山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十章 广义积分

《数学分析(1,2,3)》教案 第十章广义积分 §1无穷限的广义积分 定积分f(x)dt有两个明显的缺陷:其一,积分区间[a小]是有限区间:其,若f∈Rab,则 彐M>0,使得对于任意的x∈[a,b],|∫(x)kM(即有界是可积的必要条件)。这两个缺陷限制了定积分 的应用,因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制,把定积分的概念拓广为 (i)无限区间上的积分:(i)无界函数的积分 、无穷限广义积分的概念 定义1设f(x)在[a+∞)上有定义,且对于任意的A(A>a)在区间[a4上可积。当极限 lim f(x)dx 4→+∞Ja 存在时,称这极限值/为f(x)在[a+∞)上的广义积分。记作 ∫。f(x=mf()k 如果上述的极限不存在,就称f(x发散 类似可定义f(x)。 当∫f(x和f(x)都收敛时,就称」f(x女收敛,并且有 ∫f(x)=f(x)+(x)t 这是显然有: ∫“f(x)=加m∫/(x) →+ 如果上述的极限不存在,就称f(x)发散。 定理1如果f(x)在[a+∞)连续,F(x)是∫(x)的原函数,则 f(x)=F(+∞)-F(a) 例:讨论广女 的收敛情形 无穷限积分的性质 性质1若函数f(x)在[a+∞)上可积,k为常数,则k/(x)在[a+∞)上也可积,且 ∫6(x)bk=k厂f(x) 即常数因子可从积分号里提出(注意与不定积分的不同)

《数学分析（1，2，3）》教案 10-1 第十章 广义积分 §1 无穷限的广义积分 定积分 ( ) b a f x dx  有两个明显的缺陷：其一，积分区间 a b,  是有限区间；其二，若 f R a b  [ , ] ，则   M 0 ，使得对于任意的 x a b [ , ]，| ( ) | f x M （即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分 的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为： （i）无限区间上的积分；（ii）无界函数的积分。 一、无穷限广义积分的概念 定义 1 设 f x( ) 在 [ , ) a + 上有定义，且对于任意的 A ( A a  ) 在区间 a A,  上可积。当极限 lim ( ) A A a f x dx →+  存在时，称这极限值 I 为 f x( ) 在 [ , ) a + 上的广义积分。记作 ( ) lim ( ) A a a A f x dx f x dx + →+ =   。 如果上述的极限不存在，就称 ( ) a f x dx +  发散。 类似可定义 ( ) a f x dx − 。 当 ( ) a f x dx − 和 ( ) a f x dx +  都收敛时，就称 f x dx ( ) + − 收敛，并且有 ( ) ( ) ( ) a a f x dx f x dx f x dx + + − − = +    。 这是显然有： ( ) ( ) ' ' lim A A A A f x dx f x dx + − →+ →+ =   。 如果上述的极限不存在，就称 f x dx ( ) + − 发散。 定理 1 如果 f x( ) 在 a, +) 连续， F x( ) 是 f x( ) 的原函数，则 ( ) ( ) ( ) a f x dx F F a + = + −  。 例：讨论 1 p dx x +  的收敛情形。 无穷限积分的性质 性质 1 若函数 f (x) 在 a, +) 上可积， k 为常数，则 kf (x) 在 a, +) 上也可积，且 ( ) ( ) a a kf x dx k f x dx + + =   。 即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）

《数学分析(1,2,3)》教案 性质2若函数∫(x)、g(x)都在[a,+∞)上可积,则f(x)±g(x)在[+∞)上也可积,且有 [f(x)±g(x)x=。f(x)d±g(x)a 性质3对无穷限积分,分布积分和换元积分法则也成立。 柯西收敛原理∫"(x收敛的充分必要条件是:vE>0,34>0,当AA>A时,总有 定义2若积分厂1(x体收敛,就称∫f(x绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛 定理2绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。 无穷限广义积分的收敛性判别法 1、比较判别法 设从某一值起≥a起,常有(x)(x),而积分。f(x)收敛,那么积分”f(x)绝对收敛 又如果(x)29()20,而积分∫”(x)发散,那么积分∫(x)体发散 2、比较判别法的极限形式 如果 lim 则(1)当0≤11,那么f(x绝对收敛:又如果(x)≥9(x)20,而积分(x发散, 那么积分(x)女发散 定理2如果f(x)x,D>1,那么f(x)绝对收敛:如果(x),P51,(x)自某一值 C 起就保持定号,那么积分。∫(x)发散 4、柯西判别法的极限形式 如果 lime(x)=l 则(1)当0≤1,那么积分厂f(x)绝对收敛 (2)当0<1≤+∞时,P≤1,那么积分。(x)女发散 10-2

