《信号与系统》第2章 连续信号与系统的时域分析（沈元隆、周井泉）

信号与系统 第二章

信号与系统 第二章

第2章连续信号与系统的时域分析 21冲激函数及其性质 2.2系统的冲激响应 23信号的时域分解和卷积积分 24卷积的图解和卷积积分限的确定 25卷积积分的性质 2.6卷积的数值计算 习题2

第2章 连续信号与系统的时域分析 2.1 冲激函数及其性质 2.2 系统的冲激响应 2.3 信号的时域分解和卷积积分 2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 2.5 卷积积分的性质 2.6 卷积的数值计算 习题2

2.1冲激函数及其性质 211冲激函数 冲激函数是对于集中于一个瞬间(或一点)出现的物理 量的一种理想描述。 单位冲激函数的工程定义 0t≠0 0和」6( 单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面 积为1两个特点。从它t0时函数值趋于无穷大,可以看出, 不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函 数( generalized function),或称分配函数( distribution function)。这类函数的数学定义不是象普通函数那样,由对 应于自变量的变化值所取的函数值来定义,而是由它对另 个函数(常称为测试函数)的作用效果来定义的,也就是说, 不是用它“是”什么来定义,而是用它能“做”什么来定义 的

2.1 冲激函数及其性质 2.1.1 冲激函数 冲激函数是对于集中于一个瞬间（或一点）出现的物理 量的一种理想描述。 单位冲激函数的工程定义: 单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面 积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出， 不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函 数（generalized function），或称分配函数（distribution function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对 应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一 个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说， 不是用它“是”什么来定义，而是用它能“做”什么来定义 的。     =  = 0 0 0 ( ) t t  t 和   −  (t)dt =1

单位冲激函数的严格的数学定义。 6()m(d=0(0) (2.1-4) 212冲激函数的性质 作为广义函数,冲激函数除了式(21-4)和式(21-16)所 描述的取样性质(或称筛选性质)外,还具有如下常用性质: 1加权特性 2单位冲激函数为偶函数 3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数 4尺度变换 5冲激函数的导数及其性质 单位冲激函数及其各阶导数和积分是一族最常用的奇异函数

单位冲激函数的严格的数学定义。 2.1.2 冲激函数的性质 作为广义函数，冲激函数除了式（2.1-4）和式（2.1-16）所 描述的取样性质（或称筛选性质）外，还具有如下常用性质： 1.加权特性 2.单位冲激函数为偶函数 3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数 4.尺度变换 5.冲激函数的导数及其性质 单位冲激函数及其各阶导数和积分是一族最常用的奇异函数。   −  (t)(t)dt =(0) （2.1-4）

22系统的冲激响应 线性时不变时间系统的单位冲激响应,是指系统初始 状态为零,激励为单位冲激信号作用下的响应,简称冲 激响应,用ht)表示。它反映了系统的特性,同时也是 利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。 对于简单电路,直接计算该电路在单位冲激信号作用 下的零状态响应,即可求得冲激响应ht) 2先计算系统的阶跃响应S,然后利用冲激响应和阶跃 响应的关系计算冲激响应h(t) 3.从系统的微分方程求解冲激响应

2.2 系统的冲激响应 线性时不变时间系统的单位冲激响应，是指系统初始 状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲 激响应，用 h(t) 表示。它反映了系统的特性，同时也是 利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。 1. 对于简单电路，直接计算该电路在单位冲激信号作用 下的零状态响应，即可求得冲激响应h(t)。 2. 先计算系统的阶跃响应s(t)，然后利用冲激响应和阶跃 响应的关系计算冲激响应h(t)。 3. 从系统的微分方程求解冲激响应

23信号的时域分解和卷积积分 上一节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零 状态响应,本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激 信号之和,以及任意信号作用下的零状态响应问题,进而说 明卷积积分的物理意义 231信号的时域分解 任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。 任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信 号之和。 232零状态响应一卷积积分 任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应,为 y()=「x()h(t-Mr (2.3-10)

2.3 信号的时域分解和卷积积分 上一节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零 状态响应，本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激 信号之和，以及任意信号作用下的零状态响应问题，进而说 明卷积积分的物理意义。 2.3.1 信号的时域分解 任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。 任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信 号之和。 2.3.2 零状态响应---卷积积分 任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应，为 y t x  h t  d (2.3-10）   − ( ) = ( ) ( − )

