广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）第十一章 反常积分 11.1 反常积分的概念

第十一章反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数8学时 教学内容 §1反常积分的概念(4学时) 反常积分的引入,两类反常积分的定义反常积分的计算 §2无穷积分的性质与收敛判别(4学时) 无穷积分的性质,非负函数反常积分的比较判别法, Cauchy判别法 反常积分的 Dirichlet判别法 与Abel判别法。 §3瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质,绝对收敛,条件收敛,比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义,奇点,掌握一些重要的反常积分收敛和发散的 例子,理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念,并能用反常积分的 Cauchy收敛原理、非负函数反常积分 的比较判别法、 Cauchy判别 法,以及一般函数反常积分的Abel、 Dirichlet判别法判别基本的反常积分 §1反常积分概念 问题的提出

第十一章 反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数 8 学时 教学内容 §1 反常积分的概念 （4 学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义 反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别 （4 学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy 判别法， 反常积分的 Dirichlet 判别法 与 Abel 判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的 例子，理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念，并能用反常积分的 Cauchy 收敛原理、非负函数反常积分 的比较判别法、Cauchy 判别 法，以及一般函数反常积分的 Abel、Dirichlet 判别法判别基本的反常积分。 §1 反常积分概念 一 问题的提出

例1(第二宇宙速度问题)在地球表面初值发射火箭,要是火箭克服地球引 力,无限远离地球,问初速度至少多大? 解设地球半径为R,火箭质量为m 地面重力加速度为8,有万有引力定理,在距地心x处火箭受到的引理为 F(x 于是火箭上升到距地心”处需要做到功为 当r→00时,其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 ngx=m/冬 在由能量守恒定律,可求得处速度至少应使 m=mgR→n=√2g2112(/) 例2从盛满水开始打开小孔,问需多长时间才能把桶里水全部放完?

例 1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引 力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解 设地球半径为 ，火箭质量为 地面重力加速度为 ，有万有引力定理，在距地心 处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心 处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度 至少应使 例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？

解由物理学知识知道,(在不计摩擦情况下),桶里水位高度为-x时,水 从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间A内,桶里水面降低的高度为△x,则有下面关系 丌R2△x=y2△ 由此得 △=2-2△x,x0 所以流完一桶水所需的时间应为 (2g(-x) 但是,被积函数在0小上是无界函数,,所一我们取 (2g(h-x) 2R2 (√-√-) 2R2 相对于以前学习的定积分(正常积分),我们把这里的积分叫做反常积分 反常积分的定义 1无穷限反常积分的定义 F(A f=F(+oo)-F(a

解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水 从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间 内，桶里水面降低的高度为 ，则有下面关系： 由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在 上是无界函数，，所一我们取 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二 反常积分的定义 1 无穷限反常积分的定义 ，

无穷限反常积分几何意义 例1(1)讨论积分。1+x2 1+x201+x2的敛散性 计算积分0x+2x+5 例2讨论以下积分的敛散性 dx d (1) x n x)? xdx 例3讨论积分a 的敛散性 2瑕积分的定义:以点b为瑕点给出定义然后就点a为瑕点、点 ∈(a,b) 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明 d 例4判断积分0√1-x2的敛散性 例6讨论瑕积分0 的敛散性,并讨论积分0的敛散性 瑕积分与无穷积分的关系:设函数(x)连续,b为瑕点有

无穷限反常积分几何意义 例 1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵ 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ; ⑵ . 例 3 讨论积分 的敛散性 . 2 瑕积分的定义: 以点 为瑕点给出定义. 然后就点 为瑕点、点 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. 例 4 判断积分 的敛散性 . 例 6 讨论瑕积分 的敛散性 , 并讨论积分 的敛散性 . 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有

∫(x)x===」Jb t)t 把瑕积分化成 了无穷积分 dt g(x)d: g 设a>0,有 ,把无穷积分化成了瑕 积分

, 把瑕积分化成 了无穷积分; 设 , 有 ，把无穷积分化成了瑕 积分