山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第二章 极限与连续

第二章极限与连续 §1.数列的极限和无穷大 1.用定义证明: (1) lin n为偶数 其中 n+1 n为奇数 (4) lim x=3,其中 3n+1 n=3k+1(k=1,2,…), 2+ 2.用定义证明下列数列的极限为零: ()m-+1 n+(-1) 10° 1+2+3+ 第1页共11页

第 1 页 共 11 页 第二章 极限与连续 §1. 数列的极限和无穷大 1. 用定义证明： (1) 2 2 3 lim n 2 1 n n → n +  = −  ； (2) 2 lim n n n → n + =  ； (3) lim n n x → =  ，其中 1 , 1 , n n n n x n n n  −  =  +   为偶数， 为奇数； (4) lim n n x → =  ，其中 3 1 , 1 ( 1, 2, ) 2 , 2 3 n n k n x n k k n n n k n n    =    + = =  + =     + + =  +   − + ， ， . 2. 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1 lim n 1 n → n + + ； (2) sin lim n n → n ； (3) lim n n  → ； (4) 2 ( 1) lim n n n → n + − −  ； (5) lim ( 1 ) n n n → + − ； (6) 10 lim ! n n→ n ； (7) lim 1 n n n a → a (  ) ； (8) ! lim n n n → n ； (9) 2 1 2 3 lim n n → n + + + + ； (10) 1 lim 1 n n a a n − → ( + )  

3.极限的定义改成下面形式是否可以?(其中“彐”是逻辑符号,表示“存在”.) (1)VE>0,3N>0,当n≥N时,有|xn-a0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|≤E; (3)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|b,则存在N,当n>N时,有an>b (4)若 lim a=a,且a,>0,则lmv,=a 5.设xn≤a≤yn(n=12,…),且lim(yn-xn)=0,求证: lim 6.利用极限的四则运算法则求极 (1)lim 3n3+2n2-n+1 (2)im(2)+3 (4)lim(√+√2+…+√10) 7.证明:若{an},{bn}中一个是收敛数列,另一个是发散数列,则{an±bn}是发 散数列:又问{a}和{a}(2≠0是否也是发散数列?为什么? 8.设 lim a=a,证明 (2)若a>0, 则lim 9.求下列极限: 第2页共11页

第 2 页 共 11 页 3. 极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“  ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1)     ，   N 0 ，当  n N 时,有 n | - |< x a  ； (2)     ，   N 0 ，当  n N 时,有 n  | - | x a  ； (3)     ，   N 0 ，当  n N 时,有 n  | - | x a M （ M 为常数）. 4. 用定义证明： (1) 若 lim n n a a → = ，则对任一正整数 k ，有 lim n k n a a + → = ； (2) 若 lim n n a a → = ，则 lim | n n a a →   =  .反之是否成立？ (3) 若 lim n n a a → = ，且  a b ，则存在 N ，当  n N 时，有 n  a b ； (4) 若 lim n n a a → = ，且 0 n  a ，则 lim n n a a → = . 5. 设 ( 1, ) n n   =  x a y n ，且 lim ( ) 0 n n n y x → − = ，求证： lim n n x a → = ， lim n n y a → = . 6. 利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3 2 3 2 3 2 1 lim n 3 2 n n n → n n + − +  − + ； (2) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n n→ + + − + − + ； (3) 1 1 2 lim 1 1 4 4 n n n →  + + +   + + + ； (4) lim ( 1 ) n n n n→ +  + +  . 7. 证明：若  an  ， bn  中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则   a b n n  是发 散数列；又问  a bn n  和 ( 0) n n n a b b        是否也是发散数列？为什么？ 8. 设 lim n n a a → = ，证明： (1) [ ] lim n n n a a → n = ； (2) 若 0, 0 n   a a ，则 lim 1 n n n a → = . 9. 求下列极限：

(1) √2 )cos n: (7) lim( (8)lim[(n+1)"-n"],00.x=√e+x,n=2,3, (3)xn=(c>0) l,2, 11.设 证明 (1)lmna4+a2+…+an=a:(又问,它的逆命题成立否?) 0 a a2 12.应用上题的结果证明下列各题: 第3页共11页

