北京航空航天大学：《材料力学》第四章 扭转（蒋持平）

第七单元 第四章扭转 §4-1引言 受扭杆通常称为轴。 工程实例:方向盘轴、传动轴 (力学特征) 外力特征:力偶矩矢/杆轴 变形特征:各轴线仍直,各横截面绕轴作相对转动。 力偶矩矢表示的右手螺旋法则。 M 3M1

1 第七单元 第四章 扭转 §4-1 引言 受扭杆通常称为轴。 工程实例：方向盘轴、传动轴。 (力学特征) 外力特征：力偶矩矢//杆轴。 变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。 力偶矩矢表示的右手螺旋法则

2-M T 1.内力:扭矩T (矢量表示法与拉压杆轴力形式相同) 工程换算(p91):Np=M N为功率,单位:k,千瓦。:角速度(弧度/秒),n=转速(r/min,转/分)。 9549N M 2.内力计算:截面法 符号:力偶矩矢离开截面为正 设正法(未知扭矩假定为正向 (对比轴力的计算与符号规定) 3.扭矩图(内力的形象表示) §4-2圆轴扭转应力矩 我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性,扭矩可根据静力平衡方程 求出,但由于其截面各点扭转剪应力不相同,不能利用静力学方程(横截面各 点应力的合力等于内力)确定圆轴横截面扭转应力,要综合几何、物理和静力

2 1.内力：扭矩 T (矢量表示法与拉压杆轴力形式相同) 工程换算(p91)： Np = M N p 为功率，单位： kW ，千瓦。  ：角速度(弧度/秒)，n=转速(r/min,转/分)。 M ( ) N n N m p =  9549 2.内力计算：截面法 符号：力偶矩矢离开截面为正 设正法(未知扭矩假定为正向) (对比轴力的计算与符号规定) 3.扭矩图(内力的形象表示) §4-2 圆轴扭转应力矩 我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性，扭矩可根据静力平衡方程 求出，但由于其截面各点扭转剪应力不相同，不能利用静力学方程（横截面各 点应力的合力等于内力）确定圆轴横截面扭转应力，要综合几何、物理和静力

学三方面求解。) 扭转应力的一般公式, a 几何方面: 1.外部现象 (1)各圆周线形状不变,仅饶轴线作相对转动; (2)小变形时,各圆周线的大小与间距均不改变; (3)小变形时,纵线转动一角度。 可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成,相邻管变形协调。 2.内部变形假定 根据所观测外部现象,对内部变形作如下假设: (1)平面假设:横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面,其形状 和大小均不改变,半径仍为直线)

3 学三方面求解。） 一、 扭转应力的一般公式， 几何方面： 1．外部现象 （1）各圆周线形状不变，仅饶轴线作相对转动； （2）小变形时，各圆周线的大小与间距均不改变； （3）小变形时，纵线转动一角度。 可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。 2．内部变形假定 根据所观测外部现象，对内部变形作如下假设： （1）平面假设：横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面，其形状 和大小均不改变，半径仍为直线)

(2)各截面之间间距保持不变。 变形后,横截面保持平面,其形状、大小和间距不变,且半径为直线。显然, 根据本假定可知:圆轴纵向没有变形,因此,横截面没有正应力。横截面变形 为横截面间相对转动一角度,其变形为垂直半径剪切转动,即横截面内存在垂 直半径的剪切应变 3.数学描述:先取一圆片,再过轴线截二刀,得一楔形体。如图,此楔形 体变形可用二角度γ和d表示。纵向线偏转角y,两截面相对转角dq,根据 弧长=半径×圆心角 只% dd'= dx=ade (a) 物理方面: 由剪切胡克定律 I=Gr 将变形协调方程代入上式,(a)→(b) do =Gp dx p为横截面上任一点到轴线的距离,r为该点的剪应力。上式表明:扭转剪应 力随ρ线性变化(如图示)p=0的点,即原点处剪应力为0,轴边缘剪应力最大 半径为圆圈上剪应力相同:剪应力垂直半径。(G,《常数,了,沿半径线 性变化,τ。⊥半径)

