山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十章 广义积分

第十章广义积分 §1.无穷限的广义积分 1.讨论下列积分的收敛性 d x4+1 oo x arctan +xx dx 1+x sin x 6)Jnt(,m>0 9)x"e-dhx,(p≥0) (10) 1)12dt(m是正整数) cos ax db (14)lm(1+-)-,-lt 第1页共5页

第 1 页 共 5 页 第十章 广义积分 §1. 无穷限的广义积分 1. 讨论下列积分的收敛性: (1) 0 3 4 ; 1 dx x + +  (2) 3 1 arctan ; 1 x x dx x + +  (3) 2 1 1 sin ; dx x +  (4) 0 ; 1 | sin | dx x x + +  (5) 2 2 0 ; 1 sin x dx x x + +  (6) 0 1 m n x dx x + +  ( , 0); n m  (7) 2 4 2 0 ; 1 x dx x x + − +  (8) 1 3 2 ; 1 dx x x + +  (9) 0 ; p x x e dx + −  ( 0); p  (10) 1 ln ; p x dx x +  (11) 2 1 lnn x dx x +  ( ); n是正整数 (12) 2 0 sin ; x dx x +  (13) 0 cos ; 1 n ax dx x + +  (14) 1 1 1 [ln(1 ) ] ; 1 dx x x + + − + 

15). In(cos+sin -)dx sIn x 2.求下列无穷积分的值 d x dx(a>0); (4) e"sin bxdx(a>0 dx (P,q>0) (x2+p)(x2+q) 3.设f(x)≤h(x)≤g(x),a≤x<+∞,h(x)在任意有限区间[a,4可积,又 f(x)x和g(xtx收敛求证h(x)r收敛 4.设/(x)在O+)上一致连续并且积分。f(x)收敛证明im(x)=0如 果仅仅知道积分。f(x)d收敛,以及f(x)在[a,+∞)连续,f(x)≥0,是否仍有 lim f(x)=0? 5.设f(x)和g(x)是定义在[a,+∞)上的函数,且在任何有限区间[a,]上可积,证明 若∫f(x)与g2(x)收敛则∫,L(x)+g(x)h与”(xg(x 也收敛 6.讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛) cos x coS x dx cos x 第2页共5页

第 2 页 共 5 页 (15) 1 1 1 ln(cos sin ) ; dx x x + +  (16) 2 1 2 0 1 sin ln(1 ) . 2 x dx x + − −  2. 求下列无穷积分的值: (1) 2 2 1 ; 1 dx x + −  (2) 2 1 ; (1 ) dx x x + +  (3) 2 0 ax xe dx + −  ( 0); a  (4) 0 sin ax e bxdx + −  ( 0); a  (5) 2 0 ; 1 x dx x + +  (6) 2 2 0 ( )( ) dx x p x q + + +  ( , 0). p q  3. 设 f x h x g x a x h x ( ) ( ) ( ), , ( )     + 在任意有限区间 [ , ] a A 可 积 , 又 ( ) a f x dx +  和 ( ) a g x dx +  收敛,求证 ( ) a h x dx +  收敛. 4. 设 f x( ) 在 [0, ) + 上一致连续,并且积分 0 f x dx ( ) +  收敛,证明 lim ( ) 0 x f x →+ = .如 果仅仅知道积分 0 f x dx ( ) +  收敛,以及 f x( ) 在 [ , ) a + 连续, f x( ) 0  ,是否仍有 lim ( ) 0 x f x →+ = ? 5. 设 f x( ) 和 g x( ) 是定义在 [ , ) a + 上的函数,且在任何有限区间 [ , ] a A 上可积,证明: 若 2 ( ) a f x dx +  与 2 ( ) a g x dx +  收敛,则 2 [ ( ) ( )] a f x g x dx + +  与 ( ) ( ) a f x g x dx +  也收敛. 6. 讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛): (1) 2 1 cos ; x dx x +  (2) 1 cos ; x dx x +  (3) 1 cos ; p x dx x + 

