2014年第十五届全国分离流、旋涡和流动控制会议：可变形壁面上涡量动力学相关理论结果及应用 ——变形率、切应力、涡量法向梯度

第十五届全国分离流、旋涡和流动控制会议 2014年10月24-26日北京 可变形壁面上涡量动力学相关理论结果及应用 —变形率、切应力、涡量法向梯度 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟陈瑜

第十五届全国分离流、旋涡和流动控制会议 2014年10月24-26日 北京 可变形壁面上涡量动力学相关理论结果及应用 —— 变形率、切应力、涡量法向梯度 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 陈瑜

几身时化映 何诱间的照 X(5,n,5,)= t +h 5 同导变物观 力的化理点 学局的区 之部参域 间基数微 7 的展区分将 关开域同几 叶片间流动区域 参数区域 (边界始终固定) 系张‘胚何 旋转轴(边界可作有限变形运动) 量⌒至形 控几态 =0(51)g8g8g(x,1) 制基何不 参数区域 方于形规 x-曲线、8() =(x,1)g8g8g() 程曲态则 x"k曲线 g2(x2,1) 线规且 曲线 曲线 曲线 8.(=,n) 以坐则随 g,(xa x”-曲线 x2-曲线 期标且时物理区域 x∠曲线 建系不间 x2-曲线 立自随变 曲线坐标X=X(x,)

映 照 观 点 （ 1 ） 将 几 何 形 态 不 规 则 且 随 时 间 变 化 的 物 理 区 域 微 分 同 胚 至 几 何 形 态 规 则 且 不 随 时 间 变 化 的 参 数 区 域 ； （ 2 ） 基 于 曲 线 坐 标 系 自 身 诱 导 的 局 部 基 展 开 张 量 控 制 方 程 ， 以 期 建 立 几 何 同 力 学 之 间 的 关 系

X(x)DxR3(=→()=x1()+=(:8小+n(起小少 于 号m人 curve line 曲 面 X(rr,5 g2 x x-line 的 K-s 1 curve 维曲面梯度算子 正 VoΦg )op=g0(g,8g)( 交 系 Φ,g⊙g⑧g+Φ,bg⊙n⑧g+Φ,b!g^⊙g,⑧n 全空间梯度算子vs; V+n aX a(x25=0) Lei算]va(g,8g) g1∞g

基 于 曲 面 的 三 维 半 正 交 系                 1 1 2 2 1 2 1 2 3 X , : , , X , , , , , , , , , x x X x t D x t x t x t t X x t t x x t n x x t t X                                                   i  , 0,  X n x t                    ,  , k i j k j i i k j i k k j i j k k j i j ki j k i k g x t g g g x x t x g g g b g n g b g g n                                    k   i j i j j i k j C x i g g g g           曲面梯度算子 全空间梯度算子 Levi-Civita算子

三维不可压缩流动解决策略—边界条件处理 (基于 E Weinan方法以及本组关于曲面上二类梯度算子的相关理论) 基于曲面的半正交基{g1,82,m Helmholtz- Stokes分解: 定义:=vg1+yg2∈ VV=0 VV=O V=Vxv,满足 V×=Vn,BC|V×n=Vnar+H=0 按曲面切平面中的 helmholtz- Stokes分解ie2013) △s=V.b b=V5+V×(mn),此处 Vb∈T∑ △m=(V×b)·m y=V×(mn)其中△n=Vn (r×n)Vmd=/v.(vndo V. ndo

1 2 1 2     g g  T 基于曲面的半正交基g n 1 2 , g ,  · 0 · B.C. Helmholtz Stok V V n es              分解： ，满足 ， · 0;· · C C n V n             3 3 3 H 0 x       定义： 按曲面切平面中的Helmholtz-Stokes 分解(Xie 2013)      V n· C     n 其中 三维不可压缩流动解决策略 ——边界条件 处理 （基于 E.Weinan 方法 以及 本组关于曲面上二类梯度算子的相关理论）

固定壁面情形 可变形壁面上 变形率张量 「Casw公式适用 (吴介之理论 切平面 涡线 D (V③+VV) O×n 2 D=0-vpn8n+3(O×n)n+n8(O×n) 「Casw公式 ∑ +(F×n)8n+n8(Wxn)-n1nV,此处W=1V87,n,n 纯壁面变形影响 注:1.相关理论研究为复杂流场的数值研究提供了“自我检查”的理论依据。 2.从方法论而言,在揭示物理意义方面, Cartesian典则基是最简单的基,但 并非一定就是最合适的基

可变形壁面上 变形率张量 （吴介之理论） Caswell 公式 纯壁面变形影响 注：1. 相关理论研究为复杂流场的数值研究提供了“自我检查”的理论依据。 2. 从方法论而言，在揭示物理意义方面，Cartesian典则基是最简单的基，但 并非一定就是最合适的基。   1 : 2 D V V       Caswell 公式适用

