山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第九章 数项级数

第九章数项级数 §1.预备知识:上极限和下极限 1.证明:若微分方程xy"+y+xy=0有多项式解 y=a+4x+a2x2+…+ax", 则必有a1=0(i=1,2,…,n) 2.试确定系数a6,a1…an…使∑anx满足勒让德方程 §2.级数的收敛性及其基本性质 1.讨论下列级数的敛散性 cOS 2n+1 (3n-2)(3n+1) a√m(n+1)(n+√n 2.求下列级数的和 (5n-4)(5+1) 第1页共11页

第 1 页 共 11 页 第九章 数项级数 §1. 预备知识：上极限和下极限 1. 证明：若微分方程 xy y xy " ' 0 + + = 有多项式解 2 0 1 2 , n n y a a x a x a x = + + + + 则必有 0 i a i n = ( =   )  2. 试确定系数 0 1 , , , , , n a a a 使 0 n n n a x  =  满足勒让德方程 2 (1 ) " 2 ' ( 1) 0. − − + + = x y xy l l y §2. 级数的收敛性及其基本性质 1. 讨论下列级数的敛散性： (1) 1 ; n 2 1 n n  = −  (2) 1 1 1 ( ); 2 3 n n n  =  + (3) 1 cos ; n 2 1 n   = +  (4) 1 1 ; n (3 2)(3 1) n n  = − +  (5) 1 1 . n n n n n ( 1)( 1)  = + + +  2. 求下列级数的和： (1) 1 1 ; n (5 4)(5 1) n n  = − + 

4n2-1 (3)S(1)" (5)>r"sinn, Irk; (6)>, "cosnx, I rkI 3.设级数∑u,各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级数∑Un,即 n=42++4+2+…+,n=0,1,2.…, 其中k=0,k<k<k2<…<k<kn<…若∑U收敛,证明原来的级数也收敛 §3.正项级数 1.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性 (1)∑e-(1+-)]P (3)∑(m+1-√h)ln n 2.判别下列级数的收敛性: 第2页共11页

第 2 页 共 11 页 (2) 2 1 1 ; n 4 1 n  = −  (3) 1 1 1 ( 1) ; 2 n n n  − − = −  (4) 1 2 1 ; 2 n n n  = −  (5) 1 sin , n n r nx  =  | | 1; r  (6) 1 cos , n n r nx  =  | | 1. r  3. 设级数 1 n n u  =  各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 , n n U  =  即 1 1 1 2 , n n n U u u u n k k k + + + + = + + + n = 0,1,2, ， 其中 0 0 1 2 1 0, . n n k k k k k k =       + 若 1 n n U  =  收敛，证明原来的级数也收敛. §3. 正项级数 1. 利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) 1 1 [ (1 ) ] ; n p n e n  =  − + (2) 3 ln cos ; p n n   =  (3) 1 1 ( 1 ) ln ; 1 p n n n n n  = − + − +  (4) 4 2 1 ( ). n n a n n b  =  + − + + 2． 判别下列级数的收敛性： (1) 2 1 1 ; n n n  = + 

m(2n-1)2 (a>1); 1+a h=l [In(n+Dr (11) n! In (13) (14 第3页共11页

第 3 页 共 11 页 (2) 2 1 1 1 ; (2 1)2 n n n  − = −  (3) 1 ; n 2 1 n n n  = − −  (4) 1 sin ; 2 n n   =  (5) 1 1 1 n n a  = +  ( 1); a  (6) 1 1 ; n n n n  =  (7) 1 1 ( ) ; 2 1 n n n  = +  (8) 1 1 ; [ln( 1)]n n n  = +  (9) 1 2 ( 1) ; 2 n n n  = + −  (10) 1 2 sin ; 3 n n n   =  (11) 1 ; ! n n n n  =  (12) 1 ln ; 2 n n n n  =  (13) 1 !2 ; n n n n n  =  (14) 1 !3 ; n n n n n  =  (15) 2 1 ; 1 ( ) n n n n n  = + 