第 3 页 共 11 页 (1) 1 1 1 lim ( ) 1 2 ( 1) n→ n n + + +   + ； (2) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) ( 1) (2 ) n→ n n n + + + + ； (3) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) 1 2 n n n n n → + + + + + + ； (4) 2 1 3 2 1 lim ( ) 2 2 2n n n → − + + + ； (5) 1 lim (1 ) cos 2 n n n → − ； (6) lim n→ n   − ； (7) lim n n    → (     ) ； (8) lim [( 1) ] n n n n n → + − ，   0 1 a ； (9) lim n 2 n → n    −   ； (10) 1 1 lim 2 n n n → n   ( − )   ( ) ； (11) 1 lim n n n → ！ ； (12) lim ln n n n n → . 10. 利用单调有界原理，证明 lim n n x → 存在，并求出它： (1) 1 2 1 2 , 2 , 2, n x x x n − = = =  ； (2) 1 1 , , 2, n n x c x c x n − =   = + =  ； (3) n n c x n = （c > 0） ！ ； (4) 1 0 1 , 1 , 1, 1 n n n x x x n x − − =  = + =  + . 11. 设 lim n n a a → = ，证明： (1) 1 2 lim n n a a a a → n + + + = ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0 n  a ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 12. 应用上题的结果证明下列各题：

(1) lin 2) limNa=1(a>0); (3) lim/n=l Nn (5)m1+2++…+=1 (5)若lmm=a(bn>0),则 limi ba=a 13.(1)两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性? (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形 (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 14.利用 e,求下列极限 §2.函数的极限 1.用极限定义证明下列极限: 31 (2) lir x-1 (3) lim- (4)m(x-2)x-)=0 x→l 第4页共11页

第 4 页 共 11 页 (1) 1 1 3 lim n n → n   + + + +  =  ； (2) lim 1 ( 0) n n a a → =  ； (3) lim 1 n n n → = ； (4) 1 lim 0 n n n → = ！ ； (5) 1 lim n n n n  → +  +  + + =  ； (5) 若 1 lim ( ) n n n n b a b b + → =   ，则 lim n n n b a → = . 13. (1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2) 讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3) 讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 14. 利用 1 lim 1 n n e → n   + =     ，求下列极限： (1) 1 lim 1 n n→ n   −     ； (2) 1 lim 1 1 n n→ n   +     + ； (3) 1 lim 1 2 n n→ n   +     ； (4) 2 1 lim 1 n n→ n   +     . §2. 函数的极限 1. 用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 lim x 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 lim x 9 6 x → x − = − ； (3) 1 1 lim 2 1 x x x → − = − ； (4) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (5) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (6) 2 1 ( 1) 1 lim x 1 2 x x → x − = − ；

(9)1m+x=∞ (10)lim 2.证明:若imf(x)=A,则iml(x)=|4|,但反之不真 3.用极限的四则运算法则求下列极限: (1) lim x-0 x2-1 (2) lim x→12x2-x-1 +x-2 x2-8x+15 (n,m为正整数); (8)li 2 4.求下列极限: +√x 4)lim(√x2+1-x): x+√x+ 第5页共11页

第 5 页 共 11 页 (7) 2 3 lim x 9 x → x =  − ； (8) 1 lim 1 x 2 x → x − = + ； (9) 2 lim x 1 x x → x + =  + ； (10) 2 2 5 lim 1 x 1 x → x − = − . 2. 证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim | ( ) | | | x x f x A → = ，但反之不真. 3. 用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) lim x 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 1 lim x x x x → − ； (5) 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； (6) 2 2 3 5 6 lim x x x → x x − + −  +  ； (7) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）； (8) 4 1 2 3 lim 2 x x x → + − − 4. 求下列极限： (1) 2 2 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 5 7 lim 2 x x x x →+ − + ； (3) 2 lim ( 1 x x x →+ + − ) ； (4) 2 lim ( 1 x x x →− + − ) ； (5) 2 2 3 lim x x x → x + ； (6) 2 sin lim x 4 x x →+ x − ； (7) cos lim x x x →− x − ； (8) lim x 1 xxx →+ x + + +

5.设f(x)>0,证明:若lmf(x)=A,则im√(x)=,其中正整数n≥2 6.用变量替换求下列极限 (1)imx-]; (2) lim x" Inx(a>0) 求下列函数字所示点的左右极限: 0 x>1, (1)f(x)={1 在x 在x=0 f(x) (4)f(x)=--[- 在 是正整数 (5)f(x)={0 在 0. 8.利用重要极限求极限 tan 3x Sx- cOS 3x tan x-sin x arctan x 4x 第6页共11页

