南京理工大学：《概率与统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量

第二章随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 号二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 号条件分布 “多维随机变量函数的分布

第二章随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 条件分布 多维随机变量函数的分布

关于随机变量及向量的研究，是概率论的 中心内容.这是因为，对于一个随机试验，我 们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的 某个或某些量，而这些量就是随机变量。也可 以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现 象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数 学分析中的常量与变量的区分那样.变量概念 是高等数学有别于初等数学的基础概念.同样， 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一 个更高的理论体系，其基础概念是 随机变量

关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的 中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我 们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的 某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可 以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现 象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数 学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念 是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样， 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一 个更高的理论体系，其基础概念是 随机变量

2.1随机变量的概念 (p24)定义.设S={e}是试验的样本空 间，如果量X是定义在$上的一个单 A(e 值实值函数即对于每一个e∈S,有一 实数X=X(e)与之对应，则称X为随机 变量。 随机变量常用X、Y、Z或、 等表示。 随机变量的特点： 1X的全部可能取值是互斥且完备的 2X的部分可能取值描述随机事件

2.1随机变量的概念 (p24)定义. 设S={e}是试验的样本空 间，如果量X是定义在S上的一个单 值实值函数即对于每一个eS，有一 实数X=X(e)与之对应，则称X为随机 变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、 等表示。 随机变量的特点: 1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件

7 请举几个实际中随机变量的例子 EX.引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}

EX．引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}

随机变量的分类： 离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型)

        奇异型（混合型） 连续型 非离散型 离散型随机变量 随机变量的分类： 随机变量

2.2离散型随机变量 (P25)定义若随机变量X取值x1,X2,X,. 且取这些值的概率依次为P1,P2,P,.,则称 X为离散型随机变量，而称 P{X=X}=Pk,(k=1,2,.) 为X的分布律或概率分布。可表为 X~P{X=xk}=pk,(k=1,2,.), 或. X X1 X2 XK X~ Pk p2

2.2离散型随机变量 (P25)定义 若随机变量X取值x1 , x2 , ., xn , . 且取这些值的概率依次为p1 , p2 , ., pn , ., 则称 X为离散型随机变量，而称 P{X=xk }=pk , (k=1, 2, . ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk }=pk , (k=1, 2, . )， 或. X ~ X x1 x2 . xK . Pk p1 p2 . pk

2.分布律的性质 (1)pk≥0，k=1,2,.; (2) ∑P1. k> 例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。】 现从 中任取3只球（不放回），求抽得的白球数X为k的 概率。 解k可取值0,1,2 P{X==

(1) pk  0, k＝1, 2, . ; (2)  1 1. k pk ＝ { } . 3 5 3 2 3 C C C P X k k −k ＝ ＝ 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的 概率。 解 k可取值0，1，2 2. 分布律的性质

例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p,以X表示命中目标的次数，求X的分布律。 解：设A一第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2.A5,相互独立且 P(A)=p,i=1,2,.5.Sx={0,1,2,3,4,5} PX=0}=P(A1A2A3A4A5)=(1-p)5 P{X=1}=P{4A2A3A4A5UA1A2A3A4A5U.=5p(1-p)4 P{X=2}=P4142A3A4A5UA1A243A4A5U.=C3P2(1-P) P(X=k)=Cp(1-p) k=0,12,5

例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。 解：设Ai⎯第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1 ,A2,.A5,相互独立且 P(Ai )=p,i=1,2,.5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1-p)5 P{X = 0} = P(A1 A2 A3 A4 A5 ) = { 1} { 3 4 5 . P X = = P A1 A2 A3 A4 A5  A1A2 A A A  4 = 5p(1− p) { } (1 ) 0,1,.,5 5 = = 5 − = − P X k C p p k k k k P{X = 2} = P{A1 A2 A3 A4 A5  A1 A2A3 A4 A5 . = 2 2 3 5 C P (1− P)

“几个常用的离散型分布 (一)贝努里Bernoulli概型与二项分布 1.(0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 X服从(0-1)分布（两点分布） X~PX=k3=pk(1-p)1-k,(0<p<1)k=0,1 或 X Pk p 1-p

·几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk (1－p)1－k , (0<p<1) k＝0，1 或 X k p 1 0 p 1− p

2.(p27)定义设将试验独立重复进行n次，每次试 验中，事件A发生的概率均为p,则称这n次试验 为n重贝努里试验. (P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次 数，则称X服从参数为np的二项分布。 记作X~B(np) ,其分布律为： P{X=k}=Cp*(I-p)”-k,(k=0,1,n)

(P27)若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次 数，则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~B（n,p) ,其分布律为： 2.(p27)定义 设将试验独立重复进行n次，每次试 验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验 为n重贝努里试验. P{X k} p (1 p) ,(k 0,1,.,n) k n k k Cn = = − = −