组织教学研究与实践研讨—2011年03月—理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会—专题报告 谢锡麟

“微积分中微分同胚→一般曲线坐标系下张量分析 →有限变形理论→涡量与涡动力学” 教学路径研究与实践阶段性体会 复旦大学力学与工程科学系谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn 2011年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会 2011年3月2526日 (1)特殊→一般 (2)正本清源、格物致知 (3)学习、研究与教学相融合

“ 微积分中微分同胚 微积分中微分同胚 → 一般曲线坐标系下张量分析 一般曲线坐标系下张量分析 → 有限变形理论 → 涡量与涡动力学 涡量与涡动力学 ” 教学路径 研究与实践 阶段性体会 复旦大学 力学与工程科学系 谢锡麟 xiexilin@fudan.edu.cn xiexilin@fudan.edu.cn 2011年 理论与应用力学专业教育教学 复旦大学研讨会 2011年3月25-26日 （1）特殊 → 一般 （2）正本清源、格物致知 （3）学习、研究与教学相融合

05年春高莓敷学Ⅱ 05暑期 05年秋 高等数学I张量分析与微分几何基础 06年春 高等数学Ⅱ 06暑期 06年秋商等教学Ⅰ张置分与徽分几何基璃 07年春高等学Ⅱ「张量分析与徽分几何基础 07暑期 经典力学数学名著选讲(数学分析深化) 07年秋 数学分析I张量分析与微分几何基础、应用实变函教与泛函分析基础 08年春 数学分析Ⅱ张量分析与徽分几何基础 08暑期 经典力学数学名着选讲(数学分析深化) 08年秋敷学分析张量分析与微分几何基础、应用实变函数与泛函分析基础 09年春数学分析Ⅱ张量分析与微分几何基础、潺量与溝动力学基璃 09弄期 经典力学敷学名着选讲(敷学分折派化) 09年秋数学分析工」张量分析与微分几何蒌磯、连续介质力学基础 匚1年教学分析Ⅱ连续介质力学基础,应用实变函教与泛函分析基嘯 10暑期 经典力学教学名选讲(教学分析深化) 10年秋学分折I张量分祈与微分几何基璃 11年春 数学分析Ⅱ涡量与满动力学基础、应用实变函数与泛函分析基础 微积分一流化进程: 数学分析+经典力学名著选讲+流形上的微积分;应用实变函数与泛函分析基础(本研) 基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践 张量分析与微分几何基础+连续介质力学基础+涡量与涡动力学基础(本研)

05 年秋 高等数学Ⅰ 张量分析与微分几何基础 06 年秋 高等数学Ⅰ 张量分析与微分几何基础 10 暑期 经典力学数学名著选讲（数学分析深化） 10 年秋 数学分析Ⅰ 张量分析与微分几何基础 11 年春 数学分析Ⅱ 涡量与涡动力学基础、应用实变函数与泛函分析基础 09 暑期 经典力学数学名著选讲（数学分析深化） 08 暑期 经典力学数学名著选讲（数学分析深化） 07 暑期 经典力学数学名著选讲（数学分析深化） 05 年春 高等数学Ⅱ 连续介质力学基础，应用实变函数与泛函分析基础 张量分析与微分几何基础、连续介质力学基础 张量分析与微分几何基础、涡量与涡动力学基础 张量分析与微分几何基础、应用实变函数与泛函分析基础 张量分析与微分几何基础 张量分析与微分几何基础、应用实变函数与泛函分析基础 张量分析与微分几何基础 10 年春 数学分析Ⅱ 09 年秋 数学分析Ⅰ 09 年春 数学分析Ⅱ 08 年秋 数学分析Ⅰ 08 年春 数学分析Ⅱ 07 年秋 数学分析Ⅰ 06 暑期 05 暑期 06 年春 高等数学Ⅱ 07 年春 高等数学Ⅱ • 微积分一流化进程： 数学分析 + 经典力学名著选讲 + 流形上的微积分；应用实变函数与泛函分析基础（本研） • 基于现代张量分析的连续介质力学理论及其在流体力学中的实践 张量分析与微分几何基础 + 连续介质力学基础 + 涡量与涡动力学基础（本研）