(16)> a(4+x1+x2)…(+x(x≥0 3·53·5·73.5.7.9 1.41.4·71.4.7·10 (18) (19) (20) 心12 (22∑一; (23) 3.若正项级数∑an收敛,an1≤an(n=12…),求证immn=0 4.已知两正项级数∑un和∑”发散,问∑max(un,n),∑min(un,v)两级数 的收敛性如何? n n≠k2,k=1,2 1 ,k=1,2, 求证:()∑an收敛 (2) lim na≠0 6.讨论下列级数的收敛性 (1) n(Inn)p 第4页共11页

第 4 页 共 11 页 (16) 2 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x x x x  = + + +  ( 0); x  (17) 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 ; 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10       + + + +       (18) ln 1 1 ; n n n  =  (19) ln 1 1 ; (ln ) n n n  =  (20) ln 1 1 ; 2 n n  =  (21) ln 1 1 ; 3 n n  =  (22) 1 1 ; 3 n n  =  (23) 1 . 3 n n n  =  3． 若正项级数 1 n n a  =  收敛， n n 1 a a +  ( 1, 2, ) n = ，求证 lim 0 n n na → = . 4． 已知两正项级数 1 n n u  =  和 1 n n v  =  发散，问 1 max( , ) n n n u v  =  ， 1 min( , ) n n n u v  =  两级数 的收敛性如何？ 5． 设 2 2 2 2 1 , , 1,2, , 1 , 1,2, , n k a n k k n a k k  =  =    = =  求证:(1) 1 n n a  =  收敛; (2) lim 0. n n na →  6. 讨论下列级数的收敛性: (1) 2 1 ; (ln ) p n n n  = 

(2) an- In n- InIn n n=2 n(Inn)to In Inn n=2 n(Inn)(InIn n) 7.设an>0,且Iim1=1,求证 lima=1.反之是否成立? 8.利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性 ()∑2n=)y(p是实数 (2)ya(a+1)…(a+n-1)1 (a>0,B>0) 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)lim、 ) (2)1imn(2n)=0(a>1) 10.设正项级数∑a收敛证明∑√a,an也收敛 1l.设an20,且数列{man}有界,证明级数∑an2收敛 12.设lman=l,求证 收敛; ()当1<1时,∑1发散 问l=1时会有什么结论? 第5页共11页

第 5 页 共 11 页 (2) 2 1 ; n n n n ln ln ln  =    (3) 1 2 1 n n n n (ln ) ln ln   + =  ( 0);   (4) 2 1 . (ln ) (ln ln ) p q n n n n  =  7. 设 0, n a  且 1 lim n n n a l a + → = ,求证 lim n n n a l → = .反之是否成立? 8. 利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) 1 (2 1)!! [ ] (2 )!! p n n n  = −  ( ); p是实数 (2) 1 ( 1) ( 1) 1 n ! n n n      = + + −  ( 0, 0).     9. 利用级数收敛的必要条件证明: (1) 2 lim 0; ( !) n n n → n = (2) ! (2 )! lim 0 n n n → a = ( 1). a  10. 设正项级数 1 n n a  =  收敛,证明 1 1 n n n a a  + =  也收敛. 11. 设 0 n a  ,且数列 { }n na 有界,证明级数 2 1 n n a  =  收敛. 12. 设 lim n n a l → = ,求证: (1) 当 l 1 时, 1 1 n a n n + =  收敛; (2) 当 l 1 时, 1 1 n a n n  =  发散. 问 l =1 时会有什么结论?

§4.任意项级数 1.讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: n(2”x) sin nx 00) m=[n+(-1)] 2""x ∑(-),iman=a>0 (10)∑(-1)rv(r>0) (12)S1m14(-1) (13) √m+(-1)- 第6页共11页

第 6 页 共 11 页 §4. 任意项级数 1. 讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: (1) 1 ( 1) ; n n n x  = − +  (2) 1 sin(2 ) ! n n x n  =   (3) 1 sin n nx n  =  (0 );   x  (4) 1 cos p n nx n  =  (0 );   x  (5) 1 ( 1) 1 n n p n n  = − +  ( 0); p  (6) 2 ( 1) [ ( 1) ] n n p n n  = − + −  ( 0); p  (7) 1 1 ( 1) ; n p n n n  + = −  (8) 2 1 1 2 sin ( 1) ; n n n n x n  − =  − (9) 1 ( ) , n n n x a  =  lim 0; n n a a → =  (10) 1 ( 1)n n n n r  + =  − ( 0); r  (11) 1 !( ) ; n n x n n  =  (12) 1 ( 1) ln(1 ); n p n n  = −  + (13) 1 1 ( 1) ; [ ( 1) ] n n p n n  − = − + − 

