西安交通大学：《电磁器件及系统的分析》研究生课程教学资源（教案讲义）第二章 电磁器件分析方法（磁网络法）

2电磁器件分析方法一磁网络法2.1磁路基础磁场作为电磁器件实现机电能量转换的耦合介质，其强弱程度和分布状况不仅关系到电磁器件的参数和性能，还决定其体积和重量。然而大多数电磁器件的结构和形状比较复杂，并有铁磁材料和气隙并存，很难用麦克斯韦尔方程直接求解。因此，在实际工程中，常采用将求解域内的各个部分分别等效为一个磁导或者磁导和磁动势的支路，把抽象的磁场问题等效为磁路问题来求解的方法。依据电路磁路的相似性，解出各部分磁位，求得器件参数和性能。从工程观点来说，这种将复杂的磁场问题简化为磁路计算的方法，其准确度是足够的。2.1.1磁场的几个常用物理量1.磁感应强度B磁场是电流通入导体后产生的，表征磁场强弱及方向的物理量是磁感应强度B，它是一个失量。磁场中各点的磁感应可以用闭合的磁感应矢量线来表示，它与产生它的电流方向可以用右手螺旋定则来确定，如图1-1所示。国际单位制中，B的单位为T（特斯拉），IT=1Wb/m2.磁感应矢量线电流图2-1磁感应矢量线回转方向与电流方向的关系2.磁通Φ在均匀磁场中，磁感应强度B的大小与垂直于磁场方向面积A的乘积，为通过该面积的通量，简称磁通Φ（一般情况下，磁通量的定义为Φ=BdA）。由于B=Φ/A，B也称为磁通量密度，简称磁通密度。若用磁感应失量线来描述磁场，通过单位面积磁感应失量线的疏密反映了磁感应强度（磁通密度）的大小以及磁通量的多少。国际单位制中，Φ的单位

2 电磁器件分析方法—磁网络法 2.1 磁路基础 磁场作为电磁器件实现机电能量转换的耦合介质，其强弱程度和分布状况不仅关系到电 磁器件的参数和性能，还决定其体积和重量。然而大多数电磁器件的结构和形状比较复杂， 并有铁磁材料和气隙并存，很难用麦克斯韦尔方程直接求解。因此，在实际工程中，常采用 将求解域内的各个部分分别等效为一个磁导或者磁导和磁动势的支路，把抽象的磁场问题等 效为磁路问题来求解的方法。依据电路磁路的相似性，解出各部分磁位，求得器件参数和性 能。从工程观点来说，这种将复杂的磁场问题简化为磁路计算的方法，其准确度是足够的。 2.1.1 磁场的几个常用物理量 1. 磁感应强度 B 磁场是电流通入导体后产生的，表征磁场强弱及方向的物理量是磁感应强度 B，它是一 个矢量。磁场中各点的磁感应可以用闭合的磁感应矢量线来表示，它与产生它的电流方向可 以用右手螺旋定则来确定，如图 1-1 所示。国际单位制中，B 的单位为 T（特斯拉）， 2 1T 1Wb m = 。 磁感应矢量线 电流 图 2-1 磁感应矢量线回转方向与电流方向的关系 2. 磁通 Φ 在均匀磁场中，磁感应强度 B 的大小与垂直于磁场方向面积 A 的乘积，为通过该面积 的通量，简称磁通 Φ（一般情况下，磁通量的定义为  = B Ad  ）。由于 B A =  ，B 也称 为磁通量密度，简称磁通密度。若用磁感应矢量线来描述磁场，通过单位面积磁感应矢量线 的疏密反映了磁感应强度（磁通密度）的大小以及磁通量的多少。国际单位制中，Φ 的单位

为Wb（韦[伯])。3.磁场强度H磁场强度H是计算磁场时所引用的一个物理量，它也是一个矢量。它与磁感应强度B的商等于磁导率μ，u是用来表示物质磁导能力大小的量，即M=B(2.1)/H真空的磁导率为uo，国际单位制中=4元×10-7H/m，铁磁材料的磁导率μFe》μo。2.1.2磁路的概念如同把电流流过的路径称为电路一样，磁通所通过的路径称为磁路。不同的是磁通的路径可以是磁体，也可以是非磁体。图2-2所示为常见的磁路。主磁通漏磁通漏磁通T-图2-2变压器磁路在电机和变压器里，常把线圈套装在铁心上，当线圈内通有电流时，在线圈周围的空间（包括铁心内、外）就会形成磁场。由于铁心的导磁性能比空气要好得多，所以绝大部分磁通将在铁心内通过，这部分磁通称为主磁通，用来进行能量转换或传递。围绕载流线圈，在部分铁心和铁心周围的空间，还存在少量分散的磁通，这部分磁通称为漏磁通，漏磁通不参与能量转换或传递。主磁通和漏磁通所通过的路径分别构成主磁路和漏磁路。图2-2中示意地表示出了这两种磁路。2.1.3磁路的基本定律进行磁路分析和计算时，常用到以下几条定律。1.安培环路定律沿着任何一条闭合回线L，磁场强度H的线积分值,H·dI等于该闭合回线所包围的总电流值i（代数和），这就是安培环路定律，如图2-3所示。用公式表示，即f, H.dl-i(2.2)式中，若电流的正方向与闭合回线L的环行方向符合右手螺旋关系，i取正号，否则取