具有国内外一流水平微积分教学的主要特征及个人若干教学研究与实践 般赋范线性空间之间映照的微分学 有限维 Euclid空间之间映照的微分学 Lebesgue积分 一维 Euclid空间之间映照的微分学 Riemann积分 课程《数学分析新讲》(第一、二、三册),每学期6学时(一年制) ①一维 Euclid空间之间映照的微积分;②有限维 Euclid空间之间映照的微积分 理论建立以映照为基本对象,以极限为基本观点。 课程《力学数学名著选讲》(有关数学分析深化),一年级暑期课程,36-54学时 ①按有限维 Euclid空间之间映照微分学的建立方法建立一般赋范空间之间映照的微分 学;应用方面可以包括矩阵分析基本理论,变分法等。②有限维 Euclid空间上微分同 胚的有关理论,包括秩定理, Morse定理等。⑧渐近分析 课程《流形上的微积分》,一年级暑期课程,36-54学时 ①基于有限维 Euclid空间上微分同胚的有关理论,本着局部欧氏化的基本思想,建立 微分流形的基本概念。②基于郭仲衡著《张量》有关外积运算等理论建立微分流形上 的微积分。③微分流形有关理论在力学中的应用

具有国内外一流水平微积分教学的主要特征 及个人若干教学研究与实践 一般赋范线性空间之间映照的微分学 有限维Euclid空间之间映照的微分学 一维Euclid空间之间映照的微分学 Lebesgue Lebesgue 积分 Riemann Riemann 积分 —— 课程 《数学分析新讲 》 (第一、二、三册 )，每学期 6 学时 (一年制 ) ① 一维Euclid空间之间映照的微积分； ② 有限维Euclid空间之间映照的微积分 ① —— 理论建立以映照为基本对象，以极限为基本观点。 —— 课程 《力学数学名著选讲 》 (有关数学分析深化 )，一年级暑期课程，36 -54学时 ① 按有限维Euclid空间之间映照微分学的建立方法建立一般赋范空间之间映照的微分 学；应用方面可以包括矩阵分析基本理论，变分法等。 ② 有限维Euclid空间上微分同 胚的有关理论，包括秩定理，Morser定理等。③ 渐近分析 —— 课程 《流形上的微积分 》， 一年级暑期课程，36 -54学时 ① 基于有限维Euclid空间上微分同胚的有关理论，本着局部欧氏化的基本思想，建立 微分流形的基本概念。② 基于郭仲衡著《张量》有关外积运算等理论建立微分流形上 的微积分。③ 微分流形有关理论在力学中的应用

基本观点 力学所需的数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法,决非仅是数学上 的逻辑过程,故力学专业的数学课程,需要包括:①数学定义的实际背景;②数学逻辑,即基于 逻辑研究数学定义以获取相关数学结论;⑤教学结论对具体问题的意义。 n(t)会kx(t) r(r)= (x(),y( x2()+y2(t) Gauss formula a·ndo=|V·adz pndo=Voda O 一)()()()=9g((x)x()(4 ()=4(),n()=V=()+y() (P-Pg=),△ F=Prater abody y Aqueduct Canal ∫(x) e=i·P.ae·a°=1·a a=e.PP.a°+ea x,I 球坐标系下加速度表达式 g(x) 科式惯性力→地球偏转效应 b

基本观点 —— 力学所需的数学是认识自然及非自然世界系统的思想和方法，决非仅是数学上 的逻辑过程，故力学专业的数学课程，需要包括：①数学定义的实际背景；②数学逻辑，即基于 逻辑研究数学定义以获取相关数学结论；③数学结论对具体问题的意义。 x y o a 1 b c j c l c Aqueduct Canal j 1 x  j x f x  g x  x y o t     xt yt   , t       2 2 xti yt j t xt yt            nt k t        Trajectory i  j                            2 2 2 2 2 , : sgn sgn n dv a t t vt x t y t dt v t a t yx x y t t v t f x xt t                           F p gz n   a     z V V V V water body Gauss formula a nd ad nd d F gV                          X3 X2 r   r e e e e i Te e e=i P, a=e a i a a=e P P a e a             球坐标系下加速度表达式 科式惯性力 地球偏转效应

基本观点 “数学通识”或者知识体系中的“工兵” 我们生活的世界丰富多彩,但上帝也许就用一样东西创造了这些,这就是“数学机制”或“数 学通识”( Ma thema tical Mechani sm)—以某种数学结构或性质为载体,比定理等结论具有更高 的归纳性,跨越不同课程甚至学科 基于数学通识,追求数理知识体系的“融会贾通、类旁通 0 C 微积分: Stokes公式 2a=7ka0-aHa2=anaa=0xa→力学速度、加速度 -2a0」[a3 合成原理 A∈PSwm G AG=I 微分几何:曲面曲率 B∈S,彐G非奇异,st. GBG=[4,…, 理论力学:振动模态 范德蒙 x2|≠0→ 计算方法:多项式拟合 行列式 数学物理:函数的光滑沿拓 n-1

