南京大学：《灰色系统理论及其应用》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 灰色系统建模

灰色系统理论及其应用 第八家 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建组

南京航空航天大学经济管理学院 精品课程群建设组

8.1GM(1,1)模型 定义8.1.1称 d(k)+ax(k,)=b 为灰色微分型方程 定义8.12若灰色微分型方程满足下列条件 1信息浓度无限大 2序列具有灰微分内涵 3背景值到灰导数成分具有平射关系 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程 命题8.1.1方程x(k)+a(k)=b为灰色微分方程,其中 (k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)

8.1 GM(1,1)模型 定义8.1.1 称 为灰色微分型方程. 定义8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件: 1 信息浓度无限大 2 序列具有灰微分内涵 3 背景值到灰导数成分具有平射关系 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程. 命题8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中 d k ax k b i i i ( ) + ( ) = ( ) (1) x (k) + az (k) = b (0) (1) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (1) (1) (1) z k = x k + x k −

定义8.1.3称 x((k)+az(k)=b 为GM(1,1)模型 符号GM(1,1)的含义如下 G M Grey Model1阶方程1个变量

定义8.1.3 称 为GM(1,1)模型. 符号GM(1,1)的含义如下: G M (1, 1) ↑ ↑ ↑ ↑ Grey Model 1阶方程 1个变量 x (k) + az (k) = b (0) (1)

定理8.1.1设X0为非负序列 X0=(x0()x0(2)…,xo(m) 其中x0(k)>=0.k=1,2,n,X()为X0)的1-AGO序列 x 其中x(k)=∑x(k=12…,n;z()为X(的紧邻均值生成序 列 (n 其中(k)=05x(k)+0.5x(k-1)k=2,3,n 若a=(a,b)为参数列,且 2) 0)(3) B 则灰色微分方程x(k)+az(k)=b的最小二乘估计参数 列满足 a=(BB)Br

定理8.1.1 设X(0)为非负序列: 其中x (0)(k)>=0,k=1,2, …,n; X(1)为X(0)的1-AGO序列: 其中 ; Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序 列: 其中 ;k=2,3, …,n 若 为参数列,且 则灰色微分方程 的最小二乘估计参数 列满足 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) (1) (1) (1) z k = x k + x k − ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) X = x x  x n ( (1), (2), , ( )) (1) (1) (1) (1) X = x x  x n x k x i k n k i ( ) ( ), 1,2, , 1 (1) (0) =  =  = ( (2), (3), , ( )) (1) (1) (1) (1) Z = z z  z n x (k) + az (k) = b (0) (1) T a ˆ = (a,b)               −   − − =                = ( ) 1 (3) 1 (2) 1 , ( ) (3) (2) (1) (1) (1) (0) (0) (0) z n z z B x n x x Y a B B B Y T 1 T ˆ ( ) − =

定义8.1.4设X0为非负序列,X()为X0)的1-AGO序列,Z() 为X1)的紧邻均值生成序列,a=(BB)BY,则称 (1) -+ar(1)=b 为灰色微分方程 ()+a(k)=b 的白化方程,也叫影子方程

定义8.1.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1) 为X(1)的紧邻均值生成序列, , 则称 为灰色微分方程 的白化方程,也叫影子方程. a B B B Y T 1 T ˆ ( ) − = ax b dt dx + = (1) (1) x (k) + az (k) = b (0) (1)

定理81,2设B,Y,a如定理8.1.1所述则 1白化方程 a+ax()=b的解也称时间响应函数为 x(1) (1)=(x(0)--)e+ 2GM(1,1)灰色微分方程(k)+a(k)=b的时间响应序 列为 x"(k+1)=(x(0)--)e+-;k=12,;n 3取x1)(0=x0(1),则 X"(k+1)=(x(1)-0)+-;k=12;;n 4还原值 0(k+1)=a0(k+1)=(k+1)-(k,k=1,2

定理8.1.2 设B,Y, 如定理8.1.1所述,则 1 白化方程 的解也称时间响应函数为 2 GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序 列为 3 取x (1)(0)=x(0)(1),则 4 还原值 a ˆ ax b dt dx + = (1) (1) x (k) + az (k) = b (0) (1) x ˆ (k 1) a x ˆ (k 1) x ˆ (k 1) x ˆ (k); k 1,2, ,n (0) (1) (1) (1) (1) + = + = + − =  k n a b e a b x k x a k ˆ ( 1) ( (0) ) ; 1,2, , (1) (1) + = − + =  − k n a b e a b x k x a k ˆ ( 1) ( (1) ) ; 1,2, , (1) (0) + = − + =  − a b e a b x t x ak = − + − ( ) ( (0) ) (1) (1)

定义8.1.5称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数b为灰 色作用量 a反映了沁及的发展态势一般情况下,系统作用 量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到 系统的行为序列(或称输出序列,背景值,而无外作用序 列(或称输入序列,驱动量)GM(1,1)中的灰色作用量是从 背景值挖掘岀来的数据,它反映数据变化的关系,其确切 内涵是灰的灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的 存在,是区别灰色建模与一般输入输岀建模(黑箱建模)的 分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志

定义8.1.5 称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰 色作用量. -a反映了 及 的发展态势.一般情况下,系统作用 量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到 系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序 列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从 背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切 内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的 存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的 分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志. (1) X ˆ (0) X ˆ

定理81.3GM(1,1)模型 (k)+a(k)=b 可以转化为 (k)=B-ax(k-1) 其中 b C B 1+0.5a +0.5a

定理8.1.3 GM(1,1)模型 可以转化为 其中 x (k) + az (k) = b (0) (1) ( ) ( 1) (0) (1) x k =  −x k − a b 1+ 0.5  = a a 1+ 0.5  =

定理8.14设Bb C 1+0.5a 1+0.5a 且 X=(0(1),(2)…;沁(n) 为GM(1,1)模型时间响应序列,其中 x"(k)=(x0()- a ( k 则 x0(k)=(B-ax0(1)ek-2)

定理8.1.4 设 , ,且 为GM(1,1)模型时间响应序列,其中 则 a b 1+ 0.5  = a a 1+ 0.5  = (ˆ (1), ˆ (2), , ˆ ( )) ˆ (1) (1) (1) (1) X = x x  x n a b e a b x k x a k = − + (1) (0) − ( −1) ˆ ( ) ( (1) ) (0) (0) ( 2) ( ) ( (1)) − − = − a k x k  x e

82GM(1,1)模型群 定义8.2.1设序列 0=(x0(),x(2)…;,x(n) 将x0(m)取为时间轴的原点则称←n为过去,t=n为现 在,t>n为未来 定义822设序列Xx0)=(x0(1)x0(2)…,x(m) (k+1)=(1-e)xo(1) -ak 为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则 1当tn时称氵(t)为模型预测值 建模的主要目的是预测为提高预测精度首先要 保证有充分髙的模拟精度,尤其是tn时的模拟精度.因 此建模数据一般应取为包括x(n)在内的一个等时距 序列

8.2 GM(1,1)模型群 定义8.2.1 设序列 将x (0)(n)取为时间轴的原点,则称tn为未来. 定义8.2.2 设序列 为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则 1 当tn时,称 为模型预测值. 建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要 保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因 此建模数据一般应取为包括x (0)(n)在内的一个等时距 序列. ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) X = x x  x n ( (1), (2), , ( )) (0) (0) (0) (0) X = x x  x n a a k e a b x k e x − ˆ ( +1) = (1− )( (1) − ) (0) (0) ˆ ( ) (0) x t ˆ ( ) (0) x t