《现代控制理论》课程教学资源——参考资料_自动控制原理_3-2稳定性和误差

3.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态则称为小范围稳定的系统。K

3.5 线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定的概念和线性系统稳定的充要条件 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏 差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度 恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的 系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初 始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复 到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态， 则称为小范围稳定的系统。 1

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对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。K

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范 围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定 而大范围不稳定的情况。 3

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动口（U)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入口（t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当 t→oo时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有lim g(t) = 0T?Y那么，线性系统是稳定的。KV

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系 统在初始扰动￾ (t)的影响下，其过渡过程随着时间的 推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之， 则为不稳定。 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性， 而与输入信号无关。 根据定义输入￾ (t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。 如果当 t→∞时， g(t)收敛到原来的平衡点，即有 那么，线性系统是稳定的。 4

不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为b..s" +bm..sm-I +L +bs+boM(s)mF(s) =D(s)n +an-sn-1 +L a,s+aoa.s"qg(t)=a A,e' Pit +a Bre*w' sin(wat+bt) (t3 0)A水线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。Kv

线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均 位于s左半平面（不包括虚轴）。 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道 系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可 判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量 很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面 的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。 不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为 5

3.5.2线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为D(s)=aos" +a,sn-1 +a,sn-2 +L +an-is+a, =a.O(s- s,)=0-2i-1式中，a>0,S,（i=1,2,口，n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立2"aay=S;aoHaHoanSaoNa,h1=(- 1)"S;aoi=1K

3.5.2 线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环 特征方程为 式中，a0 >0 , s i（i =1,2 , ￾ , n）是系统的n个闭环极点。 根据代数方程的基本理论，下列关系式成立： 6

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：a,a,>0(ij=l,2, ,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的：劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半平面上根的个数

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必 要条件为： ai aj > 0 ( i, j =1,2, ￾ , n) 即闭环特征方程各项同号且不缺项。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近 稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为 上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条 件。 1. 劳斯判据 系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为 正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都 要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等 于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。 7

dosha2aaish-1asash-2C1C2Ci- 2,j+1Ci- 2,1slCiiCi-1,1Ci-1,1Ci-1,j+1socn(an)n(i 3, j=1,2, )表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。KV

表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标 识作用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。 a0 a2 a4 . a1 a3 a5 . c 1 c2 c3 . ┋ . cn (an ) s n s n−1 s n−2 ┋ s 1 s 0 ( i ￾ 3, j = 1, 2, ￾ ) 8

劳斯刺据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表4S2R56S5So第一列元素符号改变了2次，：系统不稳定，且s右半平面有2个根。K

2. 劳斯判据的应用 （1）判断系统的稳定性 例3-5 设有下列特征方程D(s) = s 4 +2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解：劳斯表 第一列元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平 面有2个根。 s 4 s 3 s 2 s 1 s 0 1 3 5 2 4 ￾ 6 1 5 5 9

例3-6系统的特征方程为D(s) = s3 3s + 2 = 0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为S313第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余S202各项不为零，或不全为零。对sl8此情况，可作如下处理：So①用一个很小的正数来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。10KV

例3-6 系统的特征方程为 D(s) = s 3 ￾ 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为 第一种特殊情况：劳斯表中某 行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理： s 3 s 2 s 1 s 0 1 ￾ 3 0 2 ∞ ① 用一个很小的正数ε 来代替第一列为零的项，从而 使劳斯表继续下去。 ② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意 正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。 10