组织教学研究与实践研讨：内蕴形式广义Stokes公式及其在几何形态为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用

2012年力学航空宇航科学与技术生物医学工程 复旦大学博士生学术论坛 暨上海市力学学会青年工作委员会学术活动 内蕴形式广义 Stokes公式及其在几何形态 为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用 谢锡麟史倩陈瑜 复旦大学力学与工程科学系 ·内蕴形式广义 Stokes公式 ·几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质之运动学(确定性结论) 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质之动力学(需经理论及实验检验)

2012年 力 学 航空宇航科学与技术 生物医学工程 复旦大学博士生学术论坛 暨 上海市力学学会青年工作委员会学术活动 内蕴形式广义Stokes公式 及其 在几何形态 为曲面的连续介质之有限变形理论中的应用 谢锡麟 史 倩 陈 瑜 复旦大学 力学与工程科学系 • 内蕴形式广义Stokes公式 • 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质 之 运动学（确定性结论） • 几何形态为 Euclid空间中一般曲面的连续介质 之 动力学（需经理论及实验检验）

曲面论基本内容:标架及其运动方程 →Cm(x21):RmD23x2=:|→X(x2) x v r-Curve 局部基 第一基本量: (x2)=|g1…gm(x2) g,(x=): =g,g ∈PSy 标架运动方程 第二基本量: (re=Th 8+b, n=Tikg+bn b(x)∈S g Or(xr)=-/*+b'n 特征问题:detb,(x2 (x)=-bg′=-b8 Gass曲率K会∏x;平均曲率H会∑λ

曲面论基本内容：标架及其运动方程       , : : i k k j ji k ji ji k ji i ik i j jk j i i j ji j i g x g b n g b n x g x g bn x n x b g bg x                                      标架运动方程         1 1 1 : , , : , det 0 m m m ij i j ij i m j ij ij i i ij ij m G i i g x g g g x PSym g bx x n bx Sy m x bx gx Gauss K H                                                                                         曲率  第一基本量： 第二基本量： ， 平均 特征问题： ； 曲率 1 m i i       1 : ,, D m x g g x              局部基

有限维 >xr-Curve 5(x,O):RD,3x1=:|→∑(x2)=x x 般曲面上的场论 中 Y x-Curve a-g axa axP axg p 8,0g(*), vo(x)=0 8,0g'ETP(TE ∑ ∑ VVΦ-bbΦ bΦ bΦ,)-bnrΦ,n⑧ b)+brΦ|g,⑧n +bbn)Φ,|n⑧ VaV,p-p,=RIg D +Rip ar, where Rp: =b bp-bmabp: V, bps=V,b 此处v, adp ∑ (x2,)+Φ-T④,Φ=(x2,1)8g(x2,1)

           2 2 = , = i j i jp q p pq ji ji i i t ti j i i t i j q p j q pt j qj p t i qi p j pi j pi qj t q j i j i jt t q p j p j p qj j q x g g x x g g TT xx xx bb b b g g b b b n g x b bb x                                                                                   jj i i pi q p qi j g n b b bb n n                 , : - = , ,, i i it si s s s q p j p q j tqp j j qp t tqp q tp tq p q ps p qs i i i s ii i j j l j ls j lj s j i l R R where R b b b b b b x t x tg g x t x                                                  ； 此处 ， 有限维 Euclid空间中 一般曲面上的场论

一般文献中的广义 Stokes公式 第一类广义 Stokes公式 o-Φdl=(n×V)。-Φdo,VΦ∈T"(R 式中: tk ax· n 间题:线积分仅要求张量场在曲面上有定义 而面积分“需要”张量场在全空间有定义, 由此需要证明:面积分的被积部分同张量场 第二类广义 Stokes公式 三维延拓的具体方式无关。 ×n)o-ddl =v--(vn)(n。-)-n-(n(Va)lda,v∈r"(R2) 式中:V=i +k x

一般文献中的广义Stokes公式     3 , p dl n d T i jk xyz                     式中： 第一类广义Stokes公式 问题：线积分仅要求张量场在曲面上有定义， 而面积分“需要”张量场在全空间有定义， 由此需要证明：面积分的被积部分同张量场 第二类广义Stokes公式 三维延拓的具体方式无关。            3 , p n dl nn n n d T i jk xyz                                      式中：

内蕴形式 CmE(x21):R”D23x=:→2(x,),m(x2 义 2(x,) 公 式 vx-Cume euclid空间基本性质:V=i arangO n 第一类内蕴形式广义 Stokes公式 中7-0d=∫(nxv)-d,此处曲面梯度算子、=8m+8 第二类内蕴形式广义 Stokes公式 p(rxn)-=vo-+Hno-do,此处H==V,n为平均曲率

1 2 123 1 1 1 1 23 Euclid iii g g n X XX x xx                      空间基本性质:   1 2 1 2 , Stokes Stoke , : : s dl n d n g dl Hn d H x n g x                                                          第一类内蕴形式广义 公式 第 此处曲面梯 二类内蕴形式广 度算子 此处 义 公式 为平均曲率 内蕴形式 （ intrinsic form）广义 Stokes公式

×n)o-①dl 用罗形 公 式 刚式以 =V。-①+Hno-Φdo 事例:表面张力公式 虫:(×n)=(xn)(d=J()+mn()dg=1pm p=r 事例:固定曲面上薄层流动质量守恒控制方程 fas pr(txm)do=J: (xm) (ov)do=S.(pr)+Hn(pr)do=o v (pV)+Hn(pv)=o(r>, t)v+pV,V

