《大学物理学》课程电子教案（PPT教学课件）第十九章 量子物理（19.8）波函数 薛定谔方程

1933诺贝尔物理学奖 E.薛定误 量子力 的广泛发 展 <N5

1 E.薛定谔 量子力学 的 广泛发 展 1933诺贝尔物理学奖

19-8波函数薛定谔方程 波函数 单色平面简谐波波动方程为: y(x, t)=Acos 2r(it-x/n) =Acos2丌(x/元-v 用指数形式表示: y(x, t=Ae i2r(Ⅵ-x/ (下一页)

2 用指数形式表示： 19-8 波函数 薛定谔方程 cos 2 ( ) ( , ) cos 2 ( ) A x t y x t A t x       = − = − 2 ( ) ( , ) i  t x  y x t Ae− − = 单色平面简谐波波动方程为： 一、波函数 （下一页）

物质波用什么样的波函数描述? 个沿x轴正向运动,能量为E,动量为P的自由粒子对 应于沿x轴正向传播的单色平面物质波,其波函数为: 2丌 y(x,t)=AcoS(@t 利用尤拉公式:cosx+ i SIn x=e1 可将波函数写成复数形式:其中:i=√-1为虚数单位 2丌 2丌 y(x, t)=Aexpl-i(ot x)】k n 入 2丌 Aexpi(hr-ot) P E=ho k Aexp (px- etl (下一页) 14>

3 一个沿x轴正向运动，能量为E，动量为P的自由粒子对 应于沿x轴正向传播的单色平面物质波，其波函数为： ) 2 (x,t) Acos( t x    =  − 利用尤拉公式： i x x i x e − cos + sin = 可将波函数写成复数形式：其中： i = −1 为虚数单位。 ( )] i exp[ exp[i( )] )] 2 exp[-i( A px Et A kx t ( x,t ) A t x = − = −     =  −  = =   =   =    ,E k p h k , 2 2 物质波用什么样的波函数描述？ （下一页）

微观粒子具有波动性,其运动状态应该用 波函数来描写。 沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写, 其波函数为: y(x, t)=yoe i2丌(-x/x) 元=h/p V=E/ y(x,t=ve(k-四) (下一页)

4 沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写， 其波函数为： 2 ( ) 0 ( , )      i t x x t e − − =  = h p  = E h (Et px ) i 0 (x,t) e − − =    微观粒子具有波动性，其运动状态应该用 波函数来描写。 （下一页）

考虑到自由粒子沿F方向传播的三维情况, 波函数可写为: yu(r,t)=vne A(Et-p-r) 其中波函数模的平方为: =y·y (Et-p.r) (Et-p.r) Yoe Yoe (下一页)

5 其中波函数模的平方为：   =  2 (Et p r) i 0 (Et p r) i 0 e e       − −  + −  = • 2 = 0 (Et p r) i 0 (r,t) e     − −   = 波函数可写为： 考虑到自由粒子沿 r 方向传播的三维情况，  （下一页）

1954诺贝尔物理学奖 M.玻恩 对量子力学的 基础研究。特 别是量子力学 中波函数的統 计解释 (下一页) RDs

6 M.玻恩 对量子力学的 基础研究，特 别是量子力学 中波函数的统 计解释 1954诺贝尔物理学奖 （下一页）

玻恩的统计解释 1926年,德国物理学家玻恩(Born,1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释,认为波函数体现了发 现粒子的概率(几率),这是每个粒子在它所处环境 中所具有的性质。 在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波 的波函数平方v2成正比 如果V是复数,就用ψ↓代替V 体积dτ中发现一个粒子的几率为 do=yy dt 下-页)PP

7 二、玻恩的统计解释 1926年，德国物理学家玻恩（Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发 现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境 中所具有的性质。 在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波 的波函数平方  2 成正比。 如果 是复数，就用 代替 *     2 。 体积 d 中发现一个粒子的几率为： d  d * = （下一页）

由此,yy代表单位体积内发现一个粒子的 几率,因而称几率密度。这就是德布罗意波函数的 物理意义 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化,是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的,一般是v。它的含义是几率。 (下一页) 14>

8 由此 ， 代表单位体积内发现一个粒子的 几率，因而称几率密度。 *   这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化，是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ，一般是 。它的含义是几率。 2  （下一页）

对几率分布来说,重要的是相对几率分布。故V 和cv描述的相对几率分布是完全相同的。 经典波的波幅如增加一倍,则相应的波动能量 将为原来的四倍,代表了不同的波动状态 (下一页)

9 对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故 和 描述的相对几率分布是完全相同的。  c 经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。 （下一页）

粒子在体积元d=dyuz内出现的几率为: y'dt=v(x, y, z) dxdydz y(x, y, zy(x,y, z). dxdydz 粒子在t时刻,在(x,y,z)处单位体积出现 的几率,即几率密度为: y·V 这就是玻恩对波函数的统计解释。 (下一页) 14>

10 粒子在体积元 d = dxdydz 内出现的几率为： d (x,y,z) dxdydz 2 2   =  = (x,y,z) (x,y,z)dxdydz    的几率，即几率密度为： 粒子在 t 时刻，在 (x,y,z) 处单位体积出现   =  2 这就是玻恩对波函数的统计解释。 （下一页）