《电磁场与电磁波》课程教学资源（PPT课件）格林定理、泊松方程的积分公式、电介质的极化、极化强度、恒定电流空间的基本方程、边界条件

§3.6格特定理油松方程的积分公式 V●Ar= POnds 取矢量A=①Vq 常用手段 Φ、q任意 则:V·(①V)=V2q+VVq3.6.1 A·n=Vpon=① 3.6 an

§3.6 格林定理 泊松方程的积分公式 3.6.2 : ( ) 3.6.1 2 n A n n                         则       s Ad A ndS     Φ、 任意 常用手段  A    取矢量

带入散度定理可得格林第一定理 ①V+VΦ·V)dz=dbV dS3.6.3 对换重,o后,有: ∫(ov+voor=oS

dS n d  s              ( ) , , : 2 对换 后 有 带入散度定理可得格林第一定理 ( ) 3.6.3 2 dS n d  s             

相减得格林第二恒等式 Vo Vo (Vq-v)dz=中( )dS3.6.4 an an 使用例子(求泊松方程的通解) 在均匀无界空间,任意闭合面S在 S包围的τ内,待求r)满足: V2(r)=-p/0 取p=G(7,F)代入第二恒等式有: aG 08(7-F)+G(r,r)dr 为C∞ an

相减得格林第二恒等式: ( ) ( ) 3.6.4 2 2 dS n n d s                    使用例子 (求泊松方程的通解) 在均匀无界空间，任意闭合面S,在 S包围的内，待求f(r) 满足： 2f(r)   r/e0 ( , ), , : ' 取 G0 r r 代入第二恒等式 有     dS n G n G r r G r r d  s                         e r   0 0 ' 0 ' ( ) ( , )  

(7")=-G(r,r")p(r)dr +中/GC aG an an 互换r与r注意G(rr)=G(r,r),即得()表示 式(有界空间内的泊松方程的积分解通解 1 G O(r)Go(G 0(F)=-「 F,F)z+表面积分,当源仅近分布于 有限空间时,r→∞时恒为零 fIGV p()-p(vG].ds

dS n G n G r G r r r d s                   r  e   ( , ') ( ) 1 ( ') 0  互换r与r'注意G(r,r')= G(r' ,r)），即得f(r)表示 式（有界空间内的泊松方程的积分解通解） ( )  ( ') ( ')  ' ( ') , ' 1 ( ) ' ' 0 0 G r r G dS r r G r r d s                  r  e   表面积分，当源仅近分布于 有限空间时，r时恒为零

1当s→∞若p()分布在有限体积则 △JoG)G I p(dt 3.6.6 整个无界区 46o 间的e的 2若S内无源则p()=0,且p满足拉普 拉斯eq,V=0;这时 有界空间拉 0()=G(G,(F)ds 普拉斯的解 .p(rlvGo(,r).dS 3.6.7 只要知道S上V()及0)源的分布即可求得S内的场d(r) 由S外其它源产生(电位与电位梯 度)因为内部=0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.6.6 4 ' 1 ' , ' 1 1. S r' : 0          r  e r  e  r r r r d r r G r r d      当 若 分布在有限体积则 无界空间内 泊松eq的解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ') 3.6.7 , ' ' , 0; 2. , ' 0, 0 ' ' 0 2 r G r r dS r G r r r dS eq S r s s                          r  拉斯 这时 若 内无源 则 且 满足拉普 整个无界区 有界空间拉 普拉斯的解 只要知道Ｓ上'f(r') 及f(r') 源的分布即可求得S内的场f(r) 由S外其它源产生(电位与电位梯 度),因为内部=0

电场边值问题→利用边值条件求 泊松eq 拉普拉斯c 的解→偏微分方程法 边值分3类 1整个边界上的电位均知.狄利克莱边界 2整个边界上电位法向导数..诺伊曼边界 3混合边界 1.电位 导体变为:2.电量(导体内电荷为0) 3.混合

电场边值问题  利用边值条件求 的解 拉普拉斯 泊松    eq eq  偏微分方程法 边值分３类： ｌ整个边界上的电位均知… 狄利克莱边界 2 整个边界上电位法向导数…诺伊曼边界 3 混合边界 １. 电位 导体变为： 2 . 电量 (导体内电荷为0） 3 . 混合

松、拉普拉斯方程解的唯一性。(给 定电位时) A、导体情况:设导体电位给出体积内p→0 在格林第一定理中令平==0有: Covip+(vo kr=fo 00S S3.7.1 an 利用反证法:设有另一解 V2d()=0;则必有￠(r)=(m)-d()也为解 立氏方程为线性)代入式3.7.1,有: ∫(V")adτ=∮。p"o"nds 在边界上,==U(给定)∴￠"(r)=0 则∫(V)d=0V"=C=

 ( )  3.7.1 2 2 dS n d  s              A、导体情况：设导体电位给出体积内r0; 在格林第一定理中令=f=有： 利用反证法：设有另一解 ∫(f'') 2d  ∮sf''∂f''/∂ndS 在边界上，f  f' = U (给定) ∴f''(r)  0 则∫(f'') 2d  0  f'' = C  f  f' 2f'(r)  0; 则必有f''(r)f(r)f'(r) 也为解。 （∵拉氏方程为线性）代入式3.7.1,有：

唯一性(给定电量时) q=-980 s an 基本方法同前面推导,此时在边界上有: ds an a n 0(1- 0 an 0=0→ (Vp)2=0 an C 对于求解E唯一,混合边界可以用迭加

( ) ( ) c n dS q q n dS n dS n s s s                           '' ' 2 '' ' 1 0 ' 0 1 0 0 0 0    f    e  e  e dS n q s      e  0 基本方法同前面推导，此时在边界上有： 对于求解E唯一,混合边界可以用迭加. 

唯一性(泊松方程) 对于泊松cg设有q和p满足V2g=-p/n 9=-0/E0 1.g解唯 相减V2q=0 2边界上=0 边界上q≡0→V=0.g=q

0 2 ' 0 ' 2 / / ,  r e    r e    对于泊松 eq设有 和 满足   唯一性(泊松方程） '' '' ' '' '' 2 '' 0 0 2. 0 1. 0  f                   边界上 边界上 解唯一 相减

一到 唯一性定理告诉我们,给定边界条件场 解喔一解法变→形式变 但等价 只要能发现一个满足边界条件的解 (位函数)且该位函数满足拉氏 eq则它就是我们要求的解

. ( ) , 则它就是我们要求的解 位函数 且该位函数满足拉氏 只要能发现一个满足边界条件的解 但等价 解法变 形式变 解唯一 唯一性定理告诉我们 给定边界条件场 eq     