广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）函数图象的讨论

§6函数图象的讨论 教学内容:函数作图 要求:掌握函数作图的步骤、方法 难点:参数方程函数的作图 我们要认识一个函数,搞清它的性质,往往要从研究它的图象入手,借助对 函数图象的观察、分析, 发现其隐含的规律性东西。比如我们在第二章研究特殊极 限 时,首先用中学时讲过的 求点描迹法画出它的图象 y=(1+1./n).n; plot(n,y,"r’,[1,50],[2.73,2.73],"b-”) axis([0,51,1.8,3])

§6 函数图象的讨论 教学内容：函数作图 要求： 掌握函数作图的步骤、方法 难点：参数方程函数的作图 我们要认识一个函数，搞清它的性质，往往要从研究它的图象入手，借助对 函数图象的观察、分析， 发现其隐含的规律性东西。比如我们在第二章研究特殊极 限 时，首先用中学时讲过的 求点描迹法画出它的图象 clf,n=1:50; y=(1+1./n).^n; plot(n,y,'r ',[1,50],[2.73,2.73],'b--') axis([0,51,1.8,3])

im(1+-)2 同学们从x,ν的变化规律,轻轻松就认识了特殊极限 利用图象研究函数性质不仅是数学教学中常用的方法也是数学研究上常用 的方法。但是中学讲的求点 描迹法画出的图象比较粗糙,曲线的某些弯曲情况得不到确切的反映,要使图象 准确,就需要求很多的点, 计算量大,现在我们学习了导数和微分,我们可以利用导函数,更好的把握曲线 的变化归律,提高画图的 准确性。 从中学求点描迹作图知道,作图象的一般步骤应是 1确定函数定义域,以安排合适大小的坐标系 2确定函数的奇偶性、周期性,以减少作图工作量 3给出反映函数特性的某些关键点,比如与轴的交点; 4函数的单调区间和极值,凸凹性、拐点 作函数 图象 1函数定义域 (-∞,1∽(1,+∞ 2该函数不是奇偶函数,也不是周期函数 3与轴的交点(30)=、9 单调区间和极值

同学们从 , 的变化规律，轻轻松就认识了特殊极限 。 利用图象研究函数性质不仅是数学教学中常用的方法也是数学研究上常用 的方法。但是中学讲的求点 描迹法画出的图象比较粗糙，曲线的某些弯曲情况得不到确切的反映，要使图象 准确，就需要求很多的点， 计算量大，现在我们学习了导数和微分，我们可以利用导函数，更好的把握曲线 的变化归律，提高画图的 准确性。 从中学求点描迹作图知道，作图象的一般步骤应是 1 确定函数定义域 ，以安排合适大小的坐标系； 2 确定函数的奇偶性、周期性，以减少作图工作量 ； 3 给出反映函数特性的某些关键点，比如与轴的交点； 4 函数的单调区间和极值，凸凹性、拐点。 例 1 作函数 图象 1 函数定义域 2 该函数不是奇偶函数，也不是周期函数 3 与轴的交点 与 4 单调区间和极值

y=1/4*(x-3)2/(x-1) yl=diff(y): dydx=simplify (yl) dydx=1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)2 x=1时,导数不存在,导数的符号由(x-3(x+决定: κ3时,函数严格递增,-13 极增 渐近线 垂直渐近线 显然x=1为垂直渐近线

y='1/4*(x-3)^2/(x-1)'; y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2 时，导数不存在，导数的符号由 决定： 时, 函数严格递增, 时, 递减， 为极大点， 为极小点。 x －1 3 y 极大 极小 凸凹性 d2ydx2=simplify(diff(y1)) d2ydx2 = 2/(x-1)^3 x1 下凸 x3 增 极 大 减 减 极 小 增 渐近线 垂直渐近线: 显然 x=1 为垂直渐近线

f(x)、1 斜渐近线 4 再计算 [(x)-kx] s=1/4*x’;s1 b(y, s simplify(s1) ans=-1/4*(5*x-9)/(x-1) b 4 有斜渐近线 我们把找到的特殊点,渐近线先画出来 c1f,x=-3:1/20:6; y1=1/4*x-5/4 plot(x, y1, ' k'), hold on plot(-1,-2,’r.,3,0,’r.’,0,-9/4’r.), hold on p1ot([1,1],[2.8,2.8],k,[0,0],[2.8,2.8],"b’,[-3,6],[0,0],’b axis([-4,6,-3,3])

斜渐近线: = k 再计算 s='1/4*x';s1=symsub(y,s); simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜渐近线 我们把找到的特殊点, 渐近线先画出来 clf,x=-3:1/20:6; y1=1/4*x-5/4; plot(x,y1,'k'),hold on plot(-1,-2,'r.',3,0,'r.',0,-9/4,'r.'),hold on plot([1,1],[-2.8,2.8],'k',[0,0],[-2.8,2.8],'b',[-3,6],[0,0],'b') axis([-4,6,-3,3])

由特殊点的分布和凸性分析知道,该函数图象有两支,右上方一支下凸,左 下方一支下凸,这样我们 就可以比较准确的画出函数的图象来

由特殊点的分布和凸性分析知道，该函数图象有两支，右上方一支下凸，左 下方一支下凸, 这样我们 就可以比较准确的画出函数的图象来