为 Wb（韦[伯]）。 3. 磁场强度 H 磁场强度 H 是计算磁场时所引用的一个物理量，它也是一个矢量。它与磁感应强度 B 的商等于磁导率 μ，μ 是用来表示物质磁导能力大小的量，即 B H  = (2.1) 真空的磁导率为 μ0，国际单位制中 7 0  4 10 H m − =  ，铁磁材料的磁导率   Fe 0 。 2.1.2 磁路的概念 如同把电流流过的路径称为电路一样，磁通所通过的路径称为磁路。不同的是磁通的路 径可以是磁体，也可以是非磁体。图 2-2 所示为常见的磁路。 漏磁通 漏磁通 主磁通 图 2-2 变压器磁路 在电机和变压器里，常把线圈套装在铁心上，当线圈内通有电流时，在线圈周围的空 间（包括铁心内、外）就会形成磁场。由于铁心的导磁性能比空气要好得多，所以绝大部分 磁通将在铁心内通过，这部分磁通称为主磁通，用来进行能量转换或传递。围绕载流线圈， 在部分铁心和铁心周围的空间，还存在少量分散的磁通，这部分磁通称为漏磁通，漏磁通不 参与能量转换或传递。主磁通和漏磁通所通过的路径分别构成主磁路和漏磁路。图 2-2 中 示意地表示出了这两种磁路。 2.1.3 磁路的基本定律 进行磁路分析和计算时，常用到以下几条定律。 1. 安培环路定律 沿着任何一条闭合回线 L，磁场强度 H 的线积分值 d L H l   等于该闭合回线所包围的 总电流值 i （代数和），这就是安培环路定律，如图 2-3 所示。用公式表示，即 d L  H l i  = (2.2) 式中，若电流的正方向与闭合回线 L 的环行方向符合右手螺旋关系，i 取正号，否则取

负号。例如，在图2-3中，i,取正号，和i,取负号，故有Φ,H·d/=-i+i-i。若沿着回线L，磁场强度H的大小处处相等（均匀磁场），且闭合回线所包围的总电流是由通有电流i的N匝线圈所提供，则式(2.2)可简写成HI=Ni(2.3)图2-3安培环路定律2.磁路的欧姆定律图2-4a所示是一个等截面无分支的铁心磁路，铁心上有励磁线圈N匝，线圈中通有电流；铁心截面积为A，磁路的平均长度为l，u为材料的磁导率。若不计漏磁通，并认为各截面上磁通密度均匀，且垂直于各截面，则磁通量将等于磁通密度乘以面积，即Φ=[BdA= BA(2.4)根据式(2.1)，式(2.4)可改写成如下形式；Ni=IBμ=@l/(uA)(2.5)或F=ΦRm=Φ/A(2.6)式中，F为作用在铁心磁路上的安匝数，称为磁路的磁动势，F-Ni，单位为A；Rm为磁路的磁阻，R，=1/(uA)，它取决于磁路的尺寸和磁路所用材料的磁导率，单位为H-1H-=1A/Wb；△为磁路的磁导，△=1/R㎡，它是磁阻的倒数，单位为H，1H=1Wb/A。a)磁路b)模拟电路图图2-4无分支铁心磁路

负号。例如，在图 2-3 中， 2 i 取正号， 1 i 和 3 i 取负号，故有 1 2 3 d L H l i i i  = − + −  。 若沿着回线 L，磁场强度 H 的大小处处相等（均匀磁场），且闭合回线所包围的总电流 是由通有电流 i 的 N 匝线圈所提供，则式(2.2)可简写成 Hl Ni = (2.3) H dl i1 i2 i3 L 图 2-3 安培环路定律 2. 磁路的欧姆定律 图 2-4a 所示是一个等截面无分支的铁心磁路，铁心上有励磁线圈 N 匝，线圈中通有电 流 i；铁心截面积为 A，磁路的平均长度为 l，μ 为材料的磁导率。若不计漏磁通，并认为各 截面上磁通密度均匀，且垂直于各截面，则磁通量将等于磁通密度乘以面积，即  = = B A BA d  (2.4) 根据式(2.1)，式(2.4)可改写成如下形式； Ni lB l A = =   ( ) (2.5) 或 F R =  =   m (2.6) 式中，F 为作用在铁心磁路上的安匝数，称为磁路的磁动势，F=Ni，单位为 A；Rm 为 磁路的磁阻， ( ) R l A m =  ，它取决于磁路的尺寸和磁路所用材料的磁导率，单位为 1 H − ， 1 1H 1A Wb − = ；  为磁路的磁导， 1  = R m ，它是磁阻的倒数，单位为 H，1H 1Wb A = 。 ii  AA  FF RRmm a) b) a) 磁路 b)模拟电路图 图 2-4 无分支铁心磁路