基本观点 —— “数学通识” 或者 知识体系中的“工兵” —— 我们生活的世界丰富多彩，但上帝也许就用一样东西创造了这些，这就是“数学机制”或“数 学通识”（Mathematical Mechanism Mathematical Mechanism）—— 以某种数学结构或性质为载体，比定理等结论具有更高 的归纳性，跨越不同课程甚至学科。 —— 基于数学通识，追求数理知识体系的“融会贯通、触类旁通”   1 A G AG=I , , s.t. G BG= , , T m T T m PSym G B Sym               微分几何：曲面曲率 非奇异 理论力学：振动模态 32 1 3 1 2 123 2 1 3 123 0 :0 0 a i jk Stokes a i jk a a a aaa                                              微积分： 公式 力 学：速度、加速度 合成原理 1 2 22 2 1 2 11 1 1 2 11 1 0 n n nn n n xx x xx x xx x           范德蒙 计算方法：多项式拟合 行列式 数学物理：函数的光滑沿拓

有限维 Euclid空间之间映照 的微分学—事例1 Curvilinear -coordiante g3 映照可微性;复合映照可微性 x(x)∈C(D,:D,) 般曲线坐标系;速度、加 g 速度局部基表示 81(x local Co var iant-Basis [8182,8]( 7(0x02=x(0)速度)=DO)D((),D(=0)g() 引入:(x,x)=g(x),显然有(x(),x()=x()g(x()=v() 按符合映照(函数)链式求导法则可得 g (x(),x(0)=g(x() d g xx:=X 此处,g,()=g(x()。籍此可得: at),8 (下(0.()a1(00)处,(=2所(x

有限维Euclid空间之间映照 的微分学 —— 事例 1 映照可微性；复合映照可微性 → 一般曲线坐标系；速度、加 速度局部基表示 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x                                                     ˆ ˆ , : , , : . ˆ ˆ , : , ˆ ˆ , : , X i X X i i i i i i i i i j j j i j i i ij i d t X x t X x t t D t DX x t Dx t x t g x t dt v x x xg x v x t x t x t g x t v t v v xx g x xt xt g xt x x v g g v g xx x x x x xt xt x t x xx x                                            m 速度 = 引入： 显然有 按符合映照（函数）链式求导法则可得：                         2 : ˆ ˆ 1 ˆ , , , , ,: , ˆ 2 i j i i i i i i dg xt t x dt g t g xt dv d T T a t g t xt xt xt xt T xx v xx dt dt x x                                      此处， 。籍此可得： 此处

般赋范线性空间之间映照 之微分学—事例1 gra 83(xa Euclid空间至赋范张量空间之间 X(x)ECP(D: D, 映照的可微性→张量场(自变 量曲线坐标;应变量张量)映 照协变导数 82( local Co variant-Basis x> ∠D(=188l 张量场(x)=中(x)818g9(x)∈T(R")可微性,分析要素 多元函数:V(x+△x)=V(()x+o(△)eR 向量值映照:g(x+△)=g(x)+2(x)r+(△n)=g(x)+F2(x)g(x)Ar+o(A)∈R 向量值映照:g(x+△)=g(x)+(x)△x+(A)=g(x)-r()g(x)△x+o(△x)eR 简单张量范数:k8n85=k-m-e →中(x+A)=(x)+V(x);g!(x)△x+o(△x)∈T(R") =o(x)+[V:(x)8g8gg(x)[Argx)]+0()=(x)+(db8v)(x,△X+o(△x)

一般赋范线性空间之间映照 之微分学 —— 事例 1 Euclid空间至赋范张量空间之间 映照的可微性 → 张量场（自变 量 曲线坐标；应变量 张量）映 照协变导数                                     3 1 : ik j m ji k i k ik ik s j lj lj s i s t sm i i i si t s j j j s j jt s m s st x xg g g x T x x x xx ox x g g x x g x x x o x g x xg x x o x x g g x x g x x x o x g x xg x x o x x                                                        张量场 可微性，分析要素： 多元函数： 向量值映照： 向量值映照： 简单张量                             3 3 = = m m mm T ik j l m lj i k ik j l q lj i k q x x x xg g g x x o x T x x g g g g x xg x o x x x X o x                                                 范数: 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h   1 a g x 2   a g x   3 a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x   1 d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x