             0 ,0 t t t l s l s V nd n Vd V H V Hn V x t V V d V n x                                               事例：固定曲面上薄层流动 质量守恒控制方程  n dl  Hn d                         t   n dl p nd t        n I d I Hn I t t p H       d                               事例：表面张力公式 Stokes 内蕴形式广义 公式 应用事例

事例:钱伟长先生板和壳的内蕴弹性静力学理论 动量守恒 a: (xn)' t do=S v4+Hn tdo=f 5do=v1+Hn I=-SER ∑ 此处面应力张力:t=t1g8g+tn8g+ts8;n+tln③n ∑ ∑ ∑ g⑧g1+t3g,② x2-曲线 ∑ g , 88=Vtg+t,bin r81 axaxa t,n⑧g Ht g VIt;-Ht-b, ,3=-f g f3 (inon)=

  3 3 3 3 3 3 t t t ij i ji i i ji j i j j i l l f d t Hn t tg g tg n tg g tg n g t n td t tn g tn n H t t x   n d   f                                                             事例：钱伟长先生板和壳的内蕴弹性静力 动量守恒 此处面应 学理论 力张力：   3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 0 i j l j lj l j i j jl l i ij l l l l i ij i l l jj l j j j l l j ij j l jl l l j g g t g tbn g t g n tb g tn g t n g Ht g x t bt f Ht t bt tn n x x g f                                                                                             3 X 1 o X 2 X  n   n 1 x 曲线 1 g  2 x 曲线 2 g 

事例:钱伟长先生板和壳的内蕴弹性静力学理论(主控方程) 动量矩守恒 r×(z×n)·tdo= ∮2:-[(xn)(xr)]d :v(xr)+Hn(xr)do r×fd-|mda→ V·(txr)+Hn:(txr) Vt+Hn1|×r+g×t×g1=J×r-m ∑ gt×g1=m∈R x2-曲线 此处面应力张力:t=t18,⑧g+t388 x2-曲线 3lk. 此处 3lk- vase 3/k n 3

3 X 1 o X 2 X  n   n 1 x 曲线 1 g  2 x 曲线 2 g           t t t t t l l r nt d n tr d t r Hn r f d md t r Hn t r t Hn t r g t g tr d                                                                               事例：钱伟长先生板和壳的内蕴弹性静力学理论（主控 程） 矩守 方 动量 恒 3 3 3 3 3 3 3 3 , i ji j i l l l lk k lk lk l i j lj gt g m t m g e t f r m t tg g tg n m                                           此处面应力张 此 力： 处

初始物理构形V 几何形态为曲 曲面方程:2) 当前物理构形面的连续介质 Y* 曲面方程:2(x2, 之有限变形运 动的构形构造 曲面方程 刻画x2=x2(52,) E(r2, 1):RPDDEox. 初始参数构形V 当前参数构形x()x2(x)∈R x 变形梯度F。(5,1):(x21)8C(x)∈r()stmb÷Fah ∑ 质点速度会立会2( o(x2(52,1))+g(x2(1)) (52②((0)+述 a(x(5,)) 物质导数 a1)+(xg,(vo=∞()+((x2,)( at

    1 1 +1 +1 , : , , p p p p p x xt D x x X xt xt X X                                                ,, ,,     i V x t t xg x t t i t                                , ,, ,, , ,, s s s s t x tt x x tt tt x x t xg x t V x t t tt                                                                  2 3 , , s.t. i j j i o o x F t g x t G x T ab F a b                变形梯度   质点速度 物质导数 曲面方程 几何形态为曲 面的连续介质 之有限变形运 动的构形构造

曲面仿射量之基本性质(参照郭仲衡著《张量(理论和应用)》就仿射量讨论 「曲面仿射量=,gg′TSm1|= Span 8' a1 行列式定义 (a1·Φ)∧ (m①)/= det p-a1A…)、an,V{m1∈mM detΦ=detΦ.|=detΦ ∈Rmxm 特征多项式]dt(b-1)=(-)+1(-4)+…+1(-)+…+1m1(-)+ln=0 d 1=∑ Φh…Φ s det Φh……Φp 对称仿射量a=-008(-(Q()s(()=∑(a) 谱分解 heg[(=dag…,列,中=∑19Q 对称正定量 极分解∈PSm(TM),①=()()2→中=中(@)2(cc)

曲面仿射量之基本性质（参照郭仲衡著《张量（理论和应用）》就仿射量讨论） = i j j i g g         =1 =1 = p p i i i i T Span g Span g          曲面仿射量  行列式定义          1 1 1 1 : det , m m m i i m a a a a a TM a a                     det det det , , i j i j mm j i ji                            特征多项式          1 1 1 det 0 p p pr r pp     I I I II                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det det ! ! p p p p p p p p p p r r p p p p p p ii i i ii i i ii j ii j j j r jj i i jj i i i ip i ip ii i i ii i i I p p                                                                       =1 =1 1 =1 : ˆ ˆ , , , = p p s is js s s s p T p s is is s ij ei e j Qei Q e j es es where Q ij Q diag ij Q Q                         对称仿射量 谱分解           11 1 1 * * * ** * 22 2 2 PSym TM ,                       对称正定量 极分解