式(2.6)表明，作用在磁路上的磁动势F等于磁路内的磁通量Φ乘以磁阻Rm，此关系与电路中的欧姆定律在形式上十分相似，因此式(2.6)称为磁路的欧姆定律。图2-4b所示为相应的模拟电路图。【例2-1】有一闭合铁心磁路，铁心的截面积A=9×10-m2，磁路的平均长度1=0.3m，铁心的磁导率μFe=5000μ，套装在铁心上的励磁绕组为500匝。试求在铁心中产生IT的磁通密度时，需要多少励磁磁动势和励磁电流。解：用安培环路定律求解：1磁场强度H=B/0004×/m=159/m磁动势F=Hl=159×0.3A=47.7A47.7A=9.54×10~A励磁电流i=F/N=5003.磁路的基尔霍夫定律（1）磁路的基尔霍夫第一定律：如果铁心不是一个简单的回路，而是带有并联分支的磁路，如图2-5所示，当在中间铁心柱上加有磁动势F时，磁通的路径将如图中虚线所示。若令进入闭合面A的磁通为负，穿出闭合面的磁通为正，从图2-5可见，对闭合面A显然有Φ,+Φ, +Φ,=0(2.7)或Z=0(2.8)式(2.7)表明，穿出或进入任何一闭合面的总磁通恒等于零，这就是磁通连续性定律。比拟于电路中的基尔霍夫第一定律i=0，该定律亦称为磁路的基尔霍夫第一定律。1广图2-5磁路的基尔霍夫第一定律(2）磁路的基尔霍夫第二定律：电机和变压器的磁路总是由几段不同截面、不同铁磁材料的铁心组成，还可能含有气隙。磁路计算时，把整个磁路分成若干段，每段由同一材料构成，截面积相同且段内磁通密度处处相等。例如，图2-6所示磁路由三段组成，其中两段为截面不同的铁磁材料，第三段为气隙。若铁心上的励磁磁动势为Ni，根据安培环路定律和磁路欧姆定律可得

式(2.6)表明，作用在磁路上的磁动势 F 等于磁路内的磁通量 Φ 乘以磁阻 Rm，此关系与 电路中的欧姆定律在形式上十分相似，因此式(2.6)称为磁路的欧姆定律。图 2-4b 所示为相 应的模拟电路图。 【例 2-1】有一闭合铁心磁路，铁心的截面积 4 2 A 9 10 m− =  ，磁路的平均长度 l = 0.3m ， 铁心的磁导率 0 5000   Fe = ，套装在铁心上的励磁绕组为 500 匝。试求在铁心中产生 1T 的 磁通密度时，需要多少励磁磁动势和励磁电流。 解：用安培环路定律求解： 磁场强度 7 1 A m 159A m 5000 4 10 H B  Fe  − = = =   磁动势 F Hl = =  = 159 0.3A 47.7A 励磁电流 47.7 2 A 9.54 10 A 500 i F N − = = =  3. 磁路的基尔霍夫定律 (1) 磁路的基尔霍夫第一定律：如果铁心不是一个简单的回路，而是带有并联分支的磁 路，如图 2-5 所示，当在中间铁心柱上加有磁动势 F 时，磁通的路径将如图中虚线所示。 若令进入闭合面 A 的磁通为负，穿出闭合面的磁通为正，从图 2-5 可见，对闭合面 A 显然 有 1 2 3 − +  +  = 0 (2.7) 或  = 0 (2.8) 式(2.7)表明，穿出或进入任何一闭合面的总磁通恒等于零，这就是磁通连续性定律。比 拟于电路中的基尔霍夫第一定律 i = 0 ，该定律亦称为磁路的基尔霍夫第一定律。 AA 2 3 1 ii NN 图 2-5 磁路的基尔霍夫第一定律 (2) 磁路的基尔霍夫第二定律：电机和变压器的磁路总是由几段不同截面、不同铁磁材 料的铁心组成，还可能含有气隙。磁路计算时，把整个磁路分成若干段，每段由同一材料构 成，截面积相同且段内磁通密度处处相等。例如，图 2-6 所示磁路由三段组成，其中两段 为截面不同的铁磁材料，第三段为气隙。若铁心上的励磁磁动势为 Ni，根据安培环路定律 和磁路欧姆定律可得

