山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十七章 含参变量的积分

第十七章含参变量的积分 1.求下列极限: (1)lim (2)lim/ dx (3)lim dx 1+x2+a 2.求F(x),其中: (1)F(x)=e (2)F(x) dy b+r sin(x (3)F(x)= f(t, sys 3.设f(x)为连续函数, F(x) f(x+5+ndn ps 求F(x) 4.研究函数 yf 的连续性,其中∫(x)是[0,1上连续且为正的函数 5.应用积分号下求导法求下列积分: (1)2In(a'-sin xyx(a>1) (2) In(l-2acos x+aXx(lak D) (3)In(a'sin'x+b2cos'xkdra,b+O) (4)S arctan(atan ax(lake) 第1页共2页

第 1 页 共 2 页 第十七章 含参变量的积分 1． 求下列极限： (1) 1 2 2 0 1 lim a x a dx → − +  ； (2) 2 2 0 0 lim cos a x ax dx →  ； (3) 1 2 2 0 lim 1 a a a dx x a + → + +  . 2． 求 ' F x( ) ，其中： (1) 2 2 ( ) x xy x F x e dy − =  ； (2) cos 2 1 sin ( ) x x y x F x e dy − =  ； (3) sin( ) ( ) b x a x xy F x dy y + + =  ； (4) 2 2 0 ( , ) x x t f t s ds dt         . 3． 设 f x( ) 为连续函数， 2 0 0 1 ( ) ( ) x x F x f x d d h       = + +       ， 求 '' F x( ). 4． 研究函数 1 2 2 0 ( ) ( ) yf x F y dx x y = +  的连续性，其中 f x( ) 是[0，1]上连续且为正的函数. 5． 应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2 2 2 0 ln( sin ) ( 1) a x dx a  −   ; (2) 2 0 ln(1 2 cos ) (| | 1) a x a dx a  − +   ； (3) 2 2 2 2 2 0 ln( sin cos ) ( , 0) a x b x dx a b  +   ； (4) 2 0 arctan( tan ) (| | 1) tan a x dx a x   

6.应用积分交换次序求下列积分: (1)lx(a>0b>0) dx(a>0,b>0) In 设∫为可微函数,试求下列函数的二阶导数: (1)F(x)=(x+y)f()ky ( 2)F(x)= f()lx-yky(a<b): 8.证明:∫at yd∫ (x2+y2)2 x2+y2) 9.设F(y)=「n√2+y,问是否成立 F(x)= e os cos(xsin eXe 求证F(x 1.设∫(x)为两次可微函数,q(x)为可微函数,证明函数 1 满足弦振动方程 a-u 及初始条件 l(x,O)=f(x)u1(x,0)=(x) 第2页共2页

第 2 页 共 2 页 6． 应用积分交换次序求下列积分： (1) 1 0 ( 0, 0) ln b a x x dx a b x −    ； (2) 1 0 1 sin ln ( 0, 0) ln b a x x dx a b x x   −        . 7． 设 f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0 ( ) ( ) ( ) x F x x y f y dy = +  ； (2) ( ) ( ) | | ( ) b a F x f y x y dy a b = −   ； 8． 证明： 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) x y x y dx dy dy dx x y x y − −  + +     . 9． 设 1 2 2 0 F y x y dx ( ) ln = +  ，问是否成立 1 ' 2 2 0 0 (0) ln | F x y dx y y =  = +   . 10． 设 2 cos 0 ( ) cos( sin ) x F x e x d   =    求证 F x( ) 2   . 11． 设 f x( ) 为两次可微函数， ( ) x 为可微函数，证明函数 1 1 ( , ) [ ( ) ( )] ( ) 2 2 x at x at u x t f x at f x at z dz a  + − = − + + +  满足弦振动方程 2 2 2 2 2 u u a t x   =   及初始条件 ( ,0) ( ), ( ,0) ( ) t u x f x u x x = =