北京航空航天大学：《材料力学》第五章 弯曲应力（蒋持平）

第九单元(2) 第五章弯曲应力 §5-2引言 以弯曲为主要变形的构件称为梁,如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研 究外力作用在同一平面,变形也在同一平面的梁。实际上,这也是最常见的情 况 三种静定梁 易属 固定铰 简支梁 可动铰(链杆) 固定端 悬臂梁 集中载荷分布载荷集中力偶 外伸梁 §5-2剪应弯矩方程与剪应力弯矩图 、剪力与弯矩 研究梁的内力,仍使用截面法,由取出段的平衡,可知除了存在剪力,还

第九单元(2) 第五章 弯曲应力 §5-2 引言 以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研 究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情 况。 三种静定梁 固定铰 简支梁 可动铰（链杆） 固定端 悬臂梁 集中载荷 分布载荷 集中力偶 外伸梁 §5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图 一、剪力与弯矩 研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还

存在弯矩 p ae M Q Q,M“+”符号: Q 使保留段顺时针转使保留段内凹 Q,M“-”符号 、剪力弯矩方程与剪力弯矩图 剪力、弯矩与坐标Ⅹ间的解析关系式,即 0=g) M=Mx 称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示

存在弯矩。 Q，M “+”符号： 使保留段顺时针转 使保留段内凹 Q，M “-”符号： 二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图 剪力、弯矩与坐标 X 间的解析关系式，即 Q = Q(x) M = M(x) 称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示

法,图示曲线称为剪力、弯矩图 例1 B 4a X> Q 十

法，图示曲线称为剪力、弯矩图。 例 1：

1.求支反力 ∑MB=0R 5P ∑MA=0 ∑M,=0校核(为保证正确,要求校核) 2.建立Q,M方程(截面法) AB段:Q1=R4 0<x1<4 M= R (0≤x1≤4a) BC段:Q2=P(0<x2<a Px2(0≤x2≤a) 也可以只建一个坐标系, BC段:Q2=P(4a<x1<5) M2=-P(5u-x)(4 3.画图 Q M图 例2:(分布截荷,注意力系简化条件) 1.支反力 4 8 R,=ga 2.Q,M方程 Q=RA ga-qx 0<

1.求支反力 M R P  B = 0 A = − 4 M R P  A = 0 B = 5 4  My = 0 校核(为保证正确, 要求校核) 2.建立 Q ，M 方程(截面法) AB 段： Q R ( ) P 1 A x1 a 4 = = − 0   4 M1 RA x1 Px1 ( x1 a) 1 4 = = − 0   4 BC 段： Q2 = P (0  x2  a) M2 = −Px2 (0  x2  a) 也可以只建一个坐标系， BC 段： Q2 = P (4a  x1  5a) M2 = −P(5a − x1) (4a  x1  5a) 3．画图 Q 图 M 图 例 2：(分布截荷，注意力系简化条件) 1.支反力 RA = qa RB = qa 4 3 8 3 2. Q ，M 方程 AB： Q1 RA qx1 qa qx1 ( x1 a) 4 3 = − = − 0   3

4 M,= R BC: O 0≤x2<a) 49a9 ARA B那R C 3a M Q ga 十 十 十 -ga2

M1 RA x1 qx1 qax qx ( x a) 2 1 1 2 1 1 2 4 3 1 2 = − = − 0   3 BC： Q2 = qx2 (0  x2  a)

M q 0≤x,≤a) 3.画Q,M图 第10单元 刚架:由刚性接头连接杆件所组成的结构。 正) 正 正)〕 ) 铰链:传力,不传力矩 刚性接头,传力又传力矩 刚架中N、Q,M可能同时存在 内力符号 N(拉正压负)Q(使研究对象顺时针转为正) M(不规定正负,画在受压一侧) 有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图,但对于上图的三竖杆刚架将 出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号,画在受压一侧。具体画时, 自行规定正向,但不标出正负号,如下图,左、右两观察者得出的弯矩正负号 不同,图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧,如孙训芳“材料力

M2 qx2 ( x a) 2 2 1 2 = − 0   3.画 Q ，M 图 第 10 单元 刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。 铰链：传力，不传力矩 刚性接头，传力又传力矩 刚架中 N 、Q ，M 可能同时存在 内力符号 N (拉正压负) Q (使研究对象顺时针转为正) M (不规定正负，画在受压一侧) 有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将 出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时， 自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号 不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力

学 左 〔在) 例 C 2 LIL M1

学”。 例：

M方程 AB: M (0≤x1≤a BC:M(x2)=-39a2 0≤x,≤a DC: M qax3 在没有集中力偶处,刚性接头两端弯矩相等,图在同一侧。 la ea ±a ga 例:平面曲杆:轴线为平面曲线,N、Q、M M:画在受压一侧(列Q、M方程时,采用曲线坐标,一般用极坐标) 直线段:M(x)=qx2-qa2(0<x≤a 圆弧段:M()=-qa2+q2sino0≤≤

M 方程 AB： M(x1 ) qx1 ( x a) 2 1 1 2 = − 0   BC： M(x2 ) qa ( x a) 2 2 1 2 = − 0   DC： M(x3 ) qax3 qa 1 2 2 = − 在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧。 例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N、Q、M M：画在受压一侧(列 Q、M 方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标) 直线段： M(x) = qx − qa (  x  a) 1 2 0 2 2 圆弧段： M() qa qa    = − +         1 2 0 2 2 2 sin

(1.可去掉右边一段,代之以反力和反力偶,2.弧坐标) M =ga Q c2a

(1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标)

例:(双杠的力学模型)支座设于何处,[門最大? X 分析:在载荷运动中,梁有两危险截面,即支座处和中点,最大弯矩随长 度X变化,规律相反。 “等强”,使两种危险情形的最大弯矩相等,实现最大弯矩为最小 1.P位于梁中点(弯矩用红线) P 1-2x P(/-2x 2.P位于梁端点 Mm= px 3.等强M max

例：(双杠的力学模型)支座设于何处， P 最大? 分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长 度 X 变化，规律相反。 “等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小 1.P 位于梁中点(弯矩用红线) ( ) M P l x P l x max =  − = − 2 2 2 2 4 2.P 位于梁端点 M = Px max 3.等强 Mmax = Mmax  ： ( ) P l x Px 4 − 2 = x l = 6