广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）平面曲线的弧长与曲率

§3.平面曲线的弧长与曲率 1直角坐标情形 y=f(x)(a≤x≤b 设曲线弧由直角坐标方程 给出,其中fx)在 四,上具有一阶连续导数。 现在用元素法来计算这曲线弧的长度.取横坐标x为积分变量,它的变化区间 为可.曲线y=f(x)上 对应于p,上任一小区间[,x+d]的一段弧的长度△s可以用该曲现在点 (x,f(x)出的切线上相应的 小段的长度来近似代替(图3.8.4).而这相应切线段的长度为 (dx)2+(dy)2 A2d 以此作为弧长元素ds,即 以√1+y4x为被积表达式,在区间[,上做定积分,便得所求得弧长 曲线段弧y=f(x)(a≤x≤b)的长度为 +yd 2.参数方程情形 设曲线弧由参数方程 p(t) a≤t≤β y=w(t) 给出,其中p(t),t在上具有一阶连续导数。 现在来计算这曲线弧的长度 取参数t为积分变量,它的变化区间 为,.相应,上任一小区 间t+的小弧段的长度的近似值及弧长元素为 y p(t)(dt)+y"(t)(dt) ap'(t)+p"(t)dt 于是,曲线段弧x=q(t),y=(t)(a≤t≤)的长度为

§3. 平面曲线的弧长与曲率 1 直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 给出，其中 在 上具有一阶连续导数。 现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 取横坐标 为积分变量，它的变化区间 为 . 曲线 上 对应于 上任一小区间 的一段弧的长度 可以用该曲现在点 出的切线上相应的一 小段的长度来近似代替(图 3.8.4). 而这相应切线段的长度为 以此作为弧长元素 ，即 以 为被积表达式，在区间 上做定积分，便得所求得弧长. 曲线段弧 的长度为 2. 参数方程情形 设曲线弧由参数方程 给出，其中 ， 在 上具有一阶连续导数。 现在来计算这曲线弧的长度. 取参数 为积分变量，它的变化区间 为 .相应 上任一小区 间 的小弧段的长度的近似值及弧长元素为 于是，曲线段弧 的长度为

It+y"(t 3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 p=p()(a≤中≤) 给出,其中p(印)在上具有连续导数 现在来计算这曲线弧的长度.由直角坐标与极坐标的关系可得 a=p(p) ≤≤6 y=plp)sin p 这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程.于是,弧长元素为 2(p)+y(p) p(p)+p()dp 从而,曲线段弧P=p(p)(a≤≤)的长度为 p(p)+p(p)dvp

3. 极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 给出，其中 在 上具有连续导数。 现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得 这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是，弧长元素为 从而，曲线段弧 的长度为