《线性代数》第二章 矩阵及其运算习题课

第二章矩阵及其运算 习题课 仙主要内 x型例题 测验题 帮助四

转置矩阵 特 (反)对称矩阵 园阵行(列)矩 幂等矩阵 同型矩阵和相等矩啡 对合矩阵 民类昨单明川 正交矩阵 伴随矩阵 矩 对角矩阵 上(下)三角阵 矩阵想刃川 [方阵的幂 阵 L方的行列回 如的炬 其 阵目质 阵相

庄1矩阵的定义 由mXn个数an(i=12,…m;广=1,2,…m)排成m 行n列的数表 11121n 4= 2122 a2n aml am2 叫做m行n列矩阵简称m×n矩阵 上页

, . (1) ( 1,2, ; 1,2, ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 叫 做 行 列矩阵 简 称 矩 阵 行 列的数表 由 个 数 排 成 m n m n a a a a a a a a a A n m n a i m j n m m m mn n n ij              =  = =          １ 矩阵的定义

其中m×n个数叫做矩阵4的元素,an叫做矩 阵4的第行第例列元素 元素是实数的矩阵叫实矩阵 元素是复数的矩阵叫"矩阵 (1)式可简记为 A=(a;)或4=( xn m×n矩阵4也记作Amxn 上页

. . . , 元素是复数的矩阵叫做复矩阵 元素是实数的矩阵叫做实矩阵 阵 的 第 行 第 列元素 其 中 个数叫做矩阵 的元素 叫做矩 A i j m  n A aij . ( ) ( ), (1) m n A A A a A a m n ij m n ij    = = 矩 阵 也记作 或 式可简记为

2方阵列矩阵行矩阵 对(1)式当m=m时,A称为n阶方阵 1 只有一列的矩阵4=2叫做列矩阵 nt 只有一行的矩阵A=(aa2…an)叫做 行矩阵 上页

. ( ) ; 1 2 2 1 行矩阵 只有一行的矩阵 叫 做 只有一列的矩阵 叫做列矩阵 A a a a a a a A n m   =             = ２ 方阵 列矩阵 行矩阵 对(1)式,当m = n时, A称 为n阶方阵

庄3同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称 它们是同型矩阵 庄如果4=(a)与B=()是同型矩阵并且它 牛们的对应元素相等即 ag=b(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 工工 那么就称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B 上页

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵． , . ( 1,2, , ; 1,2, , ). , ( ) ( ) , A B A B a b i m j n A a B b ij ij ij ij = = = = = = 那么就称矩阵 与矩阵 相 等 记 作 们的对应元素相等即 如 果 与 是同型矩阵 并且它   ３ 同型矩阵和相等矩阵

庄4零矩阵单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵记作O 主对角线上的元素都是,其余元素都是零的 阶方阵叫做n阶单位阵简记作E 上页

４ 零矩阵 单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O. , , . 1, n阶方阵 叫 做n阶单位阵 简记作E 主对角线上的元素都是 其余元素都是零的

庄5矩阵相加 设4=(a)nn,B=(bn)为两个同型矩阵 矩阵加法定义为A+B=(az+b),A+B称为 qA与B的和 交换律A+B=B+A 工工工 结合律(A+B)+C=A+(B+C) 设A=(a),记-A=(-an),-A称为矩阵4的 c负矩阵从而有4+(-4)=O,并规定 A-B=A+(-B) 上页

. ( ) , ( ) , ( ) , 与 的 和 矩阵加法定义为 称 为 设 为两个同型矩阵 A B A B a b A B A a B b ij ij m n ij m n ij m n + = + + = =    交换律 结合律 ５ 矩阵相加 ( ). , ( ) , ( ), ( ), A B A B A A O A aij A aij A A − = + − + − = = − = − − 负矩阵 从而有 并规定 设 记 称为矩阵 的 A+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C)

6数乘矩阵 数九与矩阵A的乘积记作4或4,规定为 MA=A=(aj) 运算规律 ()4=(4); (+p)A=A+p4; (A+B)=4+AB. 上页

( ). , A A a A A A    ij    = = 数 与矩阵 的乘积记作 或 规定为 运算规律 ()A = (A); ( + )A = A+ A; (A+ B) = A+ B. ６ 数乘矩阵

生7矩阵相乘 设A=(a;灬,B=(bn),规定A与B的乘积 是-个mxn矩阵C=(cm)m,其中 ci=aibi +ab2; ++ ais b, =2aik bk =1 (i=1,2,…,m;j=1,2,…H), 记作C=AB 上页

. ( 1,2, , ; 1,2, ), ( ) , ( ) , ( ) , 1 1 1 2 2 C AB i m j n c a b a b a b a b m n C c A a B b A B s k ij i j i j is sj ik k j ij m n ij s n ij m s = = = = + + + =   = = = =    记 作 是一个 矩 阵 其 中 设 规 定 与 的乘积    ７ 矩阵相乘