4 （2）各截面之间间距保持不变。 变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然， 根据本假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形 为横截面间相对转动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂 直半径的剪切应变。 3．数学描述：先取一圆片，再过轴线截二刀，得一楔形体。如图,此楔形 体变形可用二角度 p  和 d 表示。纵向线偏转角  ，两截面相对转角 d ，根据 弧长=半径×圆心角 dd = rdx = d r d dx    = （a） 二、物理方面： 由剪切胡克定律  = G (b) 将变形协调方程代入上式， (a) → (b)     = G d dx (c)  为横截面上任一点到轴线的距离，   为该点的剪应力。上式表明：扭转剪应 力随  线性变化（如图示）  = 0 的点，即原点处剪应力为 0，轴边缘剪应力最大， 半径为  圆圈上剪应力相同；剪应力垂直半径。 ( G， d dx  常数，   沿半径线 性变化，  ⊥ 半径)

D 三、静力学方面 由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。 「 pt dA4=T 将物理方程代入上式,即将式(c)代入 G∫p2dA=T T dx Gl ∫P2d4极惯性矩 这是圆轴扭转变形的基本公式,代入式(c)

5 三、静力学方面 由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。  dA T A  = 将物理方程代入上式，即将式(c)代入 G d dx dA T A   2  = GI p T dx d =  I p =   dA 2 极惯性矩 (4-1) 这是圆轴扭转变形的基本公式，代入式(c)

式中,=2是一个纯几何量,称为截面的极惯性矩,由此式可以看出:是 与材料力学性能无关的几何性质参数,只与截面几何尺寸有关。教材294给出 d 了实心圆轴的即惯性知32’空心圆缺P34-d4应该指出的 是:采用空心圆轴能更充分地利用材料。 四、最大扭转剪应力 由式(4-2)可知,在p=R即圆截面边缘,剪应力最大。 TR max (4-3) 令=D(抗扭截面模量) T 五、极惯性矩的计算 §A-2,P294:熟记:12 32 16 D-d 、x D-d 16D 16 a=d/D 六、薄壁圆管的扭转剪应力 按空心圆轴可以得到薄壁的应力。由于管壁薄,可以认为扭转剪应力圆壁厚 均匀分布,因此可直接利用剪应力与扭矩间的静力学关系求解 假定:剪应力均布(因薄且对称)

6    = T I p (4-2) 式中  = A I p dA 2  是一个纯几何量，称为截面的极惯性矩，由此式可以看出： p I 是 与材料力学性能无关的几何性质参数，只与截面几何尺寸有关。教材 294 给出 了实心圆轴的即惯性矩 32 4 d I p  = ，空心圆轴 ( ) 4 4 32 I p D − d  = 。应该指出的 是：采用空心圆轴能更充分地利用材料。 四、最大扭转剪应力 由式(4-2)可知，在  =R 即圆截面边缘，剪应力最大。  max = = TR I T p I p R (4-3) 令 W I R p p = (抗扭截面模量) (4-4)  max = T Wp 五、极惯性矩的计算 §A-2，P294：熟记： I d W d p = p =   4 3 32 16 ( ) ( ) I D d D p = − = −    32 32 1 4 4 4 4 ( ) ( ) W D D d D p = − = −    16 16 1 4 4 3 4  = d D 六、薄壁圆管的扭转剪应力 按空心圆轴可以得到薄壁的应力。由于管壁薄，可以认为扭转剪应力圆壁厚 均匀分布，因此可直接利用剪应力与扭矩间的静力学关系求解。 假定：剪应力均布(因薄且对称)

rAT 精确分析表明:当r≤R。/o时,上式具有足够的精度,误差不超过4.53%,此时, 可以采用该式计算应力 由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立,故公式 (4-9)对于弹性、非弹性;大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。 练习题 1.画圆轴、圆管横截面剪应力分布图(示意) T 空心轴 薄壁管 组合轴(G2>G1) 平面假设成立 d 0≤p≤R1 dx y