Ni=Hl=H+Hl+Ho=@R+Φ,R+ΦRm(2.9)kal式中，11、h分别为1、2两段铁心的平均长度，其截面积各为A1、A2：为气隙长度：Hi、H2分别为1、2两段磁路内的磁场强度：Hs为气隙内的磁场强度；Φ1、2分别为1、2两段铁心内的磁通：@：为气隙内磁通；Rml、Rm2一分别为1、2两段铁心磁路的磁阻：Rm为气隙磁阻。图2-6磁路的基尔霍夫第二定律由于H是磁路单位长度上的磁位差，则Hlk是一段磁路上的磁位差，它也等于Φ,Rm，Ni是作用在磁路上的总磁动势，故式(2.9)表明：沿任何闭合磁路的总磁动势恒等于各段磁路磁位差的代数和。类比于电路中的基尔霍夫第二定律，该定律就称为磁路的基尔霍夫第二定律，此定律实际上是安培环路定律的另一种表达形式。电路和磁路两者之间的类比关系如表2-1所示。表2-1电路和磁路之间的类比关系单位变量磁路变量电路ε=[E-dlF={H-d]磁动势（MMF）安匝At电动势磁场强度H安培/米A/m电场强度E@磁通量韦伯Wb电流iF=OR.欧姆定律=iR磁路欧姆定律RmR磁阻欧姆Q电阻磁导P=1/ Rm亨H电导G=1/RB磁感应强度特斯拉T电流密度J磁导率a亨/米H/m电导率u表2-1中Rm与磁路的平均长度1成正比，与磁路的截面积A及构成磁路材料的磁导率儿成反比。需要注意的是，导电材料的电导率是常数，则电阻R为常数：而铁磁材料的磁导率u和磁阻R均不为常数，是随磁路中磁感应强度B的饱和程度大小而变化的。这种情况称为非线性，因此用磁阻R㎡对磁路定量计算时就不很方便，但一般用它定性说明磁路问题还是可以的。此外，必须指出，磁路和电流虽然具有形式的类比关系，但是二者的物理性质却是不同的，分析计算时也有以下几点差别：(1）电路中，在电动势的驱动下，存在着电荷在电路中流动，并因此引起电阻的发热

3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 k k m m m k Ni H l H l H l H R R R     = = = + + =  +  +   (2.9) 式中，l1、l2分别为 1、2 两段铁心的平均长度，其截面积各为 A1、A2；δ 为气隙长度； H1、H2分别为 1、2 两段磁路内的磁场强度；Hδ 为气隙内的磁场强度；Φ1、Φ2分别为 1、2 两段铁心内的磁通；Φδ 为气隙内磁通；Rm1、Rm2—分别为 1、2 两段铁心磁路的磁阻；Rmδ 为气隙磁阻。 NN ii AA11 HH11 AA2 2 HH22 l2 l2 l1 l1  1 2 图 2-6 磁路的基尔霍夫第二定律 由于 Hk是磁路单位长度上的磁位差，则 Hklk 是一段磁路上的磁位差，它也等于 ΦkRmk， Ni 是作用在磁路上的总磁动势，故式(2.9)表明：沿任何闭合磁路的总磁动势恒等于各段磁 路磁位差的代数和。类比于电路中的基尔霍夫第二定律，该定律就称为磁路的基尔霍夫第二 定律，此定律实际上是安培环路定律的另一种表达形式。 电路和磁路两者之间的类比关系如表 2-1所示。 表 2-1 电路和磁路之间的类比关系 磁路 变量 单位 电路 变量 磁动势（MMF） F H l = d  安匝 At 电动势  =  E l d  磁场强度 H 安培/米 A/m 电场强度 E 磁通量  韦伯 Wb 电流 i 磁路欧姆定律 F R =  m 欧姆定律  = iR 磁阻 Rm 欧姆 Ω 电阻 R 磁导 P=1/ Rm 亨 H 电导 G=1/R 磁感应强度 B 特斯拉 T 电流密度 J 磁导率 μ 亨/米 H/m 电导率 σ 表 2-1 中 Rm 与磁路的平均长度 l 成正比，与磁路的截面积 A 及构成磁路材料的磁导率 μ 成反比。需要注意的是，导电材料的电导率 σ 是常数，则电阻 R 为常数；而铁磁材料的磁 导率 μ 和磁阻 Rm 均不为常数，是随磁路中磁感应强度 B 的饱和程度大小而变化的。这种情 况称为非线性，因此用磁阻 Rm 对磁路定量计算时就不很方便，但一般用它定性说明磁路问 题还是可以的。 此外，必须指出，磁路和电流虽然具有形式的类比关系，但是二者的物理性质却是不同 的，分析计算时也有以下几点差别： (1) 电路中，在电动势的驱动下，存在着电荷在电路中流动，并因此引起电阻的发热