第 6 页 共 11 页 5. 设  f x( ) 0 ，证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim ( ) n n x x f x A → = ，其中正整数   n . 6. 用变量替换求下列极限： (1) 0 1 lim [ ] x x x → + ； (2) 0 lim ln ( 0) a x x x a → +  ； (3) ln lim 0 a x x a →+ x (  ) ； (4) 1 lim x x x →+ . 7. 求下列函数字所示点的左右极限： (1) 2 1, ( ) 1, 2 , 1, x f x x x x      =   =    +  在 x =1 ； (2) 2 1 sin , ( ) , x x f x x x x      =    +    在 x =0 ； (3) 2 | | 1 ( ) , 1 x f x x x = + 在 x =0 ； (4) 1 1 f x( ) [ ], x x = − 在 1 x = n ， n 是正整数； (5) 2 , ( ) 0, , 0, x x f x x x x       =   =   +   在  x = . 8. 利用重要极限求极限： (1) 0 sin 2 lim x x → x ； (2) 2 2 0 sin lim (sin ) x x → x ； (3) 0 tan 3 lim x sin 5 x → x ； (4) 3 0 2sin sin lim x x x → x −  ； (5) 2 0 cos 5 cos 3 lim x x x → x − ； (6) 3 0 tan sin lim x x x → x − ； (7) 0 arctan lim x x → x ； (8) 0 sin 4 lim 1 1 x x x → + − ；

(10) os(n arccos x) (n为奇数) (11) (m,n为整数) (15) lim [cos√n+1 (16) lim sin(√n2+1)(n为整数); (18)lim(1+nx)(n为整数) (19) lim(1+ tan x) (22) lim(sin x 9.设f(x)在(a+∞)上单调上升, lim x=+∞,若limf(xn)=A,求证: imf(x)=A(A可以为无穷) 10.证明imD(x)不存在,其中 1,x为有理数, D()10.,x为无理数 第7页共11页

第 7 页 共 11 页 (9) 2 0 1 cos lim 1 cos x x → x − − ； (10) 0 cos( arccos ) lim x n x n → x ( ) 为奇数 ； (11) 4 tan 1 lim 4 x x x →   − − ； (12) sin lim , x sin mx m n → nx （ 为整数） ； (13) 2 cos lim 2 x x x →   − ； (14) 1 lim sin x x →+ x ； (15) lim [cos cos ] x n n →+ +  − ； (16) 2 lim sin ( 1) x  n n →+ + ( ) 为整数 ； (17) lim x x x − →         － ； (18) 1 0 lim (1 ) x x nx n → + ( ) 为整数 ； (19) cot 0 lim (1 tan ) x x x → + ； (20) 1 0 1 lim ( ) 1 x x x x → + − ； (21) 3 2 2 1 lim ( ) 3 1 x x x x − →+ + − ； (22) tan 2 lim (sin ) x x x  → ； (23) 2 2 2 1 lim 1 x x x → x   −   −   ； (24) lim 1 n x n x →+ n   +     − . 9. 设 f x( ) 在 +  ( , ) a 上单调上升， lim n n x → = +  ， 若 lim ( ) n n f x A → = ，求证： lim ( ) x f x A →+ = （ A 可以为无穷）. 10. 证明 0 lim ( ) x x D x → 不存在，其中 1, ( ) , . x D x x  =    为有理数， 为无理数

11.用定义证明: (1)若mf(x)=+∞,!mg(x)=A,则imnU(x)+8(x)=+0 (2)若limf(x)=+∞,img(x)=4(>0),则lim[f(x)g(x)=+∞ 12.证明limf(x)=+∞的充要条件是:对任何数列xn→x(n→∞),有 f(xn)→A(n→∞) 证明 lim cos不存在 §3.连续函数 1.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f(x)=x+ (2)f(x)=-x 21 ()f(x)=cos (4)f(x)={x]+[-x] sInx (5)f(x)= (6 f(x)=sgn xI (7) f(x)=sgn(cos x) (8)f(x)= (9)f(x) x|≤1, x卜>1 (10)f(x) os, |xIs1 x-1|,|x卜1 SIn zx x为有理数 (11)f(x) x为无理数 x为有理数 (12)f(x) x为无理数 2.用定义证明下列函数在定义域内连续: 第8页共11页

第 8 页 共 11 页 11. 用定义证明： (1) 若 lim ( ) x a f x → = +  ， lim ( ) x a g x A → = ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x →  + = +  ； (2) 若 lim ( ) x a f x → = +  ， lim ( ) x a g x A → = (  ) ，则 lim ( ) ( )] x a f x g x →  = +  . 12. 证明 0 lim ( ) x x f x → + = +  的充要条件是：对任何数列 0 ( ) n → →  x x n ，有 ( ( ) n ) → →  f x A n . 证明 0 1 lim cos x→ x 不存在 . §3. 连续函数 1. 指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x x ( ) x = + ； (2) 2 ( ) (1 ) x f x x = + ； (3) 2 1 f x( ) cos x = ； (4) f x x x ( ) [ ] [ ] = + − ； (5) sin ( ) | | x f x x = ； (6) f x x ( ) sgn | =  ； (7) f x x ( ) sgn(cos ) = ； (8) ( ) ln f x x  = ； (9) , | | 1, ( ) 1 , | 1 x x f x x   =     ； (10) cos , | | 1, ( ) 2 1 , | 1 x x f x x x     =     −    ； (11) sin , , ( ) 0 , x x f x x   =   为有理数 为无理数； (12) , , ( ) , x x f x x x  =   − 为有理数 为无理数. 2. 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y x = ； (2) 1 y x = ；