式(2.3-10)是卷积积分的一般形式,当与受到某种限制时, 其积分上、下限会有所变化。 若κ<1时,x(1)=0,式(23-10)中的积分下限应从t开始, 式(2.3-10)应表示为 1)=x(m)M(-)dr2312) 相反,若x(1)不受此限,而1<2时,h()=0,积分上限应取12, 式(2.3-10)应表示为 y(1)=」x(z)h(t-o)dz(2.3-13) 若<t1时,x()=0,而<12时,h()=0,式(2.3-10)积分上,下限 为 y(0)=x()(-r)dz 23-14) 更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步 进行分析讨论

式（2.3-10）是卷积积分的一般形式，当与受到某种限制时， 其积分上、下限会有所变化。 若t<t1时，x(t)=0，式（2.3-10）中的积分下限应从t1开始， 式（2.3-10）应表示为 (2.3-12） 相反，若x(t)不受此限，而t<t2时，h(t)=0，积分上限应取t-t2 ， 式（2.3-10）应表示为 （2.3-13） 若t<t1时，x(t)=0，而t<t2时，h(t)=0，式（2.3-10）积分上,下限 为 （2.3-14） 更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步 进行分析讨论。 y t x h t d t ( ) = ( ) ( − )      1 y t x h t d t t ( ) = ( ) ( − ) − −     2 y t x h t d t t t ( ) = ( ) ( − ) −     1 2

24卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分,以及x(1和h()均为有始 函数时积分上下限的表示方法,但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定,特别是当x()和h(1)两者或两者之一是分段 定义的函数时,图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。 241卷积的图解 卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程 卷积的图解归纳起来有下列五个步骤: 1.换元:将和中的变量更换为变量τ; 2.折叠:作出相对于纵轴的镜象; 3.位移:把平移一个t值; 4.相乘:将位移后的函数乘以; 5积分:和乘积曲线下的面积即为时刻的卷积值

2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始 函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。 2.4.1 卷积的图解 卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程。 卷积的图解归纳起来有下列五个步骤： 1. 换元：将和中的变量t更换为变量τ； 2. 折叠：作出相对于纵轴的镜象； 3. 位移：把平移一个t值； 4. 相乘：将位移后的函数乘以； 5. 积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值

由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积 分,故卷积也称为褶积或卷乘等。 242卷积的另一种计算方法 如果x()和h()两者或两者之一是分段连续的函数时,采用式 (23-14)进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 25卷积积分的性质 作为一种数学运算方法,卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。 251卷积代数 通常,卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。 1)卷积运算满足交换律 (2)卷积积分满足分配律 (3)卷积积分满足结合律

由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积 分，故卷积也称为褶积或卷乘等。 2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。 2.5.1 卷积代数 通常，卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。 （1）卷积运算满足交换律 （2）卷积积分满足分配律 （3）卷积积分满足结合律

252卷积的微分与积分 上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似,但卷积的微分 或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。 (1)卷积的微分性质 (2)卷积的积分性质 (3)卷积的微积分性质 任意函数x(1)与单位冲激函数6(1)卷积的结果仍然是本身,根 据式(23-3)和卷积的定义,有 ∫x()6(-z-1)dz=x(t-4)(2517) 由此可见任意函数x(1)与一个延迟时间为1秒的单位冲激函数 6(1-t)的卷积,只是使x(t)在时间上延迟了t1,而波形不变。这 性质称为重现特性( replication property)o

2.5.2 卷积的微分与积分 上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分 或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。 （1）卷积的微分性质 （2）卷积的积分性质 （3）卷积的微积分性质 任意函数x(t)与单位冲激函数(t)卷积的结果仍然是本身，根 据式（2.3-3）和卷积的定义，有 （2.5-17） 由此可见任意函数x(t)与一个延迟时间为t1秒的单位冲激函数 (t-t1 )的卷积，只是使x(t)在时间上延迟了t1，而波形不变。这 一性质称为重现特性（replication property）。 x( )(t − − t ) d = x(t − t ) −   1 1