而磁路中磁通是伴随电流存在的，对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或能量在流动，因此不会在磁导体中产生损耗。即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通“流动”产生的。(2）电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，导线外没有电流。而在磁路中，没有磁“绝缘”材料，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来，并通过外部空气路径闭合。对于磁路中具有空气隙的磁路，或没有磁芯的空心线圈更是如此。（3）在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。而在磁路中，磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。铁磁材料磁导率非线性导致相同磁路长度，产生不同的磁压降。磁路的计算中，需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通，进行反复试探，作出系统的磁化曲线。（4）对于线性电路，计算时可以应用叠加原理，但对于铁心磁路，计算时不能应用叠加原理，因为铁心饱和时磁路为非线性。可见，磁路计算是近似的。为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。2.1.4常用的铁磁材料及其特性为了在一定的励磁磁动势作用下能激励较强的磁场，以使电磁器件的尺寸缩小、重量减轻、性能改善，须增加磁路的磁导率。当线圈的匝数和励磁电流相同时，铁心线圈激发的磁通量要比空气线圈大得多，所以电磁器件的铁心常用磁导率较高的铁磁材料制成。下面对常用的铁磁材料及其特性作简要说明。1.铁磁材料的磁化铁磁材料包括铁、镍、钻等以及它们的合金。将这些材料放入磁场中，磁场会显著增强。铁磁材料在外磁场中呈现出很强的磁性，此现象称为铁磁物质的磁化。铁磁物质能被磁化的原因是在它内部存在着许多很小的被称为磁畴的天然磁化区。在图1-7中，磁畴用一些小磁铁来示意表明。在没有外磁场的作用时，各个磁畴排列混乱，磁效应互相抵消，对外不显示磁性，见a）未磁化b）磁化图2-7a。在外磁场的作用下磁畴就顺外磁场方向而转向，排列整齐并显示出磁性来。这就是说铁磁物质被磁化了，见a）未磁化b）磁化图2-7b。由此形成的磁化磁场，叠加在外磁场上，使合成磁场大为加强。由于磁畴产生的磁化磁场比非铁磁物质在同一磁场强度下所激励的磁场强得多，所以铁磁材料的磁导率μFe要比非铁磁材料大得多。非铁磁材料的磁导率接近于真空的磁导率uo，电机中常用的铁磁材料磁导率μFe=（2000~6000）μoDa）未磁化b）磁化图2-7铁磁物质的磁化2.铁磁材料的分类

而磁路中磁通是伴随电流存在的，对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或能量在流动， 因此不会在磁导体中产生损耗。即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通‘流动’产 生的。 (2) 电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，导线外没有电流。而在磁路中，没有 磁“绝缘”材料，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发 散出来，并通过外部空气路径闭合。对于磁路中具有空气隙的磁路，或没有磁芯的空心线圈 更是如此。 (3) 在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。而在磁路中，磁路中磁导率是与 磁路中磁通密度有关的非线性参数。铁磁材料磁导率非线性导致相同磁路长度，产生不同的 磁压降。磁路的计算中，需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通，进行反复试探，作出系统的 磁化曲线。 (4) 对于线性电路，计算时可以应用叠加原理，但对于铁心磁路，计算时不能应用叠加 原理，因为铁心饱和时磁路为非线性。 可见，磁路计算是近似的。为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有 较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。 2.1.4 常用的铁磁材料及其特性 为了在一定的励磁磁动势作用下能激励较强的磁场，以使电磁器件的尺寸缩小、重量减 轻、性能改善，须增加磁路的磁导率。当线圈的匝数和励磁电流相同时，铁心线圈激发的磁 通量要比空气线圈大得多，所以电磁器件的铁心常用磁导率较高的铁磁材料制成。下面对常 用的铁磁材料及其特性作简要说明。 1. 铁磁材料的磁化 铁磁材料包括铁、镍、钴等以及它们的合金。将这些材料放入磁场中，磁场会显著增 强。铁磁材料在外磁场中呈现出很强的磁性，此现象称为铁磁物质的磁化。铁磁物质能被磁 化的原因是在它内部存在着许多很小的被称为磁畴的天然磁化区。在图 1-7 中，磁畴用一些 小磁铁来示意表明。在没有外磁场的作用时，各个磁畴排列混乱，磁效应互相抵消，对外不 显示磁性，见 a）未磁化 b）磁化 图 2-7a。在外磁场的作用下磁畴就顺外磁场方向而转向，排列整齐并显示出磁性来。 这就是说铁磁物质被磁化了，见 a）未磁化 b）磁化 图 2-7b。由此形成的磁化磁场，叠加在外磁场上，使合成磁场大为加强。由于磁畴产 生的磁化磁场比非铁磁物质在同一磁场强度下所激励的磁场强得多，所以铁磁材料的磁导率 μFe 要比非铁磁材料大得多。非铁磁材料的磁导率接近于真空的磁导率 μ0，电机中常用的铁 磁材料磁导率 μFe=（2000~6000）μ0。 a) a) bb) ) a）未磁化 b）磁化 图 2-7 铁磁物质的磁化 2. 铁磁材料的分类