(3)y=|x 3.设f(x)是连续函数,证明对任何c>0,函数 C,f(x)0),则l=0 求下列极限: 第9页共11页

第 9 页 共 11 页 (3) y x = | | ； (4) 1 y sin x = . 3. 设 f x( ) 是连续函数，证明对任何  c 0 ，函数 , ( ) , ( ) ( ), ( ) , , ( ) c f x c g x f x f x c c f x c  −  −  =        是连续的. 4. 若 f x( ) 在 0 x 点连续，那么   f x( ) 和 2 f x( ) 是否也在 0 x 点连续？反之如何？ 5. 当 = x 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 = x 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x  + − = + − ； (2) tan 2 ( ) x f x x = ； (3) 1 f x x ( ) sin sin x = ； (4) ( ) x f x x  = (+ ) . 6. 证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 7. 证明：设 f x( ) 为区间 ( , ) a b 上单调函数，若 0  ( ) x a b, 为 f x( ) 的间断点，则必是 f x( ) 的第一类间断点. 8. 若 f x( ) 和 g x( ) 都在 [ , ] a b 连续，试证明  max( ( ) ( )) f x g x 和  min( ( ) ( )) f x g x 都在 [ , ] a b 连续. 9. 研究复合函数 f g 和 g f 的连续性. 设 (1) 2 = = + f x x g x x ( ) sgn , ( ) 1 ； (2) 2 = = ( − f x x g x x x ( ) sgn , ( ) 1 ) . 10. 若函数 f x( ) 字 = x 0 点连续，而 g x( ) 在 = x 0 点不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否连续？又若 f x( ) 和 g x( ) 在 0 x 点都不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否必不连续？ 11. 设 f x( ) 在 +  [ , ) a 上连续，且    0 ( ) ( 0) f x x x ， 若 1  a 0 ， 1 ( ) ( 1, 2, ) n n a f a n + = = .求证： (1) lim n n a → 存在； (2) 设 lim n n a l → = ，则 = f l l ( ) ； (3) 如果将条件改为    0 ( ) ( 0) f x x x ，则 = l 0 . 12. 求下列极限： (1) 1 1 1 1 lim 2 x x x x x − + →   +     + ；

(2) lim(arctan x)cos (4) e cosx+s 1+x2+ln(1-x) §4.无穷小量和无穷大量的阶 当x→±时,以x为标准求下列无穷大量的阶 (2)4x2+6x4 (3) √+√x1 x3+1 (6) arctan 2.当x→0时,下列等式成立吗? 0(x (6)o(x)=O(x2) 3.当x→0时,以x为标准求下列无穷小量的阶: (1) sin 2 x (5)ln(1+x) 第10页共11页

第 10 页 共 11 页 (2) 1 lim arctan cos x x →+ x ( ) ； (3) 2 1 0 lim (cos ) x x x → ； (4) 2 0 cos 5 lim 1 ln(1 ) x x e x → x x + + + − . §4. 无穷小量和无穷大量的阶 1. 当 →  x 时，以 x 为标准求下列无穷大量的阶： (1) 2 6 x x + ； (2) 2 4 5 4x x x +  − ； (3) 2 3 1 x sin x ； (4) 1 1 | | + + x ； (5) 3 2 1 2 3 x x x + + − ； (6) 2 1 x arctan x . 2. 当 → x 0 时，下列等式成立吗？ (1) 2 = o x o x ( ) ( ) ； (2) 2 =  O x x ( ) ( ) ； (3) 2 3 = x o x o x ( ) ( ) ； (4) 2 ( ) ( ) o x o x x = ； (5) 2 ( ) ( ) ( ) o x o x o x = ； (6) 2 = o x O x ( ) ( ) . 3. 当 → x 0 时，以 x 为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin sin  −  x x ； (2) 1 (1 ) 1 x x − − + ； (3) 2 3 − | | x x ； (4) 1 tan 1 sin + − − x x ; (5) ln (1 ) + x ； (6) 2 3 5 4 x x − ；