《大学物理学》课程电子教案（PPT教学课件）第十九章 量子物理（19.8）三、一维势阱 势垒

19-8 维势阱势垒 (一)、一维无限深势阱中的粒子 质量为m的粒子只能在0a时,y(x)=0 (下一页)

19-8 三、 一维势阱 势垒 （一）、一维无限深势阱中的粒子 质量为m的粒子只能在 0 a 时， (x) = 0 （下一页）

求解定态薛定谔方程 h" ay=ey (osX<a 2m dx d y(x) 2mE 十 d x h2y(x)=0(0<X<a) 令k=√2mE/h2 dy( 代入薛定谔方程得: d2+k2y(x)=0 此方程的通解为: y(x)=Asin kx+ bcos kx 由于阱壁无限高,所以v(0)=0y(a)=0 Asin(0)+Bcos(0)=0(1) Asin (a)+ bcos(a)=0(2) (下一页)

求解定态薛定谔方程 (x) 0 (0 x a) 2mE dx d (x) 2 2 2 +  =     E (0 x a) dx d 2m 2 2 2 − =      令 2 k = 2mE  代入薛定谔方程得： k (x) 0 dx d (x) 2 2 2 +  =  此方程的通解为： (x) = Asinkx + Bcoskx 由于阱壁无限高，所以 (0) = 0 (a) = 0 Asin(0) + Bcos(0) = 0 (1) Asin(a) + Bcos(a) = 0 (2) （下一页）

Asin(0)+Bco(0)=0(1) Asin (a)+bcos(a)=0(2) 由式(1)得B=0波函数为:y(x)= A sin kx 由式(2)得 Asin ka=0于是 ka=n丌,k=n/a(n=1,2,3…) 即:k=2mE/h2=nz/a 由此得到粒子的能量E n h n2,n=1,2,3 2ma (下一页)

由式（1）得 B = 0 波函数为： Asin(0) + Bcos(0) = 0 (1) Asin(a) + Bcos(a) = 0 (2) (x) = Asinkx 由式（2）得 Asinka = 0 于是 ka = n , k = n a(n = 1, 2,3) k = mE = n a 2 即: 2  由此得到粒子的能量 En = )n , n = 1, 2, 3 2ma E ( 2 2 2 2 n   （下一页）

2 丌2h E n 9 1。2.3 2 m E称为本问题中能量E的本征值 势阱中的粒子其能量是量子化。 当n=1,粒子具有最低能量E1 ,=h2 h 称为基态能级 2ma 8ma En=n2E1m叫作量子数(主量子数) (下一页)

= )n , n = 1, 2, 3 2ma E ( 2 2 2 2 n   En 称为本问题中能量E 的本征值. 势阱中的粒子其能量是量子化。 当 n = 1, 粒子具有最低能量 E1 2 2 2 1 2ma E   = 1 2 En = n E n叫作量子数（主量子数） 2 称为基态能级 2 8ma h = （下一页）

E =4E=E4 势阱中粒子 能 级 n=3E=E n=2E=E n=1,E=E1 a (下一页)

E E 1 n = 1 , = o a x E 势阱中粒子 能级图 E E 2 n = 2 , = E E 3 n = 3 , = E E 4 n = 4 , = （下一页）

与En相对应的本征函数,即本问题的解为: n兀 y(x)=Asin(x)(0<X< a a 式中常数A可由归一化条件求得。 to ,(x)dx=Soa2sin' (x)dx=A2=1 a 得到A=√2/a 最后得到薛定谔方程的解为: n兀 vn(x)=1-si(x)(0<x<a) a a (下一页)

与 En 相对应的本征函数，即本问题的解为： 式中常数Ａ可由归一化条件求得。 最后得到薛定谔方程的解为： x) (0 x a) a n (x) Asin( n =     x)dx a n (x) dx A sin ( a 0 2 2 2 n  =  + −   1 2 a A 2 = = 得到 A = 2 a x) (0 x a) a n sin( a 2 (x) n =     （下一页）

h E 元 V,(x)=1=sin(x) 8ma a a h E2=4 8ma (x)s, sIn(—X a h 2.3兀 E,=9 v3(x)=1-sin("x) 8ma a a h E,=16 v4(x)=1=sin("x) 8ma a a (下一页)

2 2 1 8ma h E = x) a sin( a 2 (x) 1   = 2 2 2 8ma h E = 4 x) a 2 sin( a 2 (x) 2   = 2 2 3 8ma h E = 9 x) a 3 sin( a 2 (x) 3   = x) a 4 sin( a 2 (x) 4   = 2 2 4 8ma h E = 16 （下一页）

y(x) y(x)2 7=4 维粒 无 傩子 深 势阱中 的波函数 7=3 n=2 7=1 (下一页)0 C

一维无限深势阱中 =1 =2 =3 =4 x 粒子的波函数 0 nnnn a  ( x ) x 0 a 2  ( x ) （下一页）

例题:在阱宽为a的无限深势阱中,一个粒 子的状态为f(x)=sina-sim2a 多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率? 能量的平均值? 解:已知无限深势阱中粒子的 n兀 ①,(x) 2-a sinx,n=1,2,3, 兀 E 2ma n,n=1,2,3, (下一页)

例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒 子的状态为 多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的 （下一页）

则Y(x)=Cf(x) 兀y 2.2my SIn √2 2 多次测量能量(可能测到的值) E E,、n2h2 2ma ,12-2ma 概率各1/2 能量的平均值 丌2n2 E=E,+E2=22mlre (下一页)

则 多次测量能量(可能测到的值) 能量的平均值 概率各1/2 （下一页）