《数学分析（1，2，3）》教案 10-2 性质 2 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 a, +) 上可积，则 f (x)  g(x) 在 a, +) 上也可积，且有 [ ( ) ( )] ( ) ( ) a a a f x g x dx f x dx g x dx + + +  =     。 性质 3 对无穷限积分，分布积分和换元积分法则也成立。 柯 西收敛 原理 ( ) a f x dx +  收敛的充分必 要条件是 ：    0 ，   A 0 ，当 A A A ', ''  时，总有 ( ) '' ' A A f x dx    。 定义 2 若积分 ( ) a f x dx +  收敛，就称 ( ) a f x dx +  绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。 定理 2 绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。 二 无穷限广义积分的收敛性判别法 1、比较判别法 设从某一值起 0 a a  起，常有 f x( )  ( x) ，而积分 ( ) a f x dx +  收敛，那么积分 ( ) a f x dx +  绝对收敛； 又如果 f x x ( )    ( ) 0 ，而积分 ( ) a f x dx +  发散，那么积分 ( ) a f x dx +  发散。 2、比较判别法的极限形式 如果 ( ) ( ) lim x f x l →+  x = ， 则 （1） 当 0   + l 时，且 ( ) a  x dx +  收敛，那么积分 ( ) a f x dx +  绝对收敛； （2）当 0   + l 时，且 ( ) a  x dx +  发散，那么积分 ( ) a f x dx +  发散。 3、柯西判别法 如果 f x( ) p c x  ，p 1 ，那么 ( ) a f x dx +  绝对收敛；又如果 f x x ( )    ( ) 0 ，而积分 ( ) a f x dx +  发散， 那么积分 ( ) a f x dx +  发散。 定理 2 如果 ( ) p c f x x  ， p 1 ，那么 ( ) a f x dx +  绝对收敛；如果 ( ) p c f x x  ， p 1， f x( ) 自某一值 起就保持定号，那么积分 ( ) a f x dx +  发散。 4、柯西判别法的极限形式 如果 lim ( ) p x x f x l →+ = ， 则 （1） 当 0   + l 时， p 1 ，那么积分 ( ) a f x dx +  绝对收敛； （2）当 0   + l 时， p 1 ，那么积分 ( ) a f x dx +  发散

《数学分析(1,2,3)》教案 例:讨论广义积分 dx的敛散性。 例:讨论广义积分xe-的敛散性 例讨论广义积分厂xm的敛散性 §2无界函数的广义积分 一无穷限广义积分的概念 定义1设f(x)在x=b的临近无界(我们称b点为f(x)的奇点),但对于任意充分小的正数n,f(x) 在[ab-刀]上可积,即 lim f(x)dx 存在时,称这极限值/为无界函数∫(x)在[ab]上的广义积分。记作 ∫(x1=im∫ 如果上述的极限不存在,就称f(x)x发散。 类似可定义f(x(a为奇点) 如果f()在a内部有一个奇点C,a0)的收敛性 例:讨论积分 dx的收敛性 无穷限积分的性质 性质1定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立 柯西收敛原理∫f(x)(x=a是奇点)收敛的充分必要条件是:V>0,36>0,当0<n<6时 总有f(x)x<6。 10-3