SIn--7 n+s-丌 2.讨论下列级数的收敛性 )∑(-yv (2) In n sin (-1) 1) (6)S(-1) 3 (-1) (P>0), (9)∑(-1) (10)∑(-1) (1)∑(-ysin-(x≠0) ∑m I)n 3)万-++-1-+”+折-+ 第7页共11页

第 7 页 共 11 页 (14) 1 sin 4 . sin 4 n p n n n    = +  2. 讨论下列级数的收敛性: (1) 1 ( 1) ; 100 n n n n  = − +  (2) 1 ln sin ; n 2 n n n   =  (3) 1 1 1 1 2 ( 1) ; n n n n  = + + +  − (4) 2 ( 1) ; ( 1) n n n n  = − + −  (5) 2 1 sin( 1); n  n  =  + (6) ( 1) 2 1 ( 1) ; 3 n n n n −  = −  (7) 1 ( 1)n p n n  = −  ( 0); p  (8) 1 1 sin ; 3 2 n n n  =  (9) 1 cos 2 ( 1) ; n n n n  =  − (10) 2 1 sin ( 1) ; n n n n  =  − (11) 1 ( 1) sin n n x n  =  − ( 0) x  ; (12) 2 1 ( 1) ; ( 1) n n n n  = − +  (13) 1 1 1 1 1 1 ; 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 n n − + − + + − + − + − + − +

(14) (a>0) n 1 (15) sIn nsin 3.求证:若级数∑an(an20)收敛,则级数∑an2收敛但反之不成立,请举出例子 4.证明:若级数∑a1(4)及∑b(B)都收敛,且 an≤cn≤bn(m=1,2,…) 则级数∑Cn(C)也收敛,若级数(A)与(B)都发散,问级数(C)的收敛性如何? 5.利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性 (1)a+a1q+a2q2+…+a,qn+… golla, ksa(n=0,1,2,…) (2)1+ 23456 6.证明:若∑收敛则当x>x1时,∑红也收敛若∑马发散则当x<x n=I n n=I n 时,∑也发散 7.若级数∑n收敛且im=,问是否能断定∑62也收敛研究例子 ,b 8.设∑an收敛,且 lim na=0,求证 ∑m(an-an) 第8页共11页

第 8 页 共 11 页 (14) 1 1 ( 1) 1 n n n a n a  + = − +  ( 0); a  (15) 1 1 sin( ) ; n n n n  = +  (16) 2 1 sin sin . n n n n  =  3. 求证:若级数 1 n n a  =  ( 0) n a  收敛,则级数 2 1 n n a  =  收敛.但反之不成立,请举出例子. 4. 证明:若级数 1 ( ) n n a A  =  及 1 ( ) n n b B  =  都收敛,且 nnn a c b   ( 1, 2, ) n = 则级数 1 ( ) n n c C  =  也收敛,若级数 ( ) A 与 ( ) B 都发散,问级数 ( ) C 的收敛性如何? 5. 利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性: (1) 2 0 1 2 ,| | 1,| | n n n a a q a q a q q a A + + + + +   ( 0,1,2, ); n = (2) 1 1 1 1 1 1 . 2 3 4 5 6 + − + + − + 6. 证明:若 0 1 n x n a n  =  收敛,则当 0 x x  时, 1 n x n a n  =  也收敛. 若 0 1 n x n a n  =  发散,则当 0 x x  时, 1 n x n a n  =  也发散. 7. 若级数 1 n n a  =  收敛,且 lim 1 n n n b → a = ,问是否能断定 1 n n b  =  也收敛?研究例子 ( 1) 1 , . n n n n a b a n n − = = + 8. 设 1 n n a  =  收敛,且 lim 0 n n na → = ,求证: 1 1 ( ) n n n n a a  + =  −