按照磁滞回线的形状不同，铁磁材料可分为软磁材料和硬磁（永磁）材料两大类。（1）软磁材料磁滞回线较窄，剩磁B和矫顽力H.都小的材料，称为软磁材料，如图2-8a所示。常用的软磁材料有电工硅钢片、铸铁、铸钢等。软磁材料磁导率较高，可用来制造电机、变压器的铁心。磁路计算时，可以不考虑磁滞现象，用基本磁化曲线是可行的。2）硬磁材料磁滞回线较宽，剩磁B，和矫顽力H.都大的铁磁材料称为硬磁材料，如图2-8b所示。由于剩磁B大，可用以制成永久磁铁，因而硬磁材料亦称为永磁材料，如铝镍钻、铁氧体、稀土钴、钕铁硼等。BtBtHH0a）软磁材料b）硬磁材料图2-8软磁和硬磁材料的磁滞回线2.2磁路计算磁路计算所依据的基本原理是安培环路定律，其计算有两种类型，一类是给定磁通量，计算所需要的励磁磁动势，称为磁路计算的正问题；另一类是给定励磁磁动势，求磁路内的磁通量，称为磁路计算的逆问题。对于磁路计算的正问题，步骤如下：1.将磁路按材料性质和不同的截面尺寸分段。2.计算各段磁路的有效截面积Ak和平均长度lk。3.计算各段磁路的平均磁通密度Bk，Bk=Φ/Ak。4.根据B求出对应的磁场强度H，对铁磁材料，H可从基本磁化曲线上查出：对于空气隙，可直接用Hs=B/μo算出。5.计算各段磁路的磁位降Hilk，最后求得产生给定磁通量时所需的励磁磁动势F，F-ZHilk.对于逆问题，由于磁路是非线性的，常用试探法去求解。2.2.1无气隙磁路如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。同理，在磁路中两点之间有磁位差，在两点之间就可能产生磁通。图2-9a所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分布在磁芯上。这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布图。根据磁位分布图，可以了解磁场的分布，确定等效磁路

按照磁滞回线的形状不同，铁磁材料可分为软磁材料和硬磁（永磁）材料两大类。 (1) 软磁材料 磁滞回线较窄，剩磁 Br 和矫顽力 Hc 都小的材料，称为软磁材料，如图 2-8a 所示。常 用的软磁材料有电工硅钢片、铸铁、铸钢等。软磁材料磁导率较高，可用来制造电机、变压 器的铁心。磁路计算时，可以不考虑磁滞现象，用基本磁化曲线是可行的。 (2) 硬磁材料 磁滞回线较宽，剩磁 Br 和矫顽力 Hc 都大的铁磁材料称为硬磁材料，如图 2-8b 所示。 由于剩磁 Br大，可用以制成永久磁铁，因而硬磁材料亦称为永磁材料，如铝镍钴、铁氧体、 稀土钴、钕铁硼等。 BB OO HH aa)) BB OO HH bb) ) a）软磁材料 b）硬磁材料 图 2-8 软磁和硬磁材料的磁滞回线 2.2 磁路计算 磁路计算所依据的基本原理是安培环路定律，其计算有两种类型，一类是给定磁通量， 计算所需要的励磁磁动势，称为磁路计算的正问题；另一类是给定励磁磁动势，求磁路内的 磁通量，称为磁路计算的逆问题。 对于磁路计算的正问题，步骤如下： 1. 将磁路按材料性质和不同的截面尺寸分段。 2. 计算各段磁路的有效截面积 Ak和平均长度 lk。 3. 计算各段磁路的平均磁通密度 Bk，Bk=Φk/Ak。 4. 根据 Bk 求出对应的磁场强度 Hk，对铁磁材料，Hk 可从基本磁化曲线上查出；对于 空气隙，可直接用 Hδ=Bδ/μ0 算出。 5. 计算各段磁路的磁位降 Hklk，最后求得产生给定磁通量时所需的励磁磁动势 F， F H l = k k 。 对于逆问题，由于磁路是非线性的，常用试探法去求解。 2.2.1 无气隙磁路 如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。同理，在磁路中两点之 间有磁位差，在两点之间就可能产生磁通。图 2-9a 所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分 布在磁芯上。这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布 图。根据磁位分布图，可以了解磁场的分布，确定等效磁路