流体对于可变形壁面的变形率张量(本组) D-D=-VWn②n+(0+W)×n⑧n+n⑧(1+W)×n 壁面的变形率张量(几何形态为曲面「纯壁面变形影响 的连续介质有限变形理论本组) ∑ W VV3+V·K×n,K=b.g1⑧ g g D ∞V+V⑧Ⅳ 单位正交基 ∥+We:=+W (心+W) 可变形壁面情形n)涡线 e1 +wI +w e-v. v WR 2 切平面 D()-D(=_+w O1+)×n Vv 6=0 +u 000000 0 数值 理论

数值 理论     1 1 2 2 D D V n n W n n n W n                                 1 : 2 D V V             流体对于可变形壁面的变形率张量（本组） 壁面的变形率张量（几何形态为曲面 的连续介质有限变形理论 本组） W : , : 3 i j V V K n K b g g ij                纯壁面变形影响 单位正交基

事几何形态为曲面的连续介质的 例|L连续性方程(厚度可变情形 Di-Di 囊泡 +V.V=0 0+w 6=0 运「几何形态为曲面的连续介质的 o,+w 动连续性方程(厚度不变情形) 000 0 V.=0 Claim不可压缩流体在不可压缩囊泡表面上的相对最大拉伸与压 事/6方向位于垂直于综合涡量的平面,且同法向量呈45夹角 例「不可压缩流动中做径向振动的 ∑ D D 球 球面 面0-.=- 2R(t/r 径 b=0 振 =2A 动W=0

0 d V dt         几何形态为曲面的连续介质的 连续性方程（厚度可变情形） V 0    几何形态为曲面的连续介质的 连续性方程（厚度不变情形） 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 D ij D ij W W                      Claim 不可压缩流体在不可压缩囊泡表面上的相对最大拉伸与压 缩方向位于垂直于综合涡量的平面，且同法向量呈45o夹角     1 = 2 0 V V d R t dt R t W                   3 3 0 2 2 0 2 0 0 0 0 0 D ij D ij R t R t                     不可压缩流动中做径向振动的 球面 事 例 囊 泡 运 动 事 例 球 面 径 向 振 动

可变形壁面上涡量法向梯度/边界涡量流BVF(本组) ∑ ∑ n2=nx(x)nv+nxv【×n)8n+川V(mn+H(Om)m 吴介之等刚性壁面情形 「壁面变形的影响 (纯几何效应) z×n)o3dl=Vm3+H C Claim当法向涡量(完全由壁面运 动决定)相对于壁面上任意封闭曲 ×n 线的通量为零,则壁面变形对边界 涡量流(BVF)无显式的影响

可变形壁面上涡量法向梯度/边界涡量流 BVF（本组） n a n n n n n H n n         n                                                    吴介之等刚性壁面情形 壁面变形的影响 （纯几何效应） Claim 当法向涡量（完全由壁面运 动决定）相对于壁面上任意封闭曲 线的通量为零，则壁面变形对边界 涡量流（BVF）无显式的影响

可变形边界上边界法向涡量梯度/边界涡量流BⅴF(本组) nx(a)-n×v+|Vo3+0K|+ do on z 切平面上分量 「法向分量 BVF法向分量:流向涡产生机制=3 V·+Ho3 ∑ τ×n)·Od V·Odo Claim切平面上涡量流入,产 生正的边界涡量流法向分量; 切平面上涡量流出,产生负的 ×n 边界涡量流法向分量

可变形边界上边界法向涡量梯度/边界涡量流 BVF（本组）   3 3 3 n a n K n x                                       切平面上分量 法向分量 3 3 3 H x            BVF 法向分量：流向涡产生机制 Claim 切平面上涡量流入，产 生正的边界涡量流法向分量； 切平面上涡量流出，产生负的 边界涡量流法向分量     n dl d           

m×VⅡ壁面上胀压梯度导致 壁面上涡量 切平面 V∏ n×V∏/ⅴI BⅤF剪切分量:平行于切平面的涡的产生机制 ×(a),e VI+Vo3+o·K, R 壁面变形的影响 胀压量 壁面变形(纯几何)及 (纯几何效应) 贡献 曲率(流固耦合)影响 (纯三维效应) Clain二维流动情形,边界涡量流剪切分量完全由壁面自身运动决定

3 e n :                3     3 3 3 3 , , , e n a e K e n                          壁面变形（纯几何）及 曲率（流固耦合）影响 （纯三维效应） 壁面变形的影响 （纯几何效应） 胀压量 贡献 BVF 剪切分量：平行于切平面的涡的产生机制 Claim 二维流动情形，边界涡量流剪切分量完全由壁面自身运动决定