《线性代数》第四章（4.1）向量组及其线性组合

§4.1向量组及其线性组合 向量的定义 向量、向量组与矩阵 三、线性组合,线性表示 四、等价向量组 ·五、向量组的秩与矩阵的秩

§4.1 向量组及其线性组合 • 一、向量的定义 • 二、向量、向量组与矩阵 • 三、线性组合，线性表示 • 四、等价向量组 • 五、向量组的秩与矩阵的秩 • 六、总结

庄一、向量的定义 庄1n维向量的概念 定义1n个有次序的数a,a2…,an所组成的数 组称为n维向量,这个数称为该向量的个分量, 第个数a称为第个分量 分量全为实数的向量称为实向量, 工工工 分量全为复数的向量称为复向量 上页

定义1 . , , , 1 2 第 个 数 称为第 个分量 组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量， 个有次序的数 所组成的数 i a i n n n n a a a i  n 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一、向量的定义 1、 n 维向量的概念

庄2、n维向量的表示方法 n维向量写成一行,称为行向量,也就是行 王矩阵,通常用a,b,a,等表示,如 a=(a1,a2,…,an) 牛m维向量写成一列,称为列向量,也就是列 工工工 矩阵,通常用ab,a,B等表示,如: 2 n 上页

( , , , ) 1 2 n T a = a a  a               = an a a a  2 1 2、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用   等表示，如： T T T T a ,b , , n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n n

注意 1.行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量; 2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算; 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量 上页

注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量

庄二向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(aj)n有n个m维列向量 12 a11a12 In A=∥a2 22∴|2j a2n amlllam2 n 向量组(,2,…,n称为矩阵4的列向量组 王页下

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. 二、向量、向量组与矩阵 a1 a2 a j an

类似地,矩阵4=(a)mn又有m个n维行向量 1112 aIn a1 m2122∴2n 2 4= ili2∴in ali T n 2 m 向量组a1,a T 9··· am 称为矩阵A的行向量组 上页

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 王成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…,am, 构成一个m×n矩阵 A=(a1,a2,,Om) m个n维行向量所组成 B T 的向量组B1,B2,Bm,B=/ c构成一个m×n矩阵 B 上页

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m  , , , , 1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2                = T m T T B     2 1 ( , , , ) A = 1  2   m

给定向量组A:a1,a2,…,cn和向量b,如果存在 组数λ1,2,…,n,使 b=1a1+2a2+…nam 王则向量b是向量组的线性组合,这时称向量b能 由向量组A线性表示 工工工 即线性方程组 x1C1+x2O2+…+xnm=b 有解 上页

b = 11 + 2 2 +   m  m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b      , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  +  + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示 ． b A

三、线性组合,线性表示 定义1给定向量组4:a1,a2,…,am对于任何一 组实数k1 19 k, 299m9 向量 k1a1+k2a2+…+knOm 称为向量组的一个线性组合,k1k2,…,k称为这 A个线性组合的系数 上页

组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义１     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合 三、线性组合，线性表示

定理1向量b能由向量组线性表示的充分必要 出条件是矩阵A=(an,an,…,am)秩等于矩阵 B=(a1,a2x…,am,b)的秩 四、等价向量组 庄定义2设有两个向量组 A:c1,02 ,an及B:B1,月2,…,B 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则 称向量组硝能由向量组饯性表示.若向量组A与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价

( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m         = = 定理1 定义２ . : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A     m B     s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A 四、等价向量组