1均匀绕线环形磁芯首先在磁路的平均长度上选取一点（或一个截面)作为磁位的参考点（即x=0)，并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值，然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差U。根据磁路基尔霍夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到(2.10)F=U.+U式中F为0-→>x段磁路所匝链的线圈磁势，U为0->x段磁芯的磁阻压降。由于线圈均匀绕制，所以x段线圈匝数为N=NI，则x段磁势为，XN.F. :福(2.11)1FNolRmF-NI-?UexWU.O1HITOTxox=0(a)(b)(c)图2-9等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路磁芯中的磁场强度H=IN/，应有INHdx=U(2.12)X1O式中，IN为线圈总磁势：1为磁路平均长度。因此，沿磁路平均长度展开，F和Ue的分布情况如图dF-NIRm2-9(a)(b)(c)图2-9b所示。由图2-9b可见，Uα的分布和F完全相同。由式(2.10)得到x点与基准的磁位差U,=F-U.(2.13)也就是说，将图形F减去U图形，就得到U.分布情况。显然，U.处处为零。即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差，即等磁位。在环外不会有任何漏磁通，磁力线局限于导磁体内。根据式(2.3)和(2.5)，因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻画成集中元件。图2-9a的等效磁路如图2-9c所示。2．集中绕线的等截面环形磁芯若磁芯线圈集中绕在一边，如图2-10a所示。如果线圈长度为le，取其线圈中点为参考点。应用相似的方法，得到磁势Fx分布，从图2-10b可以看出，在x方向lw/2至1-l/2段，没有增加匝链磁势，故为一水平线。如果有漏磁通存在，磁芯各截面的磁通密度和Hx不再

1. 均匀绕线环形磁芯 首先在磁路的平均长度上选取一点(或一个截面)作为磁位的参考点(即 x=0)，并假定沿 磁芯中磁通的正方向 x 取正值，然后求磁路中某 x 点相对于参考点的磁位差 Ux。根据磁路 基尔霍夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到 F U U x cx x = + (2.10) 式中 Fx为 0→x 段磁路所匝链的线圈磁势，Ucx为 0→x 段磁芯的磁阻压降。 由于线圈均匀绕制，所以 x 段线圈匝数为 Nx=N/l，则 x 段磁势为， x xN F I l = (2.11) (a) (b) (c) 图 2-9 等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路 磁芯中的磁场强度 H=IN/l，应有 0 U d x cx IN H x x l = =  (2.12) 式中，IN 为线圈总磁势；l 为磁路平均长度。因此，沿磁路平均长度展开，Fx 和 Ucx 的分布情况如图 2-9 (a) (b) (c) 图 2-9b 所示。 由图 2-9b 可见，Ucx 的分布和 Fx完全相同。由式(2.10)得到 x 点与基准的磁位差 U F U x x cx = − (2.13) 也就是说，将图形 Fx减去 Ucx图形，就得到 Ux 分布情况。显然，Ux 处处为零。即等截 面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差，即等磁位。在环外不会有任何漏磁通，磁力线 局限于导磁体内。 根据式(2.3)和(2.5)，因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻 画成集中元件。图 2-9a 的等效磁路如图 2-9c 所示。 2. 集中绕线的等截面环形磁芯 若磁芯线圈集中绕在一边，如图 2-10a 所示。如果线圈长度为 lw，取其线圈中点为参考 点。应用相似的方法，得到磁势 Fx 分布，从图 2-10b 可以看出，在 x 方向 lw/2 至 l-lw/2 段， 没有增加匝链磁势，故为一水平线。如果有漏磁通存在，磁芯各截面的磁通密度和 Hx 不再

是常数，Ucx也就不能用式（2.12来计算。如果漏磁通的比例很小，假设Hx为常数，可以作出Uc分布图，如图2-10b所示。由上述两个图相减，就得到磁位差Ux分布图。由图可见，除对称轴(x=0和I/2)外，磁路中U都不等于零，因此有漏磁通Φ。分布于圆环周围空间，如图2-10c所示。由于对称，通过x=0和x-l/2的平面定义为零等磁位面。在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面，简称等位面。和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于等位面，终止在电流上（图2-3、图2-4和图2-10a）。lx/2FA个IN0等位面/Jert10/2IN1O241/2(a)(b)(c)图2-10等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路由图2-10a可见，在磁芯中x=0处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0处的磁通密度也就最大：而x-l/2处，磁通最小，磁通密度最低。在+h/2和-1/2之间磁位差最大，因此磁力线最密。尽管漏磁通是分布在整个区域的，但在画等效磁路时，可近似等效为漏磁通是在最大磁位差的地方（土l/2)流出的。因此有Φ=Φ+Φ(2.14)式中，Φ。为全部经过磁芯的磁通；Φ，是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。如果是电感线圈，Φ，是电感磁通的一部分，如果是变压器，Φ，可能是主磁通的一部分，其余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。等效磁路如图2-10c所示。图中R=lw/μA一l段磁阻，相当于总磁势的内阻；而RF(L-l)μA一l以外的磁芯磁阻。R为漏磁磁阻，由经验决定。3.有气隙时环形磁芯磁场图2-11a为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为8的磁芯线圈。线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分F=IN=HI+H.0(2.15)式中H和H分别为磁芯和气隙的磁场强度。虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导率低得多，所以气隙磁场强度Hs比磁芯磁场强度H。大得多。因此，Hs8占有总磁势的比例较大。仍然取线圈中心为参考。F，H1和Hso的分布图如图2-11b中实线所示，磁芯的磁势图为线性增加。如仍假设H。为常数，与没有气隙一样，U.不等于零，因此，也有漏磁通@s，所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大，所以漏磁通也大。当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面时，如图图2-11c所示，磁位分布图如图2-11b中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图2-11c看到，集中绕线比均匀分布绕线具有更大的漏磁。如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，漏磁也很小，如图2-11b中虚线