收敛,并且 9.求证:若数列{man}有极限∑m(an-an1)收敛,则∑an也收敛 10.求下列极限(其中p>1) (1)lim( n(n+1)(n+2)2 (2)lim( 1l.设正项数列{xn}单调上升且有界,求证 收敛 12.下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例 (1)若an>0,则a1-a1+a2-a2+a3-a3+…收敛 (2)若an→0,则a1-a1+a2-a2+a1-a3+…收敛 (3)若∑an收敛,则∑(-1”an收敛 (4)若∑an2收敛则∑an2绝对收敛 (5)若∑a发散则an不趋于0 6)若∑an收敛,b,→1,则∑anbn收敛; (7)若∑|an|收敛,b→1,则∑anb收敛 (8)若∑an收敛则∑a2收敛 第9页共11页

第 9 页 共 11 页 收敛,并且 1 1 1 ( ) n n n n n n a a a   + = =   − = 9. 求证:若数列 { }n na 有极限, 1 1 ( ) n n n n a a  − =  − 收敛,则 1 n n a  =  也收敛. 10. 求下列极限(其中 p 1 ) (1) 1 1 1 lim( ); ( 1) ( 2) (2 ) p p p n→ n n n + + + + + (2) 1 2 2 1 1 1 lim( ). n n n n p p p → + + + + + 11. 设正项数列 { }n x 单调上升且有界,求证: 1 1 (1 ) n n n x x  = +  − 收敛. 12. 下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若 0 n a  ,则 1 1 2 2 3 3 a a a a a a − + − + − + 收敛; (2) 若 0 n a → ,则 1 1 2 2 3 3 a a a a a a − + − + − + 收敛; (3) 若 1 n n a  =  收敛,则 1 ( 1)n n n a  =  − 收敛; (4) 若 2 1 n n a  =  收敛,则 3 1 n n a  =  绝对收敛; (5) 若 1 n n a  =  发散,则 n a 不趋于 0; (6) 若 1 n n a  =  收敛, 1 n b → ，则 1 n n n a b  =  收敛; (7) 若 1 | | n n a  =  收敛, 1 n b → ，则 1 n n n a b  =  收敛; (8) 若 1 n n a  =  收敛,则 2 1 n n a  =  收敛;

(9)若∑a收敛,an>0,则 lim na=0 1.求证:级数∑二的平方柯西乘积是收敛的 14.令ex ,求证 §5.绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 1.求证:若级数∑a2和∑b2都收敛,则级数 anbn∑(an+b)∑ an 也收敛. 2.对数列{a},b},定义Sn=∑a,△b=b1-b,求证 (1)如果{S}有界,∑|△b收敛,且b2→0(n→∞),则∑abn收敛,且有 (2)如果∑a与∑|△bn都收敛,则∑abn收敛 3.求证:若∑(an-an)绝对收敛∑b收敛,则∑abn收敛 4.不用柯西准则,求证:如果∑|an|,则∑an也收敛 5.求证:由级数∑(y重排所得的级数 +互++五 发散 第10页共11页

第 10 页 共 11 页 (9) 若 1 n n a  =  收敛, 0 n a  ，则 lim 0 n n na → = . 13. 求证:级数 1 1 ( 1)n n n  + = −  的平方(柯西乘积)是收敛的. 14. 令 0 ! n x n x e n  = =  ,求证 x y x y e e e + =  . §5. 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 1. 求证:若级数 2 1 n n a  =  和 2 1 n n b  =  都收敛,则级数 2 1 1 1 | |, ) , n n n n n n n n a a b a b n    = = =    （ + 也收敛. 2. 对数列 { },{ } n n a b ,定义 1 1 , n n k k k k k S a b b b + = =  = −  ,求证: (1) 如果 { }n S 有界, 1 | | n n b  =   收敛,且 0( ) n b n → →  ,则 1 n n n a b  =  收敛,且有 1 1 ; n n n n n n a b S b   = =   = −   (2) 如果 1 n n a  =  与 1 | | n n b  =   都收敛,则 1 n n n a b  =  收敛. 3. 求证:若 1 1 ( ) n n n a a  − =  − 绝对收敛, 1 n n b  =  收敛,则 1 n n n a b  =  收敛. 4. 不用柯西准则,求证:如果 1 | | n n a  =  ,则 1 n n a  =  也收敛. 5. 求证:由级数 1 1 ( 1)n n n  − = −  重排所得的级数 1 1 1 1 1 1 3 2 5 7 4 + − + + − + 发散