0点连续。 例因连 和y=x 续,可 推出多项式函数 P(x)=a0x2+a31x(21+…+an1+

4 定理 4.4（四则运算性质）若函数 则 在区间 I 上有定义， 且都在 连续，则 （ ）在 点连续。 例 因连 续，可 推出多项式函数

P 和有理函数 2(x 为 多项式)在定义域的每一点连续。 同样,由 x和cox在R 上的 连续性,可推出tanx与Ctx在定义 域的每一点连续。 定理4.5(复合函数的连续性)若 函数在点连续,8( 在

5 和有理函数 为 多项式）在定义域的每一点连续。 同样,由 上的 连续性，可推出 与 在定义 域的每一点连续。 定理 4.5（复合函数的连续性）若 函数 在 点连续， 在

0点连续, 0,则复合 函数((x)在“0点连续。 证明由于在0连续,对任 给的6>0,存在a>0,使 -lka时有 g(u)

6 点连续， ，则复合 函数 在 点连续。 证明 由于 在 连续，对任 给的 ，存在 ，使 时有 （1）

又由20=(x)及=f(x)在连 续,故对上述1,存在 x-x0,存在 >0 X一 当 时有

7 又由 及 在连 续，故对上述 ，存在 ， 使得当 时，有 . 联系 （1）得: 对任给的 ，存在 ，当 时有

这就证明了 在点 20连缕 注:根据连续性的定义,上述定理 的结论可表示为 lim g((x))=g(lm f(x))=g(f(xo) X→ x→ (2) lm sin( 1-x 例1求1

8 这就证明了 在点 连续. 注：根据连续性的定义，上述定理 的结论可表示为 (2) 例 1 求

解8n(1-x2) 可看作函数 g(2)=81与=1-x2的复合 由(2)式,可得 im sin(1-x)=sin lim(1-x)=sin 0=0 x→1 x→1 注:若复合函数的 内函数 当→死时极限为,而 a≠f( 或”在无定义

9 解 可看作函数 与 的复合. 由(2)式,可得 注：若复合函数的 内函数 当 时极限为 ，而 或 在 无定义

(0为的可去间断点),又外函 数在2三处连续,则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限,即 有 lim g(f(x)=g(lim f(x)) (3)

10 （ 为 的可去间断点），又外函 数 在 处连续，则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限，即 有 (3)