是常数，Ucx 也就不能用式(2.12)来计算。如果漏磁通的比例很小，假设 Hx 为常数，可以作 出 Ucx分布图，如图 2-10b 所示。由上述两个图相减，就得到磁位差 Ux 分布图。由图可见， 除对称轴(x=0 和 l/2)外，磁路中 Ux都不等于零，因此有漏磁通 Φσ分布于圆环周围空间，如 图 2-10c 所示。由于对称，通过 x=0 和 x=l/2 的平面定义为零等磁位面。在磁芯中存在若干 磁位相等的磁位面，简称等位面。和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于 等位面，终止在电流上（图 2-3、图 2-4 和图 2-10a）。 (a) (b) (c) 图 2-10 等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路 由图 2-10a 可见，在磁芯中 x=0 处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0 处的磁通 密度也就最大；而 x=l/2 处,磁通最小，磁通密度最低。在+lw/2 和-lw/2 之间磁位差最大，因 此磁力线最密。尽管漏磁通是分布在整个区域的，但在画等效磁路时，可近似等效为漏磁通 是在最大磁位差的地方(±lw/2)流出的。因此有  =  +  c s (2.14) 式中，Φc 为全部经过磁芯的磁通；Φs 是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。 如果是电感线圈，Φs 是电感磁通的一部分，如果是变压器，Φs 可能是主磁通的一部分，其 余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。 等效磁路如图 2-10c 所示。图中 Ri=lw/μA－lw段磁阻，相当于总磁势的内阻；而 Rl=(l￾lw)/μA－lk以外的磁芯磁阻。Rs 为漏磁磁阻，由经验决定。 3. 有气隙时环形磁芯磁场 图 2-11a 为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为的磁芯线圈。线圈磁势降落在磁芯和气 隙两部分 F IN H l H = = + c  (2.15) 式中 Hc和 H分别为磁芯和气隙的磁场强度。虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导 率低得多，所以气隙磁场强度 H比磁芯磁场强度 Hc 大得多。因此，H占有总磁势的比例 较大。 仍然取线圈中心为参考。F，Hcl 和 H的分布图如图 2-11b 中实线所示，磁芯的磁势图 为线性增加。如仍假设 Hc为常数，与没有气隙一样，Ux 不等于零，因此，也有漏磁通 Φs， 所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大，所以漏磁通也大。 当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面时，如图图 2-11c 所示，磁位 分布图如图 2-11b 中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图 2-11c 看到，集中 绕线比均匀分布绕线具有更大的漏磁。如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁 势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，漏磁也很小，如图 2-11b 中虚线

所示。(a)(b)(c)图2-11磁路中有气隙时磁位分布图2.2.2E型磁芯磁场和等效磁路E型磁芯是最常用的磁芯形状，其它形状如C型，ETD型，EC型，RM型等的等效磁路与E型相似。根据等截面原理，E型磁芯的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积，线圈一般绕在中柱上，如图2-12所示。E7FKCB图2-12E型磁芯尺寸图1.无气隙时等效磁路和磁位图半个E型磁芯尺寸如图2-12所示。中柱的截面积A=C×D(2.16)边柱截面积4. =(4-E)xC=4(2.17)22端部面积A,=FxC(2.18)将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯，如图2-13a所示。中柱上绕有激励线圈N。假设忽略漏磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平均路径如图中虚线所示。因此(2.19)l2=2B-F=l,EA-E(2.20)24因此各磁路段磁阻为R =(2.21)UA

所示。 (a) (b) (c) 图 2-11 磁路中有气隙时磁位分布图 2.2.2 E 型磁芯磁场和等效磁路 E 型磁芯是最常用的磁芯形状，其它形状如 C 型，ETD 型，EC 型，RM 型等的等效磁 路与 E 型相似。根据等截面原理，E 型磁芯的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积，线圈 一般绕在中柱上，如图 2-12 所示。 图 2-12 E 型磁芯尺寸图 1. 无气隙时等效磁路和磁位图 半个 E 型磁芯尺寸如图 2-12 所示。中柱的截面积 A1 = C  D (2.16) 边柱截面积 A A E C A 2 1 2 2 = −  = ( ) (2.17) 端部面积 A3 = F  C (2.18) 将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯，如图 2-13a 所示。中 柱上绕有激励线圈 N。假设忽略漏磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平 均路径如图中虚线所示。因此 l B F l 2 = 2 − = 1 (2.19) l E A E 3 2 4 = + − (2.20) 因此各磁路段磁阻为 1 1 1 l R A = (2.21)