《结构化学基础》课程教学资源（PPT课件）第一章 量子力学基础 1.3 箱中粒子的Schrodinger方程及其解（推荐使用幻灯片放映）

复习上节课 s=n hv n=为整数。1hv,2hv,3hv 1900年Planck假定： 黑体中的原子分子辐射能量时作简谐振动，它只能发射或吸收频率为ⅴ，数 值为ε=hv的整数倍电磁能，n=为整数。1hv,2hv,3hv 结论：能量量子化

1900年Planck假定： 黑体中的原子分子辐射能量时作简谐振动，它只能发射或吸收频率为ν ，数 值为=hν的整数倍电磁能， n =为整数。 1hν，2hν，3hν = n hν n =为整数。 1hν，2hν，3hν 结论：能量量子化 复习上节课

Ax△px≥h 不确定关系或称不确定原理 适用于电子等微观粒子 不确定关系表明：对于微观粒子不能同 时用确定的位置和确定的动量来描述。 2

2 xpx  h 不确定关系表明：对于微观粒子不能同 时用确定的位置和确定的动量来描述。 不确定关系或称不确定原理 适用于电子等微观粒子

E=hv,p h/A de Broglie假设 微观实物粒子 如，电子、原子和分子等 都有 ①波动性（波性）和 ②微粒性（粒性）的两重性质 称为波粒二象性

E = h v , p = h /λ 称为波粒二象性。 de Broglie 假设 微观实物粒子 如，电子、原子和分子等 都有 ①波动性（波性）和 ②微粒性（粒性）的两重性质

复习上节课 假设3：若某一力学量A的算符[A]作用于某一 状态函数ψ后，等于某一常数a乘以ψ，即 [A]=aΨ 那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力 学量A具有确定的数值a, a称为力学量算符[A]的本征值， Ψ称为A的本征态或本征波函数， 上式称为A的本征方程

复习上节课 假设3：若某一力学量 A 的算符[A] 作用于某一 状态函数ψ后，等于某一常数 a 乘以ψ，即 [A]ψ= aψ 那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力 学量 A 具有确定的数值a， a 称为力学量算符 [A] 的本征值， ψ 称为A的本征态或本征波函数， 上式称为A的本征方程

[H]ψ=EΨ [-(h2/8π2m)V2+V]小Ψ=EΨ v2=(a2/ax2+∂2/ay2+a2/az2) V2称为Laplace算符（读作del平方 EΨ Schrodinger方程是决定体系能量算符的本征值和 本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程

[－(h2 /8π 2m)▽2 + V]ψ = Eψ [H]ψ = Eψ ▽2= (∂2/∂x 2+∂2/∂y 2 + ∂2/∂z 2 ) ▽2称为 Laplace算符（读作del平方 2 2 2 V E m       −  + =   Schrodinger方程是决定体系能量算符的本征值和 本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程

第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 v-Ev h2 2m 作者：Abliz Yimit 1

1 第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 作者：Abliz Yimit 2 2 2 V E m       −  + =  

第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 ①/=01y=0.四y=0 一维势箱中粒子是指： 一个质量为的粒子被置于箱 外势能无穷大、箱内势能为零 (即无限深)的箱中，沿方向 某运婪际问愿，例如金属内的自 ψΨ≠0 由电子或共轭分子的π电子等， ψ=0 Ψ=0 可以作为一种近似，采用势箱 中的粒子模型来处理 0 1 2

第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 一维势箱中粒子是指: 一个质量为m的粒子被置于箱 外势能无穷大、箱内势能为零 （即无限深）的箱中，沿x方向 运动. 可以作为一种近似，采用势箱 中的粒子模型来处理 某些实际问题，例如金属内的自 由电子或共轭分子的π电子等， ψ＝0 ψ＝0 ψ≠0 2

第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 0 0<x<l W=o■Iy=0y=o V(x)= x≤0或x≥1 该粒子在箱外永不出现，可以直接写出其零解：只 ψ≠0 有在箱内才需要建立Schr心dinger方程并求解： =0 Ψ=0 由于势箱内V=0,因此箱内的薛定谔方程为： 盆总Ew (其中h=知)》 其通解为： +c2 sin √2mE 3

第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 该粒子在箱外永不出现,可以直接写出其零解; 只 有在箱内才需要建立Schrödinger方程并求解: V(x)= 0  0  x  l x  0或x  l 由于势箱内V=0，因此箱内的薛定谔方程为： (x) E (x) dx d m −  2  =  2 2 2  ( ) 2 h 其中 = 其通解为： ψ＝0 ψ＝0 ψ≠0 3

第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x=0和x=1时，ψ=0 即x=0时w(0)=c1cos(0)+c2sin(0)=0 则：c1=0 cl X1+c2 X0=0 x=l时ΨI)=C2sin(8π2mE/h2)2I=0 C2不能为0 故必须是：(8π2mE/h2)2l=n元n=1,2,3,. n≠0 子12 812 Ψ(k)=c2sin(nπx/l）=(2n)2sin(nx/l） 归一化条件求： C2=(2L)2

第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 x = l 时 Ψ（l）= c2 sin (8π 2m E / h2 ) 1/2 l = 0 c2不能为 0 故必须是: (8π 2m E / h2 ) 1/2 l = n π n =1，2，3，. n≠ 0 ∴ Ψ（x）= c2 sin (n πx / l ）=(2/l )1/2 sin (n πx / l ） 归一化条件求： c2 =(2/l )1/2 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x = 0 和 x = l 时， ψ= 0 即 x = 0 时 ψ（0）= c1cos (0) + c2 sin (0)= 0 则：c1 = 0 c1 ×1+ c2 ×0= 0 4

第一章量子力学基础 1.3箱中粒子的Schrodinger方程及其解 然后用归一化法定出C2 bv"wix-1 2记 令 0 =c2-m2=5-0 2汇 四 =1 2 Sif 5

然后用归一化法定出 令 第一章量子力学基础 1.3 箱中粒子的 Schrodinger 方程及其解 5