《数学分析（1，2，3）》教案 10-3 例: 讨论广义积分 1 2 sin 1 x dx x + +  的敛散性。 例: 讨论广义积分 1 x x e dx  + −  的敛散性。 例: 讨论广义积分 2 1 ln dx x x  +  的敛散性。 §2 无界函数的广义积分 一 无穷限广义积分的概念 定义 1 设 f x( ) 在 x b = 的临近无界（我们称 b 点为 f x( ) 的奇点），但对于任意充分小的正数  ，f x( ) 在 a b, − 上可积，即 0 lim ( ) b a f x dx   + − →  存在时，称这极限值 I 为无界函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上的广义积分。记作 ( ) 0 lim ( ) b b a a f x dx f x dx   + − → =   。 如果上述的极限不存在，就称 ( ) b a f x dx  发散。 类似可定义 ( ) b a f x dx  （ a 为奇点）。 如果 f x( ) 在 [ , ] a b 内部有一个奇点 c ，a c b   ，当 ( ) c a f x dx  和 ( ) b c f x dx  都收敛时，就称 ( ) b a f x dx  收敛，并且有 ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = +    。 如果上式右边的任何一个积分发散，就称 f x dx ( ) + − 发散。 例：讨论积分 ( ) b 1 p a dx x a −  ( p  0) 的收敛性。 例：讨论积分 1 0 2 1 1 dx − x  的收敛性。 无穷限积分的性质 性质 1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理 ( ) b a f x dx  （ x a = 是奇点）收敛的充分必要条件是：    0 ，   0 ，当 0 , '      时， 总有 ( ) a ' a f x dx    + +  

《数学分析(1,2,3)》教案 定义2若积分(女(x=a是奇点)收敛,就称∫(1绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成 为条件收敛 定理2绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。 无界函数广义积分的收敛性判别法 1、柯西判别法 设x=a是f(x)的奇点,如果f(x)≤ (x吵(e>0),P0,p21,那么()体发散 2、柯西判别法的极限形式 如果 limps(x)=l 则(1)当0≤11,那么积分∫”(x)绝对收敛 (2)当0<1≤+0时,P≤1,那么积分。(x)女发散 例:求下列广义积分: d—w dx 例:讨论广义积分[x的收敛性 定义3设∫(x)在[a]内无界,c是唯一的奇点。如果 [Cf(小+n/( 存在,我们就称此极限为广义积分(x)的柯西主值,记为 Pr/()==()+”/( 同样,对于无穷限的广义积分,柯西主值为 P∫/x)x=lm()b 例:设a<C<b,求 dx的主值 例:求 sin xdx的主值 10-4

《数学分析（1，2，3）》教案 10-4 定义 2 若积分 ( ) b a f x dx  （ x a = 是奇点）收敛，就称 ( ) b a f x dx  绝对收敛。收敛但不绝对收敛的积分成 为条件收敛。 定理 2 绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。 二 无界函数广义积分的收敛性判别法 1、柯西判别法 设 x a = 是 f x( ) 的奇点，如果 f x( ) ( ) p c x a  − (c  0) ， p 1 ，那么 ( ) b a f x dx  绝对收敛。如果 ( ) ( 0) ( ) p c f x c x a   − ， p 1 ，那么 ( ) b a f x dx  发散。 2、柯西判别法的极限形式 如果 lim ( ) p x x f x l →+ = ， 则（1）当 0   + l 时， p 1 ，那么积分 ( ) a f x dx +  绝对收敛； （2）当 0   + l 时， p 1 ，那么积分 ( ) a f x dx +  发散。 例：求下列广义积分： 1 0 dx x  ， 1 1 2 1 dx x − −  。 例：讨论广义积分 1 0 ln x dx x  的收敛性。 定义 3 设 f x( ) 在 a b,  内无界， c 是唯一的奇点。如果 ( ) ( ) 0 lim c b a c f x dx f x dx    − → +   +       存在，我们就称此极限为广义积分 ( ) b a f x dx  的柯西主值，记为 ( ) ( ) ( ) 0 . . lim b c b a a c PV f x dx f x dx f x dx    − → +   = +        。 同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为 . . lim ( ) ( ) A A A PV f x dx f x dx + − − →+ =   例：设 a c b   ，求 b 1 a dx x c −  的主值。 例：求 sin xdx + − 的主值