《线性代数》第四章（4.3）向量组的秩

§4.3向量组的秩 最大无关线性组 矩阵与向量组秩的关系 ·三、向量组秩的重要结论 四、小结

§4.3向量组的秩 • 一、最大无关线性组 • 二、矩阵与向量组秩的关系 • 三、向量组秩的重要结论 • 四、小结

最大线性无关向量组 定义1设有向量组4,如果在中能选出个向量 ax1,a2,…,a,满足 )向量组4:a1,a2,…,a,线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果4中有 生+个向量的话)都线性相那末称向量组4是 向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大 无关组);最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组,规定 它的秩为 上页

，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r  , , , 1 2  定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 ,  ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组

王二、矩阵与向量组秩的关系 c定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩 向量组m1,a2,…,an的秩也记作R(a1,a2,…,am) 结论若D是矩阵A的一个最高阶非零子式,则D 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组,D 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组 说明(1最大无关组不唯一; (2)向量组与它的最大无关组是等价的 上页 圆

向量组a1 ,a2 ,  ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) 1 2 m R a a  a 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的. 二、矩阵与向量组秩的关系 . 它的行向量组的秩 定理１ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于

例1全体n维向量构成的向量组记作R",求R的 个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E 19c29 是线性无关的,又根据4定理3的结论(3)知R 中的任意n+1个向量都线性相关,因此向量组E 是R的一个最大无关组,且R秩等于n 上页

是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2  解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组

王推论设向量组是向量组的部分组,若向量 中组4线性无关,且向量组能由向量组4线性表示, 王则向量组4是向量组的一个最大无关组 证设向量组B含r个向量,则它的秩为r, 因4组能由B组线性表示,故4组的秩≤n 工工工 从而A组中任意+1个向量线性相关 所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的 条件 上页

证 设向量组B含r个向量，则它的秩为r, . 0 0 0 0 则向量组 是向量组 的一个最大无关组 组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 推 论 设向量组 是向量组 的部分组，若向量 A A A A A A A . 1 条件 所以向量组B满足定义 所规定的最大无关组的 因A组能由B组线性表示，故A组的秩  r， 从而A组中任意r + 1个向量线性相关

例9设齐次线性方程组 x1+2x2+x3-2x4=0 2x1+3x2-x4=0 x1-x2-5x3+7x=0 的全体解向量构成的『组为S,求S的秩 解:把系数矩阵4化成行最简形: 2 2 2)+2,(10-34 A=230-1 1-2 01 r3-r1 1-1-5 0-3-69 0000 x,=3x,-4. 得 x,=-2x,+3x 上页

, . 5 7 0 2 3 0 2 2 0 9 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 的全体解向量构成的向量组为 求 的 秩 例 设齐次线性方程组 S S x x x x x x x x x x x      − − + = + − = + + − =           − −           − − − − −           − − − − = − +  − − − 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 3 4 ~ 0 3 6 9 0 1 2 3 1 2 1 2 ~ 1 1 5 7 2 3 0 1 1 2 1 2 : : 3 2 1 2 2 2 1 3 1 3 2 ( 1) 2 r r r r r r r r r A 解 把系数矩阵A化成行最简形    = − + = − 2 3 4 1 3 4 2 3 3 4 x x x x x x 得

32 3 令自由未知数k=c1|+c20 0 把上式记作x=c1+c22知 s={=c5+c252,c2∈} R(S)=2 上页

  ( ) 2 , , , 1 0 3 4 0 1 2 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 2  = = = +  = +               − +               − = R S S x c c c c R x c c x c c   把上式记作   知 令自由未知数

中若向量组4:a,…,an构成矩阵A=(a1,a1,…an) 则前面的定理可叙述为 定理2向量组B1,B2,…,B,能由向量组ax1,a2,…,an 中线性表示对充要条件是 R(a1,a2,…,Cn)=R(a1,a2,…,an,B1,B2,…,B1) 工工工 上页

( , , , ) ( , , , , ) 2 , , , 2 : , , , ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m m l l m m m R R A A                      ， ， ， 线性表示对充要条件是 定 理 向量组 ， ， ， 能由向量组 则前面的定理 可叙述为 若向量组 构成矩阵        = =

、向量组秩的重要结论 庄定理2设向量组能由向量组线性表示,则向 量组B的秩不大于向量组A的秩 工工工 上页

. 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A 定理２ B A 三、向量组秩的重要结论

例2设矩阵 2-1-112 214 4-62 24 36-979 求矩阵4的列向量组的一个最大无关组,并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 上页

            − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不