In In 7.设∫(x)单调下降趋于零,f(x)在[0,+∞)连续求证: Jo/(x)sin'xdx 收敛 8.若f()在a+2)上单调下降且积分f(x)k收敛求证lmy(x2=0 9.证明:(1)设∫(x)在[0,+∞)连续,且Iimf(x)=k,则 ∫(ax)-f(bx) dx=f(o)-k]In q(b>a>0) (2)若上述条件!mf(x)=k改为广了(习在存在(a>0),则 f( ax)-(bx dx=f(O)In(b>a>0) 10.设f(x)女与f(x)dr收敛求证 §2.无界函数的广义积分 讨论下列积分的收敛性 ()Jo sin'xcosx 「hxP 第3页共5页

第 3 页 共 5 页 (4) 0 cos ; 100 x x dx x + +  (5) 2 ln ln sin . ln x xdx x +  7. 设 f x( ) 单调下降趋于零, f x'( ) 在 [0, ) + 连续.求证: 2 0 f x xdx '( )sin +  收敛. 8. 若 f x( ) 在 [ , ) a + 上单调下降,且积分 ( ) a f x dx +  收敛,求证: lim ( ) 0. x xf x →+ = 9. 证明: (1) 设 f x( ) 在 [0, ) + 连续,且 lim ( ) x f x k →+ = ,则 0 ( ) ( ) [ (0) ]ln f ax f bx b dx f k x a + − = −  ( 0). b a   (2) 若上述条件 lim ( ) x f x k →+ = 改为 ( ) a f x dx x +  存在 ( 0) a  ,则 0 ( ) ( ) (0)ln f ax f bx b dx f x a + − =  ( 0). b a   10. 设 ( ) a f x dx +  与 '( ) a f x dx +  收敛,求证: lim ( ) 0 x f x →+ = . §2. 无界函数的广义积分 1. 讨论下列积分的收敛性: (1) 1 3 0 2 sin ; x dx x  (2) 1 0 3 2 ; (1 ) dx x x −  (3) 1 2 0 ln ; 1 x dx − x  (4) 2 2 2 0 ; sin cos dx x x   (5) 1 0 | ln | ; p x dx 

I-coSx dx sIn x (9)LxInxdx ln (11)tan xdx (12)2cos xInsin xdx 2.下列积分是否收敛?若收敛求其值 (1)12cot xdx; (2) In xdx d x 3.判别收敛性 (1)ln(1--2) (2) +o(arctan x) In(1+x) dx x(x-1)2(x-2) 第4页共5页

第 4 页 共 5 页 (6) 2 0 1 cos ; m x dx x  −  (7) 1 0 ; ln dx x  (8) 0 ; sin dx x   (9) 1 0 x xdx ln ;   (10) 1 1 1 0 ; ln p q x x dx x − − −  (11) 2 0 tan ; xdx   (12) 2 0 cos ln sin . x xdx   2. 下列积分是否收敛?若收敛求其值. (1) 1 2 0 cot ; xdx  (2) 1 0 ln : xdx  (3) 0 ; a dx a x −  (4) 1 0 . 1 x dx − x  3. 判别收敛性: (1) 1 2 1 1 ln(1 ) ; dx x + − −  (2) 1 0 ; p x x e dx + − −  (3) 0 (arctan ) ; q p x dx x +  (4) 0 ln(1 ) ; p x dx x + +  (5) 1 ; ln p q dx x x +  (6) 0 ; p q dx x x + +  (7) 0 3 2 ; ( 1) ( 2) dx x x x + − − 

(8)「eh|x|dx 4.计算下列广义积分的值 (1)|(nx)aa √- 5.证明积分A=|2ln(sinx)dkx收敛,并求其值 6.证明不等式 √2 7.讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性 (1)sin xdx top sin x (3) dx(q≥0) sin(x+-) 第5页共5页

第 5 页 共 5 页 (8) 0 ln | | . x e x dx − 4. 计算下列广义积分的值: (1) 1 0 (ln ) ; n x dx  (2) 1 0 . 1 n x dx − x  5. 证明积分 2 0 A x dx ln(sin )  =  收敛,并求其值. 6. 证明不等式: (1) 2 0 1 1 1 (1 ) 1 ; 2 2 x e dx e e + − −   +  (2) 1 0 4 . 2 2 1 2 dx x     −  7. 讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性: (1) 2 0 sin ; x dx +  (2) 0 sin ; p q x dx x +  (3) 0 sin 1 p q x x dx x + +  ( 0); q  (4) 0 1 sin( ) . n x x dx x + + 