7   = T 2 R t 0 2 (4-9) 精确分析表明：当 t  R0 10 时，上式具有足够的精度，误差不超过 4.53%，此时， 可以采用该式计算应力。 由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立，故公式 (4-9)对于弹性、非弹性；大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。 练习题： 1.画圆轴、圆管横截面剪应力分布图(示意) 空心轴 薄壁管 组合轴 (G2  G1 ) 平面假设成立     =    d dx 0 R1  = G

de 0≤p≤R2 d R2≤p≤R1 §4-3圆轴扭转强度 、纯剪状态斜截面上的剪应力 拉压杆斜截面上存在剪应力;纯剪(圆轴扭转),则在斜面上存在正应力。 低碳钢扭转沿横截面断裂,铸铁、粉笔沿45°螺旋面断裂 E=0 TodA- T coS. cosa+r sin adAsina=0 ∑ r sin 2a zcos∠C Ta=45° min a=-45° dA t

8  =                  G d dx R G d dx R R 2 2 1 2 1 0 §4-3 圆轴扭转强度 一、纯剪状态斜截面上的剪应力 拉压杆斜截面上存在剪应力；纯剪(圆轴扭转)，则在斜面上存在正应力。 低碳钢扭转沿横截面断裂，铸铁、粉笔沿 45 螺旋面断裂。 Ft = 0  dA− cosdA cos +  sindAsin = 0 Fn = 0         = − = sin cos 2 2  min =   = 45  max =   = −45

扭转失效与扭转极限应力 塑 扭转极限应力τ,= 脆性(实验测定) 、圆轴扭转强度条件 (材料扭转许用剪应力[叫等于扭转极限应力除以安全因数) c=45 1乙 (4-10) 圆轴强度条件 T (4-11) max 等截面杆 (4-12) 理论与实验研究表明,[z]与[]之间在一定关系: j05~057鹰 108-107,脆

9 二、扭转失效与扭转极限应力 扭转极限应力    u s b =    塑 脆性 （实验测定） 三、圆轴扭转强度条件 (材料扭转许用剪应力   等于扭转极限应力除以安全因数)    = u n (4-10) 圆轴强度条件  max   max =        T Wp (4-11) 等截面杆   T Wp max   (4-12) 理论与实验研究表明，   与   之间在一定关系：             = 脆 塑 0 8 1 07 t 0 5 0 577 . ~ . . ~

第八单元 §4-4圆轴扭转变形与刚度计算 圆轴的扭转变形公式 轴的变形,用横截面间相对角位移即扭转角φ表示 de dx GI 0=∫do= (4-17) 常扭等截面圆轴 薄壁圆管: (4-19) 2GTRot 、圆轴扭转刚度条件 (实际工程中,通常是限制角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角) 令日= dop T 那么 T 刚度条件 Gl max T 强度条件 (1)许用扭转角[]查设计标准或规范 单位换算:d=180 例:已知[z],[],尺寸,计算总扭转角,校核强度和刚度

10 第八单元 §4-4 圆轴扭转变形与刚度计算 一、圆轴的扭转变形公式 轴的变形，用横截面间相对角位移即扭转角  表示 d dx T GI p  =  =  d =  T GI dx L p l 0 (4-17) 常扭等截面圆轴  = Tl GI p (4-18) 薄壁圆管：   = Tl 2G R t 0 3 (4-19) 二、圆轴扭转刚度条件 (实际工程中，通常是限制角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角) 令   = = d dx T GI p ，那么   T GI p        max  刚度条件   T Wp        max  强度条件 (1)许用扭转角   查设计标准或规范 单位换算： rad mm m =   180 103  例：已知  ，  ，尺寸，计算总扭转角，校核强度和刚度