《现代控制理论》课程教学资源——参考资料_自动控制原理_7-2相平面法

自动空制原理课件

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※7.3 相平面法相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分为一阶或二阶的情况

※7．3 相平面法 相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先 提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。 相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系 统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹 的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部 分为一阶或二阶的情况。 2

7.3.1相平面法的基本概念设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述d-xdxdx dxl f(x,)=0a,(x,ao(x,xdi2dtdtdtdx令x=xj，, dx/dt=x2=X2业dx2 - f(xj,x2)f(xj,x2)dtdxiX2以x,为自变量，以x,为因变量的一阶微分方程。二阶系统常微分方程方程的解既可用x与的关系来表示，也可用x,与x,的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则x,(t)代表质点的位置，x,(t)代表质点的速度。3

7.3.1 相平面法的基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述： 令x = x1， dx/dt = x2 以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系 统常微分方程方程的解既可用x与t的关系来表示，也可 用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动 方程，则x1 (t)代表质点的位置，x2 (t)代表质点的速度。 3

x用x,、x,描述二阶系统常微(x,xo)分方程方程的解，也就是用质t点的状态来表示该质点的运动。3X0在物理学中，状态又称为相t2把由x,一x,所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一0个状态则对应于相平面上的一ti个点。专当变化时，系统状态在相t3t4平面上移动的轨迹称为相轨迹

用 x 1 、 x 2描述二阶系统常微 分方程方程的解，也就是用质 点的状态来表示该质点的运动。 在物理学中，状态又称为 相 。 把由 x 1 —x 2所组成的平面 坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一 个点。 当 t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹 。 x x 0 t 1 t2 t3 t4 x 0t t 1 t2 t4 t3 (x, x 0 ) 4

而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法7.3.2相平面图的绘制绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法，1. 解析法解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。另一种方法是先求出x和对的函数关系，然后消去t，从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明

绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。 7.3.2 相平面图的绘制 而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。 5

[例7-5]二阶线性系统当口=0时的微分方程式为&+ w?x = 0绘制相平面图。CA=&/w,+x?d&Wht解：&dx&对上式积分，便得相轨迹方程12Wn06

[例7-5] 二阶线性系统当￾ = 0时的微分方程式 为 对上式积分，便得相轨迹方程 绘制相平面图。 解： x x 0 x 0 t 6

2.图解法目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和口法。下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。设系统的微分方程式为d&_ f(x,)&dx式中dx口/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成=f(x,t)等倾线方程&

2. 图解法 目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和￾ 法。 下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线 近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意 一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这 点的相轨迹切线来近似。 设系统的微分方程式为 式中dx￾ /dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为 常数，则上式可改写成 -等倾线方程 7

f(x,)1&对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的点连成一线则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的α值，则可在相平面上画出相应的等倾线人

对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的 斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的点连成一线， 则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，则可在 相平面上画出相应的等倾线。 8

利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是(1）先求系统的等倾线方程；(2)根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图在等倾线上各点处作斜率为α的短直线，则构成相轨迹的切线方向场。(3)利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线

利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是： (1) 先求系统的等倾线方程； (2) 根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图； 在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，则构成相轨迹 的切线方向场。 (3) 利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条 件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等 倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾 线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点， 就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即 可绘出整个相轨迹曲线。 9

[例7-6]二阶线性系统的微分方程式为&+ 2zw,&+wx = 0试用等倾线法绘制其相轨迹。解：由微分方程式可得&= f(x,=-2zw,& w,x故等倾线方程为a = _ 2zw,& wix&2&wn或a +2zwx等倾线是过相平面原点的一些直线。当=0.5、，=101时的等倾线分布图：

[例7-6] 二阶线性系统的微分方程式为 试用等倾线法绘制其相轨迹。 故等倾线方程为 解：由微分方程式可得 或 等倾线是过相平面原点的一些直线。当￾ = 0.5、￾ n = 1时的等倾线分布图 : 10