《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析（沈元隆、周井泉）

信号与系统 第三章

信号与系统 第三章

第3章连续信号与系统的频域分析 3.1周期信号分解为傅里叶级数 32信号在正交函数空间的分解 33周期信号的频谱 34非周期信号的频谱 3.5一些常见信号的频域分析 36傅里叶变换的性质及其应用 3.7相关函数与谱密度 38连续系统的频域分析 39信号的无失真传输和理想滤波器

第3章 连续信号与系统的频域分析 3.1 周期信号分解为傅里叶级数 3.2 信号在正交函数空间的分解 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱 3.5一些常见信号的频域分析 3.6 傅里叶变换的性质及其应用 3.7 相关函数与谱密度 3.8 连续系统的频域分析 3.9 信号的无失真传输和理想滤波器

3.10希尔伯特变换 3.11取样定理 3.12多路复用 习题3

3.10 希尔伯特变换 3.11取样定理 3.12 多路复用 习题3

第3章连续信号与系统的频域分析 上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析。它是以冲激 函数为基本信号,任意信号可以分解为一系列加权的冲激信号 之和,而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。本 章将以正弦函数或虚指函数为基本信号,任意信号可以表示成 系列不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和。连续信号与 系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法, 这种方法以傅里叶( Fourier)变换理论为工具,将时间域映射 到频率域,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频 率特性之间的密切关系 3.1周期信号分解为傅里叶级数 个连续时间信号若每隔一定的时间T按相同的变换规律重 复变化,此信号称为周期信号

第3章 连续信号与系统的频域分析 上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析。它是以冲激 函数为基本信号，任意信号可以分解为一系列加权的冲激信号 之和，而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。本 章将以正弦函数或虚指函数为基本信号，任意信号可以表示成 一系列不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和。连续信号与 系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变量的分析方法， 这种方法以傅里叶（Fourier）变换理论为工具，将时间域映射 到频率域，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与频 率特性之间的密切关系。 3.1 周期信号分解为傅里叶级数 一个连续时间信号若每隔一定的时间 T 按相同的变换规律重 复变化，此信号称为周期信号

31三角型傅里叶级数 由高等数学知识,以T为周期的周期信号f),若满足下 列狄里赫利( Dirichlet)条件: L在一个周期内满足绝对可积,即J/()d(a, cosnaot+b, sin noot)(3.1-2) 式中,也称基本角频率系数a0,an2b称为三角型傅里叶级 数的系数,它们分别为

3.1.1 三角型傅里叶级数 由高等数学知识，以 T 为周期的周期信号 f(t) ，若满足下 列狄里赫利（Dirichlet）条件： 1. 在一个周期内满足绝对可积，即 2. 在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 3. 在一个周期内只有有限个不连续点。则可展开为如下三 角型傅里叶级数 (3.1-2) 式中，也称基本角频率,系数a0 , an , bn 称为三角型傅里叶级 数的系数，它们分别为 f t dt T T ( ) −  2 2 ( ) ( cos sin ) 1 0  0 0  = = + + n n n f t a a n t b n t

f(t)at (3.1-3a 2-T2T f(t)cos notdt (3.1-3b f(tsin nootdt n=1, 2. (3. 1-3c

(3.1-3a) (3.1-3b) (3.1-3c)  = T f t dt T a ( ) 1 0  = T n f t n tdt T a 0 ( ) cos 2  ( )sin 1,2, 2 = 0 =  f t n tdt n T b T n 

利用信号波形的对称性,可以方便地求取傅里叶级数 的系数。 1.f()为偶函数 f(t)=f(-1),则只含有常数项和余弦项;而b,=0。 2f(t)为奇函数 f()=-f(-1)则只含正弦项;而a0=0,an=0 3.ft)为偶谐函数 f(t±)=f(t),偶半波对称则只含有偶次谐波。 4.f(1)为奇谐函数 T f(t±)=-f(),奇半波对称,则只含有奇次谐波

利用信号波形的对称性，可以方便地求取傅里叶级数 的系数。 1. f(t)为偶函数 2. f(t)为奇函数 3. f(t)为偶谐函数 4. f(t)为奇谐函数 f (t) = f (−t) ，则 只含有常数项和余弦项；而 bn = 0 。 f (t) = − f (−t , ) 则 只含正弦项；而 a0 = 0 , an = 0 。 f t ，偶半波对称,则 只含有偶次谐波。 T (  ) = f (t) 2 ) ( ) 2 ( f t T f t  = − ，奇半波对称,则 只含有奇次谐波

若将式(31-2)中同频率项合并,即 a, cosnoot +b sinnat=A, cos(naot+n) 三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式: f()=A+∑Acos(not+) n=1 312指数型傅里叶级数 三角函数与虚指数函数有着密切的关系,根据欧拉( Eular) 公式,有 sin noots、1 noot e noot o cOS naot=-leJnoot ingot e 故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的 两种不同的表现形式

若将式(3.1-2)中同频率项合并，即 三角型傅里叶级数可写成工程上更为实用的形式： 3.1.2 指数型傅里叶级数 三角函数与虚指数函数有着密切的关系，根据欧拉（Eular） 公式，有 故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的 两种不同的表现形式。 a n t b n t A n t n n n n cos  sin  cos(   ) 0 + 0 = 0 + f t A A n t n n n ( ) = + cos( + ) =  0  0 1   ( ) ( ) j n t j n t j n t j n t e e n t e e j n t 0 0 0 0 2 1 , cos 2 1 sin 0 0       − − = − = +

于是,可将原傅里叶级数写成紧凑的形式 f()=∑Fe Snoot (3.1-10)

于是，可将原傅里叶级数写成紧凑的形式 (3.1-10) f t Fn e jn t n ( ) = =−    0

这就是指数型傅里叶级数。将式(31-3)中的a和b代入式 (31-%a)即可求得指数型傅里叶级数的系数 F T Jf(t)e Naot (3.1-11) 般情况下,F是关于变量nOa的复函数,故又称为指数型 傅里叶级数的复系数 (是实周期信号时,其傅里叶复系数F的模和实部是nao 偶函数;F的相角和虚部是nOn的奇函数。 指数型傅里叶级数中出现负频率分量,这只是一种数学表 达形式,没有太多的物理意义。实际上,正负频率分量总 是共轭成对地出现。一对共轭的正负频率分量之和构成 个实际的谐波分量

这就是指数型傅里叶级数。将式(3.1-3)中的an和bn代入式 (3.1-9a)即可求得指数型傅里叶级数的系数 (3.1-11) 一般情况下，Fn是关于变量n0的复函数，故又称为指数型 傅里叶级数的复系数 . 当f(t)是实周期信号时，其傅里叶复系数Fn的模和实部是n0 偶函数；Fn的相角和虚部是n0的奇函数。 指数型傅里叶级数中出现负频率分量，这只是一种数学表 达形式，没有太多的物理意义。实际上，正负频率分量总 是共轭成对地出现。一对共轭的正负频率分量之和构成一 个实际的谐波分量. F T f t e dt n T T jn t = − −  1 2 2 0 ( ) 