正本清源、格物致知一以方法论的思想理和掌謐理论一思想方法(应用) 正本清源、格物致知一事例1B0id空间中场论恒等式的推导 5(x)=(=“(x)8g18g(x)=Ve(x)g,8g18g(x)=0 1 Ricci引理 a()=a(g(x)g8g1(x)=V(x)g8g(x)=0 2.∈·∈=b6k-86 3Ecld空间基本性质:VV=VV 正本清源、格物致知一事例2完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示,亦即“非 完整基下,形式意义上的协变导数” 基本依据: v8(x)=V(x)g8g,8g'8g(x)=v.0(x)g0s8g8(x) 此处:V00(x)= CleC acac(x),Vc(x) 分析思想: 1形式导数:=C2 2.Christoffel B: rlaka():=ckClaCi(x). T()-Cla Ci)(x). (x) 3协变导数的(4)=a0,0(x)+r()d(x)-rn(x)+raa(x)

正本清源、格物致知 —— 以方法论的思想梳理和掌握 理论＝思想 + 方法（应用）                 0 1.Ricci 0 2. 3. ijk ijk l l i jk l i jk ij ij l l ij l ij ijk j k k j ipq p q p q pq q p x xg g g x xg g g x x x G x g xg g x g xg g x x x Euclid                                  引理： 空间基本性质：                                                                                      : : . : 2. : 3. : ik l j lj i k l j ik i k lj l l ij k ij j k ij i x xg g g g x xg g g g x x CC CC x x C C Christoffel x C C C x x C C x x x x x                                                                        基本依据： 此处： 分析思想： 1形式导数： 符号： 协变导数：                        xxx                    正本清源、格物致知 —— 事例 1 Euclid空间中场论恒等式的推导 正本清源、格物致知 —— 事例 2 完整基下定义的张量梯度在非完整基下的表示，亦即“非 完整基下，形式意义上的协变导数

正本清源、格物致知一事例3观点:“r阶张量”最多可有“r点形式”,亦即构成对应的简 单张量的向量取自不同的r个基,以变形梯度(二阶张量)为例。 初始物理构型 当前物理构型 g2(x(5,) G2(5) x2-曲线 2-曲线 1(x(=) G1(56) 23-线 曲线 5-曲线 6() 3(x(5,1),) 当前构型曲线坐标 钩始构型曲线坐标 X=X(x, t) X=X(5) 线 23-曲线 x2-曲线 曲线 曲线当前参数构型 曲线 初始参数构型 元当前物理构=X(x(5+△5)-X(x(5) aE1(5,)g(x)△ (5,)(x)8G‘(5)(△502(5) 当前物理构型 F·rab初始物理构型 (1)g,()28G()始型

正本清源、格物致知 —— 事例 3 观点： “r阶张量 ”最多可有 “r点形式 ”，亦即构成对应的简 单张量的向量取自不同的r个基，以变形梯度（二阶张量）为例。 1 X  o G1   b   1  曲线 2  曲线 3  曲线 a b G3   a   G2   a   1     , a gx t   1 x 曲线 2 x 曲线 3 x 曲线 a b 3     , , a gx tt   2     , a gx t   1  3  o 2  a 1  曲线 3  曲线 2  曲线 b 3 x o 2 x a 1 x 曲线 2 x 曲线 b 1 x 3 x 曲线 初始物理构型 当前物理构型 初始参数构型 当前参数构型 X X       初始构型曲线坐标 , X X xt    当前构型曲线坐标                       , , , i i A AB ab A A i iB i A ab ab i ab A x x r X x X x tg x tg x G G x r Fr tg x G r                                               当前物理构型 当前物理构型 初始物理构型 初始物理构型 X1 X 3 o X 2 3 X  2 X 

学习、研究与教学的相互融台一—事例1“当前物理构型对应之曲线坐标系不显含时间情 形”→“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间情形 以期研究“边界的变形运动对流动 空间动力学的影响”,映照观点。 R(0,p, 1) r sin 8. cos p X(x, 4): Droox=8-X(x, =X(x, t)R(,p,t) r sin @ - g R(0,9,1)r·cos ↑R(.9,)r

x z o  o r Dxyz D r R tr    , ,  y    1  2          1 2 3 , , sin cos X , : X , , , , sin sin , , cos r r X R tr xt D x xt X xt R t r X R tr                                                     X ,   x t 学习、研究与教学的相互融合 —— 事例 1 “当前物理构型对应之曲线坐标系不显含时间情 形” → “当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间情形” —— 以期研究“边界的变形运动对流动 空间动力学的影响”，映照观点