西南交通大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件讲稿，上册）第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律 §5.2 角动量的时间变化率（续）

第二篇实物的运动规律 第五章角动量角动量守恒定律 第五第二饼 本章共3讲

? 本章共3讲 第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律

§5.2角动量的时间变化率(续) 质点角动量的时间变化率 力矩 质点系角动量的时间变化率 四.刚体定轴转动定律 dL对定轴 dl M外=dt dt 由L2=J得 d dt 女J0,0=刚体定轴 dt 转动定律

§5.2 角动量的时间变化率(续) 一.质点角动量的时间变化率 二.力矩 三.质点系角动量的时间变化率 四. 刚体定轴转动定律 t L M d d   外 = t L M z z d d = 对定轴 由 Lz = J    J t J J t t L M z z = = = = d d ( ) d d d d 得 刚体定轴 转动定律

比较: F=ma 矢量式 M2=JB-标量式 改变物体平动状态的原因 m是物体平动惯性的量度。 M2改变物体绕轴转动状态的原因 ∫是物体转动惯性的量度。 F=m平动问题 地位相同 M2=J6刚体定轴转动问题

比较：    = = M J F ma z   －矢量式 －标量式    = = M J F ma z   地位相同 刚体定轴转动问题 平动问题 J 是物体转动惯性的量度。 是物体平动惯性的量度。 改变物体平动状态的原因 改变物体绕轴转动状态的原因 m F  Mz

[例]一定滑轮的质量为m,半径为,一轻绳两边 分别系m1和m2两物体挂于滑轮上,绳不伸长,绳 与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦,初角速度为零, 求滑轮转动角速度随时间变化的规律。 已知 2,F 求:o() 思路: 2 质点平动与刚体定轴转动关联问题 隔离法,分别列方程, 先求角加速度 B→>O

[例] 一定滑轮的质量为 ，半径为 ，一轻绳两边 分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳 与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零， 求滑轮转动角速度随时间变化的规律。 m m1 m2 r 已知： m, m1 , m2 , r, 0 = 0 求： (t) = ? 思路： 质点平动与刚体定轴转动关联问题， 隔离法，分别列方程， 先求角加速度 再  →  m2 m1 r m

解:在地面参考系中,分别以 为研究对象,用隔离法,分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。 12g 118 m1:向下为正m2g-T=m1a1(1) m2:向上为正T2-m2=m2a2(2) 思考:a1=a2?T=T2? 因为重滑轮加速转动

解：在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。 m1 , m2 , m T1 a1  m1 g a2 T2  m2 g 思考： a1 = a2 ? T1 = T2 ? m2 m1 r m × 因为重滑轮加速转动 m m g T m a (1) 1 向下为正 1 − 1 = 1 1 : m T m g m a ( 2 ) 2 向上为正 2 − 2 = 2 2 :

/1 滑轮m:以顺时针方向为正方向 Tr-T, r=JB=mrB (3) T ng 四个未短数:a=a2=a,T1,T2,B 三个方程? 绳与滑轮间无相对滑动,由角量和线量的关系: 解得: B=( 12 8 @=Oo+Bt= g m,+m2+am r m,+ m,+-m r

r + T1 T2 N mg O 四个未知数： 三个方程 ？ a1 = a2 = a, T1 , T2 ,  以顺时针方向为正方向 绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系： a = r ( 4 ) 解得： ( ) m m m r m m g       + + − = 2 1 1 2 1 2  ( ) m m m r m m gt t       + + − = + = 2 1 1 2 1 2  0  滑轮m： mr ( 3 ) 2 1 T r T r J 2 1 − 2 =  = 

练习: 如图示,两物体质量分别为m和m2,滑轮质量 为m,半径为r。已知m2与桌面间的滑动摩擦系 数为A,求m1下落的加速度和两段绳中的张力。 lam 解:在地面参考系中,选取m,和滑轮为研究对 象,分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得:

如图示，两物体质量分别为 和 ，滑轮质量 为 ，半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系 数为 ，求 下落的加速度和两段绳中的张力。 m1 m m2 r m2  m1 练习： m2 m1  ro m 解：在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对 象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： m1 m2

N ang Mig 向里+ m2g 列方程如下 T= ma 2-m8 2 (1-72)=mrB 可求解

m2 T2 a m g2 m2 g N m1 T1 m g a 1 o T1 T2 Nx N y 向里+ 列方程如下：    a r (T T )r mr T m g m a m g T m a = − = − = − = 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 可求解

「例质量为M的匀质圆盘,可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动,绕过盘的边缘有质量为m、长 为L的匀质柔软绳索(如图)。设绳与圆盘无相对滑 动,试求当圆盘两侧绳长差为s时,绳的加速度的大 解:在地面参考系中,建立如图x 坐标,设绳两端坐标分别为x1,x2 滑轮半径为r有: A MLIB L=AA+AB+BB 十 x, rr B 2 S mnA=元·x1 BB AB ·元 2

[例] 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为m、长 为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑 动，试求当圆盘两侧绳长差为s 时，绳的加速度的大 小。 解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2， 滑轮半径为 r 有： x x r l AA AB BB = + +  =  + +  1 2 x , l m x , m l m mAA 1 BB 2 =  =    r l m mAB =  x1 x2 s = − o x1 x2 s A M B A B r x m

用隔离法列方程:(以逆时针方向为正) B A M LL-B B B g Bg TI B m4g-T=ma T2-mBg J=J +J=lMr2+mar2

用隔离法列方程：（以逆时针方向为正） o x1 x2 s A M B A B r x m CA CB T1 J T2 r . CA T1 mAg C . B T2 mBg M A o B mA g −T1 = mA a T2 − mB g = mB a T1 r −T2 r = Jβ 2 AB 2 M AB Mr m r 2 1 J = J + J = +